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| * 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | }}}}}}}}}}}} | |
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| 복소평면에 나타낸 제타 함수 그래프 |
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1. 개요
특수함수의 하나로, [math(\zeta(s))]로 표기한다. 리만 가설을 비롯한 여러 해석적 정수론 분야에서 핵심적인 주제인 리만 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.[math(\displaystyle \zeta(s) ≝ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{n^s} \,\mathrm{d} \lfloor n \rfloor )][1]
(단, [math(\text{Re}(s)>1)])[2]
형태에서 보듯 기본적인 반비례 관계를 멱급수로 변형한 것이다. 이렇다보니 수학자마다 자기 나름대로 마개조를 해서 만든 엄청난 양의 바리에이션이 있다.
한편, 합이 아닌 곱의 꼴로도 정의가 가능한데 레온하르트 오일러가 유도했다. 이를 '오일러 곱'이라고 한다.
[math(\displaystyle \zeta(s) = \prod_{p\,\in\,\mathbb{P}}^{\infty} \frac{p^s}{p^s-1} )] (단, [math(\mathbb{P})]는 소수 집합)
특히 이 식은 겉보기에는 전혀 소수와 관련이 없어 보이는 제타 함수가 실제로는 소수와 밀접한 관계가 있음을 보여주는 식으로, 베른하르트 리만의 리만 가설 논문의 출발점이 되었다. 존 더비셔의 책 <리만 가설>에서는 '오일러의 황금 열쇠'라고 표현하기까지 했다. 이 식은 잘 알려진 에라토스테네스의 체로부터 직관적으로 이해될 수 있다. #
2. 성질
-
오일러 곱
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle ζ(s) = \prod_{p는~소수} \frac{p^s}{p^s-1} )]}}}
{{{#!folding [증명 보기]
모든 자연수는
[math(\displaystyle n=p_1^{m_1}p_2^{m_2}p_3^{m_3}\cdots\quad ※m_k들은~0~및~자연수)]
꼴로
소인수분해되므로
[math(\displaystyle ζ(s)=\sum_{n=1}^∞ \frac1{n^s})]
[math(\displaystyle =\sum_{m_1=0}^∞\sum_{m_2=0}^∞\sum_{m_3=0}^∞\cdots \frac1{(p_1^{m_1}p_2^{m_2}p_3^{m_3}\cdots)^s})]
[math(\displaystyle =\left(\sum_{m_1=0}^∞(p_1^{-s})^{m_1}\right)\left(\sum_{m_2=0}^∞(p_2^{-s})^{m_2}\right)\cdots)]
[math(\displaystyle =\left(\frac1{1-p_1^{-s}}\right)\left(\frac1{1-p_2^{-s}}\right)\left(\frac1{1-p_3^{-s}}\right)\cdots)]
[math(\displaystyle =\prod_{p는~소수}\frac1{1-p^{-s}}=\prod_{p는~소수}\frac{p^s}{p^s-1})]
가 성립한다.[math(\displaystyle =\sum_{m_1=0}^∞\sum_{m_2=0}^∞\sum_{m_3=0}^∞\cdots \frac1{(p_1^{m_1}p_2^{m_2}p_3^{m_3}\cdots)^s})]
[math(\displaystyle =\left(\sum_{m_1=0}^∞(p_1^{-s})^{m_1}\right)\left(\sum_{m_2=0}^∞(p_2^{-s})^{m_2}\right)\cdots)]
[math(\displaystyle =\left(\frac1{1-p_1^{-s}}\right)\left(\frac1{1-p_2^{-s}}\right)\left(\frac1{1-p_3^{-s}}\right)\cdots)]
[math(\displaystyle =\prod_{p는~소수}\frac1{1-p^{-s}}=\prod_{p는~소수}\frac{p^s}{p^s-1})]
}}}
-
리만 제타 함수를 [math(s=1)]을 중심으로
로랑 급수 전개를 하면 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \zeta(s)=\frac1{s-1}+\sum_{n=0}^∞\frac{\gamma_n}{n!}(1-s)^n )]}}}
먼저 제타함수 급수에서 N까지만 더한 걸 계산하면
[math(\displaystyle \sum_{k=1}^N \frac1{k^s})]
[math(\displaystyle =\int_1^N\frac1{x^s}dx+\left(\sum_{k=1}^N \frac1{k^s}-\int_1^N\frac1{x^s}dx\right))][math(\quad(무한합을~적분으로~근사))]
[math(\displaystyle =\frac{N^{1-s}-1}{1-s}+\left(\sum_{k=1}^N\frac{e^{(1-s)\ln k}}k-\int_1^N\frac{e^{(1-s)\ln x}}xdx\right))]
[math(\displaystyle =\frac{1-N^{1-s}}{s-1}+\sum_{n=0}^∞\frac{(1-s)^n}{n!}\left(\sum_{k=1}^N\frac{\ln^n k}k-\int_1^N\frac{\ln^n x}xdx\right))][math(\quad(e^X를~급수전개한 ~뒤~정리))]
을 얻게 되어 N이 무한이면 위에서 말한 식이 나오는 걸 볼 수 있다.[math(\displaystyle =\int_1^N\frac1{x^s}dx+\left(\sum_{k=1}^N \frac1{k^s}-\int_1^N\frac1{x^s}dx\right))][math(\quad(무한합을~적분으로~근사))]
[math(\displaystyle =\frac{N^{1-s}-1}{1-s}+\left(\sum_{k=1}^N\frac{e^{(1-s)\ln k}}k-\int_1^N\frac{e^{(1-s)\ln x}}xdx\right))]
[math(\displaystyle =\frac{1-N^{1-s}}{s-1}+\sum_{n=0}^∞\frac{(1-s)^n}{n!}\left(\sum_{k=1}^N\frac{\ln^n k}k-\int_1^N\frac{\ln^n x}xdx\right))][math(\quad(e^X를~급수전개한 ~뒤~정리))]
}}}
-
감마 함수 [math(\Gamma(x))] 와 제타 함수를 곱하면 다음과 같은 식도 얻을 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \Gamma(s)\,\zeta(s)=\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t-1}\,\mathrm{d}t )]}}}
{{{#!folding [증명 보기]
감마함수는 아래 식을 통해 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle Γ(s)=\int_0^∞e^{-u}u^{s-1}du)]
여기에다 u = nt를 넣으면(※ n은
양수)
[math(\displaystyle Γ(s)=\int_0^∞e^{-nt}(nt)^{s-1}d(nt))]
이고 정리하면
[math(\displaystyle =\int_0^∞e^{-nt}({\color{seagreen}n^{s-1}}t^{s-1})({\color{seagreen}n}dt))]
[math(\displaystyle ={\color{seagreen}n^s}\int_0^∞e^{-nt}t^{s-1}dt)]
[math(\displaystyle ={\color{seagreen}n^s}\int_0^∞e^{-nt}t^{s-1}dt)]
[math(\displaystyle \frac{Γ(s)}{n^s}=\int_0^∞e^{-nt}t^{s-1}dt)]
이 나온다.이제 무한급수를 적용한 뒤 계산하면
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{Γ(s)}{n^s}=\sum_{n=1}^∞\int_0^∞e^{-nt}t^{s-1}dt)]
[math(\displaystyle Γ(s)\sum_{n=1}^∞\frac1{n^s}=\int_0^∞ \sum_{n=1}^∞\frac1{(e^t)^n}t^{s-1}dt)]
[math(\displaystyle \Gamma(s)\,\zeta(s)=\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t-1}\,\mathrm{d}t )]
위와 같은 결과를 얻는다.[math(\displaystyle Γ(s)\sum_{n=1}^∞\frac1{n^s}=\int_0^∞ \sum_{n=1}^∞\frac1{(e^t)^n}t^{s-1}dt)]
[math(\displaystyle \Gamma(s)\,\zeta(s)=\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t-1}\,\mathrm{d}t )]
}}}
-
제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\!\left(\frac{\pi s}2\right)\Gamma(1-s)\,\zeta(1-s) )]}}}
{{{#!folding [증명 보기]
아까 얻은 급수 생성용 식에 n대신 πn², s대신 s/2를 넣으면 아래 식이 나온다.
[math(\displaystyle \frac{Γ(s/2)}{π^{s/2}n^s}=\int_0^∞e^{-πn^2t}t^{\frac s2-1}dt)]
이 식을 아까처럼 n=1~∞까지 더해준 뒤 [math(\sum_{n=-∞}^∞e^{-πn^2t}=θ(t))]로 놓으면 다음과 같은 식을 얻는다.
[math(\displaystyle π^{-\frac s2}Γ\left(\frac s2\right)ζ(s))]
[math(\displaystyle=\int_0^∞\frac{θ(t)-1}2t^{\frac s2-1}dt)]
[math(\displaystyle=\int_0^1\frac{θ(t)-1}2t^{\frac s2-1}dt+\int_1^∞\frac{θ(t)-1}2t^{\frac s2-1}dt)]
[math(\displaystyle=-\frac 1s+\int_0^1\frac{θ(t)}2t^{\frac s2-1}dt+\int_1^∞\frac{θ(t)-1}2t^{\frac s2-1}dt)]
한편 이 θ(t)는 아래와 같이 풀 수 있다.
위 풀이를 통해 얻은 공식을 통해 두번째 적분을 변형하면[math(\displaystyle=\int_0^∞\frac{θ(t)-1}2t^{\frac s2-1}dt)]
[math(\displaystyle=\int_0^1\frac{θ(t)-1}2t^{\frac s2-1}dt+\int_1^∞\frac{θ(t)-1}2t^{\frac s2-1}dt)]
[math(\displaystyle=-\frac 1s+\int_0^1\frac{θ(t)}2t^{\frac s2-1}dt+\int_1^∞\frac{θ(t)-1}2t^{\frac s2-1}dt)]
한편 이 θ(t)는 아래와 같이 풀 수 있다.
[math(\displaystyle θ(t))]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞e^{-πn^2t})]
[math(\displaystyle =\int_{-∞}^∞ \left(\sum_{n=-∞}^∞δ(x-n)\right)e^{-πx^2t}dx)]
[math(\displaystyle =\int_{-∞}^∞ \left(\sum_{n=-∞}^∞e^{2iπnx}\right)e^{-πx^2t}dx)][※푸리에변환]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞\int_{-∞}^∞e^{-πx^2t+2iπnx}dx)]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞\int_{-∞}^∞e^{-\frac{πn^2}t-π(x-\frac{in}t)^2t}dx)]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞e^{-\frac{πn^2}t}\int_{-∞}^∞e^{-π(x-\frac{in}t)^2t}dx)]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞\frac{e^{-\frac{πn^2}t}}{\sqrt t})][※해석적연속]
[math(\displaystyle =\frac{θ(1/t)}{\sqrt t})]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞e^{-πn^2t})]
[math(\displaystyle =\int_{-∞}^∞ \left(\sum_{n=-∞}^∞δ(x-n)\right)e^{-πx^2t}dx)]
[math(\displaystyle =\int_{-∞}^∞ \left(\sum_{n=-∞}^∞e^{2iπnx}\right)e^{-πx^2t}dx)][※푸리에변환]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞\int_{-∞}^∞e^{-πx^2t+2iπnx}dx)]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞\int_{-∞}^∞e^{-\frac{πn^2}t-π(x-\frac{in}t)^2t}dx)]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞e^{-\frac{πn^2}t}\int_{-∞}^∞e^{-π(x-\frac{in}t)^2t}dx)]
[math(\displaystyle =\sum_{n=-∞}^∞\frac{e^{-\frac{πn^2}t}}{\sqrt t})][※해석적연속]
[math(\displaystyle =\frac{θ(1/t)}{\sqrt t})]
[math(\displaystyle \int_0^1\frac{θ(t)}2t^{\frac s2-1}dt)]
[math(\displaystyle =\int_0^1\frac{θ(1/t)}2t^{\frac {s-1}2-1}dt)]
[math(\displaystyle =\int_1^∞\frac{θ(u)}2u^{\frac {1-s}2-1}du)] (t=1/u로 치환)
[math(\displaystyle =\int_1^∞\frac{[θ(u)-1]+1}2u^{\frac {1-s}2-1}du)]
[math(\displaystyle =-\frac 1{1-s}+\int_1^∞\frac{θ(u)-1}2u^{\frac {1-s}2-1}du)]
이고 이걸 아까 식에 넣고 정리하면[math(\displaystyle =\int_0^1\frac{θ(1/t)}2t^{\frac {s-1}2-1}dt)]
[math(\displaystyle =\int_1^∞\frac{θ(u)}2u^{\frac {1-s}2-1}du)] (t=1/u로 치환)
[math(\displaystyle =\int_1^∞\frac{[θ(u)-1]+1}2u^{\frac {1-s}2-1}du)]
[math(\displaystyle =-\frac 1{1-s}+\int_1^∞\frac{θ(u)-1}2u^{\frac {1-s}2-1}du)]
[math(\displaystyle π^{-\frac s2}Γ\left(\frac s2\right)ζ(s))]
[math(\displaystyle=\frac1{s(s-1)}+\int_1^∞\frac{θ(t)-1}2(t^{\frac s2-1}+t^{\frac {1-s}2-1})dt)]
이렇게 됨을 알 수 있는데, 위 식에 s대신 1-s를 넣어도 위 식이랑 똑같이 나오기 때문에[math(\displaystyle=\frac1{s(s-1)}+\int_1^∞\frac{θ(t)-1}2(t^{\frac s2-1}+t^{\frac {1-s}2-1})dt)]
[math(\displaystyle π^{-\frac s2}Γ\left(\frac s2\right)ζ(s)=π^{-\frac {1-s}2}Γ\left(\frac {1-s}2\right)ζ(1-s))]
임을 알 수 있다. 이제 양변에 [math(Γ\left(1-\frac s2\right))]를 곱한뒤 감마함수 관련 공식을 써서 이 식을 정리하면 된다.}}}
- 제타 함수의 무한급수꼴 정의와 비슷하게 생긴 다음 급수들의 값은 제타 함수로 표현할 수 있다.
-
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}=\frac1{1^s}-\frac1{2^s}+\frac1{3^s}-\frac1{4^s}+\cdots=(1-2^{1-s})\zeta(s) )]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}+\zeta(s)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s} \\
&=2\sum_{n=2,4,\cdots}^{\infty}\frac1{n^s}\qquad\quad\mathrm{Let}: n=2k \\
&=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{(2k)^s} \\
&=2^{1-s}\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^s} \\
&=2^{1-s}\zeta(s) \\
\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}&=2^{1-s}\zeta(s)-\zeta(s)=(2^{1-s}-1)\zeta(s) \\
\therefore\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}&=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\end{aligned} )]
}}} ||
-
[math(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^s}=\frac1{1^s}+\frac1{3^s}+\frac1{5^s}+\frac1{7^s}+\cdots=(1-2^{-s})\zeta(s) )]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\zeta(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s} \\
&=\left(\frac1{1^x}+\frac1{3^x}+\frac1{5^s}+\cdots\right)+\left(\frac1{2^s}+\frac1{4^s}+\frac1{6^s}+\cdots\right) \\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^s}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n)^s} \\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^s}+\frac1{2^s}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s} \\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^s}+2^{-s}\zeta(s) \\
\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^s}&=\zeta(s)-2^{-s}\zeta(s) \\
\therefore\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^s}&=(1-2^{-s})\zeta(s)
\end{aligned} )]
}}} ||
3. 알려진 함숫값
특정 정수를 넣으면 특수한 값을 띠는데 아래는 그 예이다.- [math(\zeta(1))]은 정의되지 않는다. 조화급수가 무한대로 발산하기 때문. 정의역을 실수 전체로 확장했을 때 [math(\displaystyle \lim_{\epsilon \to \pm 0} \zeta(1+\epsilon)=\pm \infty)]로 좌극한과 우극한을 나타낼 수 있다. [math(x=1)]에서의 코시 주요값 [math(\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\epsilon)+\zeta(1-\epsilon)}{2}=\gamma)]이다.[5]
-
[math(\displaystyle \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645)]
이 값을 구하는 과정은 따로 바젤 문제라는 이름이 붙어 있다. 이 값의 역수는 임의의 두 자연수가 서로소일 확률을 나타낸다. -
[math(\displaystyle \zeta(3) = -\frac{4}{3}\mathrm{Li}_{3}(-1)\approx 1.202)][6]
[math(\zeta(3))]을 '아페리 상수'라고도 부른다. 자세한 내용은 아래에 후술. -
[math(\displaystyle \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\approx 1.082)]
열역학의 슈테판-볼츠만 법칙 유도 과정 등에서 나타난다.
위 네 식만 봐도 짝수에서는 원주율의 거듭제곱으로 깔끔하게 맞아떨어짐에 비해[7] 홀수에서는 정확한 값으로 맞아떨어지지 않음을 알 수 있다. 실제로도 짝수에 대해서는 다음 식과 같이 [math(\pi)]의 거듭제곱에 대한 식으로 깔끔하게 표현할 수 있다. 여기서 [math(B_{2n})]은 베르누이 수열이다.
[math(\displaystyle \zeta(2n)=\frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} )]
또한 무한대로의 극한값은 1이다.
[math(\displaystyle \lim_{{\rm Re}~s \to \infty} \zeta(s) = 1)]
3.1. 아페리 상수
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수학
상수 Mathematical Constants |
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[math(-e, {rm Ei}(-1))] (곰페르츠 상수) |
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Apéry's constant
상술한 [math(\zeta(3))]의 값으로, 1977년 학계에서 이렇다 할 족적을 남기지 못했던 61세의 그리스계 프랑스 수학자 로저 아페리는 [math(\displaystyle \zeta(3))]이 무리수[8]임을 증명하여 수학계를 충격에 빠트렸다. 60대 수학자가 역사상 최초로 제타함수의 홀수 함숫값의 무리수 판정을 성공, 그것도 200년 전부터 접근 가능했던 초등적인 방법으로 증명한 것이다. 수많은 수학자들이 증명을 의심하고 검토했지만 증명에 오류는 없었고, 아페리는 고령의 수학자가 획기적인 성과를 낸 몇 안되는 사례로 남은 동시에 자신의 이름을 영원히 남기게 되었다. 하지만 아페리의 방법을 5 이상의 홀수에 대해 확장하려는 시도는 번번이 좌절되어 [math(\zeta(5))], [math(\zeta(7))] 등에 대해서는 여전히 무리수인지의 여부가 판정되지 않고 있다. 현재는 [math(\zeta(2n+1))] 꼴의 무리수가 무수히 많음이 알려져 있다.
[math(\zeta(3))]의 값은 다음 과 같이 전개된다.
[math(\zeta(3) = 1.2020569031595942853997381...)]
이는 전자의 자기회전비율 계산 등 일부 물리학 문제에서 나타난다.
3.2. 0과 음의 정수는?
한편 0, 음수 정수를 넣을 경우 황당한 결과가 나오는데 분명히 정의상 1만 계속 더하거나, 1과 1보다 큰 수를 합하여 발산할 것처럼 보이지만 특정 값으로 수렴하기 때문이다. 이는 파울하버의 공식과의 연관성[9]에서 비롯된 해석적 확장을 통해 얻어지는 값으로, [math(0)] 이하의 정수는 다음과 같이 베르누이 수열 [math(B_n)]을 이용해서 정의된다.| [math(\displaystyle \zeta(-n) = \frac{(-1)^n}{n+1}B_{n+1})] |
- [math(\displaystyle \zeta(0) = -\frac{1}{2})]
- [math(displaystyle zeta(-1) = -frac{1}{12})]
- [math(\displaystyle \zeta(-2) = 0)]
- [math(\displaystyle \zeta(-3) = \frac{1}{120})]
- [math(\displaystyle \zeta(-4) = 0)]
4. 관련 문서
[1]
[math(\lfloor n \rfloor)]는
바닥함수이다. 이러한 꼴의 적분을
스틸체스 적분이라고 한다.
[2]
리만 제타 함수나
후르비츠 제타 함수는 [math(s \neq 1)]
[※푸리에변환]
[math(\displaystyle \sum_{n=-∞}^∞δ(x-n)=\sum_{n=-∞}^∞e^{2iπnx})]
푸리에 변환을 쓰면 위 디랙 델타 함수에 대한 무한합은 이렇게 바뀐다. [※해석적연속] y가 실수일 땐 [math(\displaystyle \int_{-∞}^∞e^{-π(x-y)^2t}dx=)] [math(displaystyle int_{-∞}^∞e^{-πx^2t}dx=frac1{sqrt t})]가 성립하는데, 해당 식은 해석적 연속에 의해 y를 복소수 영역으로 확장할 수 있음에 따라 y=in/t를 넣어도 위 등식이 성립한다. [5] [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다. [6] [math(\mathrm{Li}_{3})]는 폴리로그함수이다. [7] 2, 4를 넣은 함숫값은 다름아닌 레온하르트 오일러가 계산해낸 값이다. [8] 초월수 여부가 아니다. 아페리 상수가 초월수인지 아닌지는 아직 밝혀지지 않았다. [9] 파울하버의 공식은 거듭제곱의 합 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^nk^c)]에 관한 공식이고 제타 함수는 [math(c = -s)]를 대입하고 [math(n\to\infty)]의 극한을 취한 식이다.
푸리에 변환을 쓰면 위 디랙 델타 함수에 대한 무한합은 이렇게 바뀐다. [※해석적연속] y가 실수일 땐 [math(\displaystyle \int_{-∞}^∞e^{-π(x-y)^2t}dx=)] [math(displaystyle int_{-∞}^∞e^{-πx^2t}dx=frac1{sqrt t})]가 성립하는데, 해당 식은 해석적 연속에 의해 y를 복소수 영역으로 확장할 수 있음에 따라 y=in/t를 넣어도 위 등식이 성립한다. [5] [math(\gamma)]는 오일러-마스케로니 상수이다. [6] [math(\mathrm{Li}_{3})]는 폴리로그함수이다. [7] 2, 4를 넣은 함숫값은 다름아닌 레온하르트 오일러가 계산해낸 값이다. [8] 초월수 여부가 아니다. 아페리 상수가 초월수인지 아닌지는 아직 밝혀지지 않았다. [9] 파울하버의 공식은 거듭제곱의 합 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^nk^c)]에 관한 공식이고 제타 함수는 [math(c = -s)]를 대입하고 [math(n\to\infty)]의 극한을 취한 식이다.