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특수함수 Special Functions |
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| [math(^\ast)] 특수함수가 아니라 특정 조건을 만족시키는 다항함수이지만, 편의상 이곳에 기술했다. | ||
1. 개요
브링 근호(Bring radical) 또는 초근호(ultraradical)[1]는 특수함수의 일종으로, [math(\operatorname{BR}(x))]로 표기한다. 오차 방정식(quintic equation)[math(x^5+x+a=0 )]
의 실근을 [math(\operatorname{BR}(a))]로 표기한다. [math(\operatorname{BR}(x))]의 정의는 다음과 같다.
[math(\operatorname{BR}(x) = -x \cdot {}_4{F}_3 \!\left(\dfrac{1}{5},\,\dfrac{2}{5},\,\dfrac{3}{5},\,\dfrac{4}{5};\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4},\,\dfrac{5}{4};\,-5\!\left(\dfrac{5x}{4}\right)^{\!4}\right))]
여기서 [math({}_4{F}_3)]은 초기하함수이다. 해당 함수의 그래프는 아래와 같다.
테일러 급수로 전개하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \operatorname{BR}(-x) = \sum_{k=0}^{\infty} \dbinom{5k}{k}\frac{(-1)^{k} x^{4k+1}}{4x+1})]
여기서 [math( \binom{5k}{k})]는 조합이다.
원점 대칭인 홀함수[2]로, 다음이 성립한다.
[math(\operatorname{BR}(x) = -\operatorname{BR}(-x))]
주 활용처는 5차 이상의 고차 방정식의 풀이로, 닐스 헨리크 아벨이 5차 방정식의 일반해를 구할 수 없다고 증명한 이래 뭇 수학자들이 여러 연구를 통해 찾아낸 것이다. 수학자 브링(Bring)은 모든 5차방정식이 [math(x^5+x+a=0)] 형태로 변환될 수 있다는 것을 보여주었다. 여기에서 그 변환 과정을 대략적으로 설명하고 있다.
울프럼알파에는 아직 브링 근호가 없으며, 같은 회사에서 운영하는 수학 정보 사이트인 Mathworld에서는 [math(\operatorname{BR})] 대신 5를 변형한 듯한 모양의 근호를 독자적으로 만들어 쓰는 듯하다.
도함수는 역함수의 미분법 또는 음함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\operatorname{BR}(x) =- \dfrac{1}{5[ \operatorname{BR}(x) ]^4+1})]
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역도함수는 역함수의 적분법을 이용한다.
[math(\displaystyle \int \operatorname{BR}(x)\,{\rm d}x = - \frac{[ \operatorname{BR}(x) ]^6 + 3 [ \operatorname{BR}(x) ]^2}{6} + x \operatorname{BR}(x) + x + {\sf const.})]
[math(\sf const.)]는 적분상수이다.
2. 여담
대수함수이지만 초등함수가 아니다.
[1]
공식 역어는 아니다. 이렇게 표현한 이유는 이미
초제곱근이라고 불리는 함수([math(\sqrt{x}_s = e^{(W \circ\,\ln)(x)})],테트레이션의 역함수)가 따로 있기 때문이다. 여기서 [math(W)]는
람베르트 [math(W)] 함수이다.
[2]
일반적인 홀함수와는 달리 [math(x > 0)]인 경우 [math(\operatorname{BR}(x) < 0)], [math(x < 0)]인 경우 [math(\operatorname{BR}(x) > 0)]이다.