최근 수정 시각 : 2021-09-21 16:50:10

체비쇼프 함수

정수론
Number Theory
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
공리
페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법
산술
나눗셈 약수·배수 배수 · 약수( 소인수) · 소인수분해( 목록) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수
약수들의 합에 따른 수의 분류 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 부부수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수
정리 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리
기타 유클리드 호제법 · 서로소
디오판토스 방정식 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버츠와 스위너톤-다이어 추측(미해결)
모듈러 연산
잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리
소수론
수의 분류 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수( 사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수
분야 대수적 정수론 · 해석적 정수론
함수 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수· 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식
정리 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)( 천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리
기타 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식
}}}}}}}}} ||

특수함수
Special Functions
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="letter-spacing: -1px"
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; word-break: keep-all"
적분 오차함수(error function) · 베타 함수( 불완전 베타 함수) · 감마 함수( 불완전 감마 함수 · 로그 감마 함수) · 타원 적분 · 야코비 타원 함수 · 지수 적분 함수 · 로그 적분 함수 · 삼각 적분 함수 · 쌍곡선 적분 함수 · 프레넬 적분 함수 · 구데르만 함수
미분방정식 르장드르 함수* · 구면 조화 함수 · 베셀 함수 · 에르미트 함수 · 라게르 함수 · 에어리 함수
역함수 브링 근호 · 람베르트 [math(W)] 함수 · 역삼각함수
급수 제타 함수 · 세타 함수 · 초기하함수 · 폴리로그함수 · 바이어슈트라스 타원 함수
정수론 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 뫼비우스 함수 · 최대공약수 · 최소공배수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 바쁜 비버 함수
기타 헤비사이드 계단 함수 · 부호 함수 · 테트레이션( 무한 지수 탑 함수) · 집합 판별 함수 · 바닥함수 / 천장함수 · 허수지수함수 · 혹 함수
* 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. }}}}}}}}}}}}

1. 정의2. 소수 계승
2.1. 리만 제타 함수와의 관계2.2. 목록

1. 정의

체비쇼프 함수(Chebyshëv function)는 소수와 관련된 두 가지 특수함수로, 제1종 체비쇼프 함수 [math(\vartheta(x))]와 제2종 체비쇼프 함수 [math(\psi(x))]가 있으며 정의는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \vartheta(x) &\equiv \sum_{p ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \bold{1}_{\mathbb{P}}(n)\, \ln n \\ \psi(x) &\equiv \sum_{p^k ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \Lambda(n) \end{aligned} \qquad )]

위에서 [math(p)]는 소수, [math(\bold{1}_{\mathbb{P}}(n))]은 소수 판별 함수, [math(\Lambda(n))]은 폰 망골트 함수, [math(\lfloor x \rfloor)]는 바닥함수이다.

정의대로 제1종 체비쇼프 함수는 소수의 자연로그값을 합하며, 제2종 체비쇼프 함수는 소수와 소수 제곱수의 소인수 자연로그값을 합한 값을 띤다.[1]

함수 표기에 주의할 필요가 있다. 각각 세타 함수[2] 디감마 함수와 겹치기 때문에 사전에 이것이 체비쇼프 함수라고 알려주어야 혼동이 없다.

2. 소수 계승

소수 계승(primorial[3][4])은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

[math(n\#=e^{\vartheta(n)}=\displaystyle\prod_{p\leq n, \ \ p\,\in\,{\mathbb P}}p)]

즉, 소수 계승 [math(n\#)]은 자연수 [math(n)] 이하의 모든 소수를 곱한 값이다.

소수 정리에 의해, 체비쇼프 함수는 [math(\lim\limits_{n \to \infty} \vartheta(n)/n=1)]을 만족시킨다. 따라서 양변에 [math(\rm{exp})] 함수[5]를 취하면 소수 계승은 [math(\lim\limits_{n \to \infty}(n\#)^{1/n}=e)]를 만족시킨다.

2.1. 리만 제타 함수와의 관계

[math(p_n)]을 [math(n)]번째 소수라고 하자. 소수 계승은 [math(s=2, 3, ...)]일 때 다음과 같은 리만 제타 함수와의 관계를 만족시킴이 알려져 있다.

[math(\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s}{J_s(p_n\#)}, \ \ \ \ \cdots(1))]

[math(J_s(n)=n^s\displaystyle\prod_{p|n}(1-\dfrac{1}{p^s}))]

여기서 [math(J_s)]는 Jordan's totient function이라고 부른다. [math(s=1)]일 때 [math(J_s)]는 오일러 파이 함수와 같아진다.

[math(s=1)]이면 좌변 [math(\zeta(s))]는 당연히 양의 무한대로 발산하고, 우변 또한 양의 무한대로 발산한다. [math(s=1)]일 때 우변이 발산한다는 사실은 다음과 같이 증명된다.

[math(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{p_n\# \cdot \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n}\cdot \dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ \geq\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n})]

따라서, 소수의 역수의 합은 발산하므로 비교판정법에 의해 발산한다.

또한 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 [math(s)]에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

[math(\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s \zeta_n(s)}{(p_n\#)^s}, \ \ \ \ \cdots(2))]

[math(\zeta_n(s)=\displaystyle\prod_{i=1}^n \dfrac{1}{1-p_i^s})]

여기서 [math(\zeta_n)]은 리만 제타 함수의 처음 [math(n)]개 항의 부분합이다.

두 식의 출처. 여기에서 [math((2))]번 식의 유도 과정을 알아볼 수 있다.

[math((1))]번 식은 [math((2))]번 식에 비해 [math(s)]의 범위가 상당히 제한되어 있다는 단점이 있다. 그러나 이는 다른 [math(s)]값들에 대해 증명이 안 됐을 뿐일 수도 있다. 왜냐하면 실제로 계산해봤을 때 자연수가 아닌 실수 [math(s)]에 대해서도 해당 식이 성립하는 것처럼 보이기 때문이다. 아래 Mathematica 코드를 통해 직접 계산해볼 수 있다.[6]
p[0]=1;
p[n_]:=p[n-1]*Prime[n]
J[k_,n_]:=p[n]^k*Product[1-1/Prime[i]^k,{i,1,n}]
z1[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k/J[k,r],{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N
p[0]=1;
p[n_]:=p[n-1]*Prime[n]
zeta[s_,n_]:=Sum[1/i^s,{i,1,n}]
z2[k_,n_]:=Sum[p[r-1]^k*zeta[k,r]/p[r]^k,{r,2,n}]+2^k/(2^k-1)//N
[math((1))] [math((2))]
직접 계산해보면 [math((1))]번 식이 [math((2))]번 식보다 수렴 속도가 훨씬 빠른 것처럼 보이며, 이것은 [math((1))]번 식의 큰 장점이 될 수 있다.

[math((1))]번 식을 증명한 논문[7]이 사라져 있다. 해당 저널을 들어가 보면 다른 논문이 있고, 저자 사이트의 해당 논문 링크로 들어가보면 오류가 뜬다. 위키피디아와 위 출처에서 해당 논문을 인용하고 있는 것을 보면 어느순간 내려간 듯한데 이 부분에 대한 자세한 확인이 필요하다.

2.2. 목록

[math(n)] [math(p_n\#)][8]
1 2 2
2 6 2×3
3 30 2×3×5
4 210 2×3×5×7
5 2310 2×3×5×7×11
6 30030 2×3×5×7×11×13
7 510510 2×3×5×7×11×13×17
8 9699690 2×3×5×7×11×13×17×19
9 223092870 2×3×5×7×11×13×17×19×23
10 6469693230 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29


[1] 제2종 체비쇼프 함수는 [math(x)] 이하의 모든 자연수에 대한 최소공배수의 자연로그값에 해당한다. [2] 세타 함수는 이변수 함수이기 때문에 그나마 혼동이 적은 편. 참고로 이 함수의 풀네임(?)은 ' 야코비 세타 함수(Jacobi theta function)'이다. [3] prime(소수) factorial(계승)을 합친 단어다. [4] 기호인 [math(#)]는 위상수학에서 연결합(Connected sum)을 나타내는 용도로 쓰이므로 헷갈리지 않게 주의. [5] [math(e)]의 거듭제곱 함수 [6] 아래 코드를 복붙하여 실행한 이후 z1, z2 함수의 값을 보면 된다. z1, z2의 변수 k에는 [math((1))], [math((2))]번 식의 [math(s)] 값을 입력해주고, 변수 n에는 몇 번째 항까지 계산해줄지를 입력해주면 된다. [7] Mező, István (2013). "The Primorial and the Riemann zeta function". The American Mathematical Monthly. 120 (4): 321. [8] [math(p_n)]은 [math(n)]번째 소수