최근 수정 시각 : 2021-11-06 21:44:44

2차 잉여

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1. 정의2. 성질
2.1. 오일러 판정법2.2. 가우스 판정법2.3. 가우스의 상호법칙
3. 관련 문서


/ quadratic residue

1. 정의

[math(m)]이 1보다 큰 자연수이고, [math(\gcd\left(a,m\right)=1)]일 때, 합동식 [math(x^2\equiv a\left(\text{mod}\,m\right))]이 해를 가지면 [math(a)]를 법 [math(m)]에 관한 2차 잉여(quadratic residue)라 하고, 이 합동식이 해를 갖지 않으면 [math(a)]를 법 [math(m)]에 관한 2차 비잉여(non-quadratic residue)라 한다. [math(p)]가 임의의 홀수 소수이고, [math(\gcd\left(a,p\right)=1)]일 때 [math(a)]가 법 [math(p)]에 관한 2차 잉여이면 [math(\left(\frac{a}{p}\right)=1)]로 표시하고, 그렇지 않으면 [math(\left(\frac{a}{p}\right)=-1)]로 표시한다. 이 때, [math(\left(\frac{a}{p}\right))]를 르장드르 기호(Legendre symbol)라 한다.

이것을 일반화한 것으로 야코비 기호가 있다. 1보다 큰 홀수 [math(P)]에 대하여 [math(P=p_1 p_2 \cdots p_m)]이 성립한다고하자. 단, [math(p_1,p_2,\cdots,p_m)]는 홀수인 소수이며, 이 중에는 같은 것이 있을 수 있다. 이때, [math(\gcd\left(b,P\right)=1)]인 수 [math(b)]에 대하여 야코비 기호 [math(\left(\frac{b}{P}\right)=\left(\frac{b}{p_1}\right)\left(\frac{b}{p_2}\right)\cdots\left(\frac{b}{p_m}\right))]로 정의한다. 야코비 기호에 대해서도 아래의 르장드르 기호의 성질들은 성립하나, [math(\left(\frac{b}{P}\right)=1)]이라 해서 [math(b)]가 법 [math(P)]에 대한 이차 잉여인 것은 아니다.

2. 성질

[math(p)]가 홀수 소수이고, [math(a,b)]가 [math(p)]와 서로소일 때, 다음이 성립한다.
  1. [math(a\equiv b \left(\text{mod}\,p\right))]이면, [math(\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right))].
  2. [math(\displaystyle \left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right))].
  3. [math(\displaystyle \left(\frac{a^2}{p}\right)=1)].
  4. [math(\displaystyle \left(\frac{a^2b}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right))].
  5. [math(\displaystyle \left(\frac{1}{p}\right)=1)].
  6. [math(p)]가 홀수인 소수일 때, [math(\displaystyle \left(\frac{-1}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}})].
  7. [math(p)]가 홀수인 소수일 때, p의 완전 잉여계 중에는 [math(\frac{p-1}{2})]개의 2차 잉여와 [math(\frac{p-1}{2})]개의 2차 비잉여가 존재한다.

1~5의 증명:
어려운 증명 없이 르장드르 기호의 정의로 충분히 해결할 수 있다.

6번의 증명:
윌슨의 정리를 이용하면, [math(\displaystyle -1\equiv \left(p-1\right)! \equiv 1\times 2\times \cdots \times \frac{p-1}{2} \times \left(p-\frac{p-1}{2}\right) \times \cdots \times \left(p-2\right) \times \left(p-1\right) \equiv \left(1\times 2\times \cdots \times \frac{p-1}{2}\right)^2 (-1)^{\frac{p-1}{2}} \left(\text{mod}\,p\right))]이므로 [math(\displaystyle \left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}=1)]이면 -1은 p의 2차잉여가 된다. 한편 [math(\displaystyle \left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}=-1)]이면, [math(x^2\equiv -1 \left(\text{mod}\,p\right))]이라고 할 때 [math(x^{p-1}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 \left(\text{mod}\,p\right))]이므로 페르마 소정리에 모순이다. 따라서 이 경우 -1이 p의 2차잉여가 아니다.

7번의 증명:
임의의 완전잉여계 중에서, [math(p)]와 서로소이고, 2차 잉여가 되기 위해서는 [math(1^2,2^2,\cdots,\left(p-1\right)^2)]중 어떤 한 원소와 법 [math(p)]에 의해 같아야 한다. 그런데, [math(\left(p-n\right)^2\equiv \left(-n\right)^2\equiv n^2 \left(\text{mod}\,p\right))]이므로 그 원소는 [math(1^2,2^2,\cdots,\left(\frac{p-1}{2}\right)^2)] 중 한 원소와 법 [math(p)]에 의해 같아야 한다. 한편, [math(1^2,2^2,\cdots,\left(\frac{p-1}{2}\right)^2)]은 법 [math(p)]에 의해 각기 다르므로, 2차 잉여는 [math(\frac{p-1}{2})]개이다. 따라서, 2차 비잉여도 [math(p-1-\frac{p-1}{2}=\frac{p-1}{2})]개이다.

2.1. 오일러 판정법

[math(p)]가 홀수인 소수이고, [math(\gcd\left(a,p\right)=1)]일 때,
[math(\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2} \left(\text{mod}\,p\right))]
이다. 또, [math(a)]가 법 [math(p)]에 관한 2차 잉여이면, 이차 합동식 [math(x^2\equiv a\left(\text{mod}\,p\right))]는 꼭 두 개의 해 [math(x\equiv\pm x_0\left(\text{mod}\,p\right))]를 갖는다.

증명 :
[math(x^2\equiv a\left(\text{mod}\,p\right))]의 해가 존재한다고 하자. 즉, [math(\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)= 1)]이라고 하자. 이때 [math(\gcd\left(a,p\right)=1)]이므로 [math(\gcd\left(x,p\right)=1)]이다.

그러면 페르마의 소정리에 의해 [math(x^{p-1}\equiv 1\left(\text{mod}\,p\right))]이므로, [math(\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv x^{p-1}\equiv 1 \left(\text{mod}\,p\right))]이다. 즉, [math(\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=1\equiv a^{(p-1)/2} \left(\text{mod}\,p\right))]

반대로, [math(\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv 1 \left(\text{mod}\,p\right))]이라고 하자. 이때 [math(r)]를 p의 원시근[1] 이라 하면 [math(r^k\equiv a\left(\text{mod}\,p\right))]인 정수 k가 존재한다. 그러면 [math(r^{k(p-1)/2} \equiv a^{(p-1)/2} \equiv 1\left(\text{mod}\,p\right))] 이다.

여기서 r이 p의 원시근이므로 [math(\displaystyle (p-1)\mid\frac{k(p-1)}{2})]이어야 하고, [math(k)] 는 짝수가 된다. 즉, [math(k=2l)]로 쓸 수 있고, [math(\left(r^{l}\right)^2\equiv a\left(\text{mod}\,p\right))] 이므로 [math(x^2\equiv a\left(\text{mod}\,p\right))]의 해가 존재한다. 따라서 [math(\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)= 1 \equiv a^{(p-1)/2} \left(\text{mod}\,p\right))]

마찬가지로 [math(x^2\equiv a\left(\text{mod}\,p\right))]의 해가 없는 경우, 즉 [math(\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=-1)]인 경우에 위와 같이 원시근 r를 생각하면 [math(r^k\equiv a\left(\text{mod}\,p\right))]인 k가 홀수여야 한다. 따라서 [math(a^{p-1} \equiv 1 \left(\text{mod}\,p\right))]이 성립하는데 [math(a^{(p-1)/2} \equiv 1 \left(\text{mod}\,p\right))]은 성립할 수 없으므로, [math(a^{(p-1)/2} \equiv -1 \left(\text{mod}\,p\right))]이다.

2.2. 가우스 판정법

[math(p)]가 홀수인 소수일 때, 다음이 성립한다.
  • [math(\displaystyle \left(\frac{2}{p}\right)=\left(-1\right)^\frac{p^2-1}{8})]
  • [math(\mathrm{gcd}(a, p)=1)]일 때, [math(\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=\left(-1\right)^n)]. 여기서 n은 [math(\displaystyle \left\{a, 2a, \cdots, \frac{p-1}{2}a\right\})]중에서 p로 나눈 나머지가 [math(\displaystyle \frac{p}{2})]보다 큰 것의 개수
  • [math(\mathrm{gcd}(a, 2p)=1)]일 때, [math(\displaystyle \left(\frac{a}{p}\right)=\left(-1\right)^t)]. 여기서 [math(\displaystyle t= \sum_{j=1}^{(p-1)/2} \left\lfloor\frac{ja}{p}\right\rfloor)].
위 식에서 [math(\lfloor\cdot\rfloor)]는 바닥함수를 뜻한다.

2.3. 가우스의 상호법칙

[math(p,q)]가 서로 다른 홀수인 소수일 때, [math(\displaystyle \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}})]이다.

3. 관련 문서



[1] 원시근은 법 p에 대한 위수가 [math(p-1)]인 것을 말한다. r이 p의 원시근이면 [math( \left\{r, r^2, \cdots, r^{p-1} \right\} \equiv \left\{1, 2, \cdots, p-1 \right\} \left(\text{mod}\,p\right))]이다. 참고로 법 p에 대한 b의 위수란 [math(b^x \equiv 1 \left(\mathrm{mod} p \right))]인 최소의 정수 x로, [math( \mathrm{ord}_p\left(b\right))]로 나타낸다.

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