최근 수정 시각 : 2022-09-25 13:16:45

절댓값

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1. 개요2. 실수의 절댓값3. 복소수의 절댓값([math(|z|)])4. 집합의 절댓값([math(|S|)])5. 행렬의 절댓값([math(|A|)])

1. 개요

/ absolute value

'절대치'라고도 불리는 함수계의 적들 중 하나. 중1 때 정수와 유리수 파트에서 배우며, 중3ㆍ고1 제곱근 때도 배우고, 고1 방정식 단원에 '절댓값 기호를 포함한 방정식'에도 나와 수험생들을 힘들게 한다. 함수의 그래프 그릴 때도 마찬가지이다. 절대값으로 부르던 시절이 있었으나 사이시옷 규정에 맞게[1] 절댓값으로 부르게 되었다. 위상수학적으로 말하면 유클리드 거리공간에서의 노름.

기호인 [math(|\cdot|)]는 카를 바이어슈트라스가 도입했다.

2. 실수의 절댓값

원 개념은 ' 음수 양수에 관계없이 수직선에서 원점으로부터의 거리로 나타내보자!'이다. 실제의 거리는 절대 음수로 나타낼 수 없으므로.[2][3]

[math(|\pm x| = x \, \mathrm{sgn}(x) = |x|\geq 0 )]

실수 [math(x)]에 대해
  • [math(x > 0)]이면 [math(x)]는 +가 되므로, [math(|x| = x)]
  • [math(x < 0)]이면 [math(x)]는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서 [math(|x| = -x)]
  • [math(x=0)]은 [math(x)]가 원점 자신인 자명한 경우로, [math(|x| = 0)][4]
  • 원점을 제외한 모든 점에서 미분가능하다. 정의역 중 미분이 불가능한 점이 있으므로 매끄러운 함수는 아니다.
    • 원점을 제외하면 도함수 부호 함수(Signum function, [math(\mathrm{sgn})])다. 원점에서는 미분계수의 좌우극한이 달라서 정의가 안 된다.
    • 분포(Distribution) 이론에서, 이계도함수는 디랙 델타 함수의 두 배이다.[5] 삼계도함수 이후부터는 디랙 델타 함수에 따옴표가 하나씩 추가된다.
  • 역도함수는 부호함수가 곱해진 이차함수이다.[6] 이후 적분도 일반적인 다항함수 적분에 부호함수를 붙인 꼴이 된다. [7]
  • 해석함수는 아니다. 매클로린 급수가 원점을 중심으로 부호가 반대이기 때문이다.

실수의 경우 부호만 알면 쉽게 제거할 수 있다. 따라서 절댓값은 항상 0보다 크거나 같고, 0의 절댓값은 0이다.

중등 수학 1학년 1학기에서 처음 배우는 내용이며 처음 배울 때 왜 -x가 양수가 되는 경우가 존재하는지 이해하지 못하는 학생이 많다. -는 수의 부호를 바꿔주는 의미가 있다는 사실을 숙지하고 있으면, 음수에 -를 붙이면 양수가 된다는 사실을 쉽게 받아들일 수 있다. 마이너스 표시만 있다고 무조건 음수가 되는 게 아니다! 절댓값에 대해 쉽게 설명한 영상.

주로 나오는 유형은
  • 함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) [math(y=|x^2+5x+6|)] 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0(x축)에 대칭이동 시킨다.
  • 변수가 절댓값인 경우: 예) [math(y=|x|^2+5|x|+6)]에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0(y축)에 대칭이동 시킨다.
  • 각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) [math(|x|+2|y|=4)] (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 (x, y)=(0, 0), 즉 원점에 대칭이동 시킨다.
  • 절댓값 안이 다른경우: 예) [math(y=|x-5|+|x+5|)] 절댓값 안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. [math(x<-5)] 면 [math(-2x, -5<x≤5)] 면 [math(10, x≥5)] 면 [math(2x)]

함수 자체는 간단한 경우가 많으므로 그래프로도 쉽게 풀 수 있다. 실수가 정의역일 경우 그래프는 V자를 그리는 짝함수의 형태이다.

파일:namu_극점_1.svg

수능 기출에도 종종 등장하는 등 절댓값은 중요하니 챙겨주자. 또 절댓값의 원리는 루트, 제곱에서도 등장하니 잘 알아두는 게 좋다.

3. 복소수의 절댓값([math(|z|)])

이 '원점으로부터의 거리'라는 절댓값의 정의를 이용하여 복소수에도 절댓값을 도입할 수 있다. [math( z = a+bi )] ([math( i )]는 허수단위)꼴의 복소수는 복소평면상의 (a, b)라는 점으로 나타낼 수 있는데, 이 점과 원점 사이의 거리인 [math( \sqrt{ \Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{ a^2 + b^2} )] 이 복소수의 절댓값이 되는 것이다. 이 값은 [math(\sqrt{z\bar{z}} )]와 같다. [math( \bar{z} )]는 [math( z )]의 켤레복소수(complex conjugate) [math( a-bi )]이다.

단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 미분가능하지 않다.

파일:나무_절댓값_복소.png
유색 복소평면에서는 위 그림처럼 시뻘건 톤의 원형 계조를 그린다. 밝기를 높이로 바꿔 보면, 옆에서 보면 원뿔을 뒤집어 원점 위에 놓은 형태가 된다. 즉, 위 문단의 V자 그래프는 복소평면에서의 그래프의 실수축 방향 절단면이라고 볼 수 있다.

4. 집합의 절댓값([math(|S|)])

집합의 절댓값은 해당 집합에 딸려 있는 원소의 개수를 뜻하며, 기수라고도 한다. 무한집합에서도 성립한다. 중등교육과정에서는 [math(n(S))]로 표현한다.

5. 행렬의 절댓값([math(|A|)])

행렬에도 절댓값을 정의할 수 있는데 이는 행렬식으로 나타낼 수 있다. 자세한 사항은 행렬식 문서로.

수의 절댓값이나 기수와는 달리, 행렬식의 값은 음수가 나올 수 있다. 음수가 나올 수 없는 것은 절댓값이 아니라 노름이다.


[1] 실제로 학생들이 헷갈리는 경우가 많은데, '絕對'(한자어) + '값'(고유어)의 합성어이므로 사이시옷 규정에 부합한다. [2] 대표적인 예가 삼각함수의 사분면에 따른 삼각함수의 음수 양수 여부다. 비록 x 좌표값과 y 좌표값은 음수가 될 수 있지만, 그 빗변(다시 말해 분모)은 절대 음수가 될 수 없으므로 사분면에 따른 사인과 코사인의 음,양수가 다양하게 된다.(탄젠트는 x, y 좌표값에만 영향을 받는다.) [3] 실생활에서의 예를 들자면 이렇다. 대전역에서 옥천역까지의 거리는 부산 방향으로 16.2km, 신탄진역까지의 거리는 서울 방향으로 14.4km로 서로 반대 방향으로 떨어져 있다. 하지만 그렇다고 해서 이걸 -16.2km나 -14.4km와 같이 둘 중 하나를 음수로 적을 수는 없는 것과 같은 이치이다. [4] 그냥 부등호를 [math(0≤x)]와 [math(0>x)]로 나누는게 계산하기 편하다. [5] [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x| = \mathrm{sgn}(x), \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|x| = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sgn}(x) = 2\delta(x))] [6] [math(\displaystyle \int |x| \ \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \mathrm{sgn} \left( x \right) + C)] [7] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(\dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)] 또는 [math(\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{sgn}(x))] 이 된다.

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