|
정수론 Number Theory |
|||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px;min-height:2em" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" |
공리 | ||
| 페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법 · 아르키메데스 성질 | |||
| 산술 | |||
| 나눗셈 | 약수· 배수 | 배수 · 약수( 소인수) · 소인수분해( 목록) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수 | |
| 약수들의 합에 따른 수의 분류 | 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 혼약수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수 | ||
| 정리 | 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 호제법 · 서로소 | ||
| 디오판토스 방정식 | 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버츠와 스위너톤-다이어 추측(미해결) | ||
| 모듈러 연산 | |||
| 잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리 | |||
| 소수론 | |||
| 수의 분류 | 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수( 사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수 | ||
| 분야 | 대수적 정수론 · 해석적 정수론 | ||
| 산술함수 | 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식 | ||
| 정리 | 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)( 천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리 | ||
| 기타 | 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식 | ||
1. 개요
Fermat's theorem on sums of two squares · Fermat의 두 제곱 數 定 理( 素 數 定 理)프랑스의 수학자 피에르 드 페르마가 남기고 간 문제. 페르마가 죽은 지 거의 100년 만에 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 7년 간의 연구를 거쳐 1749년에 결국 증명에 성공했다.
페르마의 소수 정리라고도 하며, 아드리앵마리 르장드르가 제시한 소수 정리와는 다른 정리이다.[1]
2. 상세
2를 제외한 모든 소수(素數)는 홀수이므로 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(4n+1)] 또는 [math(4n-1)]의 꼴로 나타낼 수 있는데, 전자는 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 있지만 후자는 그럴 수 없다는 내용이다. 예를 들어 [math(13)]은 [math(4·3+1)]의 꼴로 나타낼 수 있으며, [math(3^2+2^2)]로도 나타낼 수 있다. 그러나 [math(19)]는 [math(4·5-1)]의 꼴로 나타낼 수 있으며, 서로 다른 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다.3. 증명
증명 방법은 여럿이 있는데, 오일러가 증명한 방식은 첫 증명이기도 하고 무한강하법을 이용한 방식이라 증명이 상당히 길고 복잡하다.투에 보조정리(Thue's lemma)를 사용하는 방법이 있는데, 이건 비둘기 집의 원리의 수론적 재해석으로 나오는 보조정리를 이용한 방식이다.
데데킨트는 1877년에 가우스 정수 [math(\mathbb{Z}[i])]를 바탕으로 하는 두 가지 증명법을 발표한다. 현대대수학 과목의 환론과 체론에 대한 고급 이론에서 가우스 정수에 대해 배우면서 데데킨트의 증명을 소개하기도 한다.