최근 수정 시각 : 2021-12-31 01:53:19

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1. 개요2. 성질3. 일차합동식
3.1. 일차합동식의 정의3.2. 일차합동식의 해법
4. 예제
4.1. 예제 14.2. 예제 24.3. 예제 34.4. 예제 4
5. 관련 문서

1. 개요

/ congruence

정수 [math(a,b,m)]에 대하여, [math(mmidleft(a-bright))]일 때[1], [math(a)]는 법 [math(m)]에 대하여 [math(b)]와 합동이다[2]라고 한다.[3] 이때, 기호로는 [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))][4]라고 쓴다. [math(m)]를 합동의 법(modular)이라고 한다. 간단히 말해서, "[math(a)]를 [math(m)]으로 나눈 나머지는 [math(b)]"라는 문장을 수식으로 표현한 것. [5][6]

일반적으로 나머지는 나누는 수보다 작지만, 합동식에서는 [math(b)]값에 제한이 없다는 차이점은 존재한다. 다시 말해 [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]에서 b에 들어갈 수 있는 수 자체는 많이 있고, 그중에 가장 작은 양의 정수가 초등학교 때 배운 ' 나머지'이다.

나머지라는 개념 자체가 초등학교 시절 분수 전에 배우던 것이어서 보통 마치 가르치기 어려운 개념을 회피하기 위해 만들어진 것 같아 보인다. 그러나 천만의 말씀. 나머지는 수학에서 가장 신비로운 개념 중 하나로, 덧셈이나 곱셈에만 적용되는 줄 알았던 연산개념이 신기하게도 나머지에서 완전 같은 방법으로 적용된다는 점을 깨닫게 되면 정수론에 대한 관심이 꽃피게 되는 일이 많다.

대학교의 정수론 수업이나 특정 수학 과목의 정수론 파트를 듣지 않는 한 배울 일이 없지만, KMO를 비롯한 수학 경시대회를 준비한다면 반드시 알아놔야 할 것 중 하나. 2차 잉여까지는 알 필요 없지만 아래 기본적인 성질은 모두 숙지하는 것이 좋다.

2. 성질

  1. 반사성(reflexivity) [math(a\equiv a\left(\text{mod}\,m\right))]이다.
    {{{#!folding 증명
[math(a-a=0)]이고, [math(m\cdot0=0)]이므로 [math(m\mid0)]이다. 따라서, [math(a\equiv a\left(\text{mod}\,m\right))]이다.}}}
2. 대칭성(symmetry) [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(b\equiv a\left(\text{mod}\,m\right))]이다. ( 교환법칙)
{{{#!folding 증명
[math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(a-b\right))]이다. 또, [math(m\mid\left(a-b\right))]이므로 [math(m\mid\left(b-a\right))]이다. 따라서, [math(b\equiv a\left(\text{mod}\,m\right))]이다.}}}
3. 추이성(transtivity) [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right), b\equiv c\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(a\equiv c\left(\text{mod}\,m\right))]이다.
{{{#!folding 증명
[math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(a-b\right))]이고, [math(b\equiv c\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(b-c\right))]이다. 그러므로 [math(m\mid{\left(a-b\right)+\left(b-c\right)})]이다. 즉, [math(m\mid\left(a-c\right))]이다. 따라서, [math(a\equiv c\left(\text{mod}\,m\right))]이다.}}}
4. 복부호동순(compatibility with translation) [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right), c\equiv d\left(\text{mod}\,m\right))]이면, [math(a\pm c\equiv b\pm d\left(\text{mod}\,m\right))]이다.
{{{#!folding 증명
[math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(a-b\right))]이고, [math(c\equiv d\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(c-d\right))]이다. 그러므로 [math(m\mid{\left(a-b\right)\pm\left(c-d\right)})]이다. 즉, [math(m\mid{\left(a\pm c\right)-\left(b\pm d\right)})]이다. 따라서, [math(a\pm c\equiv b\pm d\left(\text{mod}\,m\right))]이다.}}}
5. compatibility with scaling [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right), c\equiv d\left(\text{mod}\,m\right))]이면, [math(ac\equiv bd\left(\text{mod}\,m\right))]이다.
{{{#!folding 증명
[math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(a-b\right))]이고, [math(c\equiv d\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(c-d\right))]이다. 그러므로 [math(m\mid{\left(a-b\right)c+\left(c-d\right)b})]이다. 즉, [math(m\mid\left(ac-bd\right))]이다. 따라서, [math(ac\equiv bd\left(\text{mod}\,m\right))]이다.}}}
6.compatibility with exponentiation [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면, [math(a^k\equiv b^k\left(\text{mod}\,m\right))]이다.
{{{#!folding 증명
[math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(a-b\right))]이다. 또, [math(k\geq2)]일 때, [math(a^k-b^k =\left(a-b\right)\left(a^{k-1} + a^{k-2}b+\cdots +ab^{k-2}+b^{k-1}\right))]이므로, [math(m\mid\left(a^k-b^k\right))]이다. 따라서, [math(a^k\equiv b^k\left(\text{mod}\,m\right))]이다.[7][8] }}}
7. [math(ab\equiv ac\left(\text{mod}\,m\right))]이고, [math(d=\gcd\left(a,m\right))]이면, [math(b\equiv c\left(\text{mod}\,\frac{m}{d}\right))]이다.
{{{#!folding 증명
[math(ab\equiv ac\left(\text{mod}\,m\right))]이면, [math(m\mid a\left(b-c\right))]이다. [math(d=\gcd\left(a,m\right))]이므로, [math(a=dx_1,m=dx_2)]를 만족하는 정수 [math(x_1,x_2)]가 존재한다. 또한, [math(dx_2\mid dx_1\left(b-c\right))]이다. 또, [math(x_1)]과 [math(x_2)]가 서로소이므로 [math(x_2\mid\left(b-c\right))]이다. 그런데, [math(x_2=\frac{m}{d})]이므로, [math(\frac{m}{d}\mid\left(b-c\right))]이다. 따라서, [math(b\equiv c\left(\text{mod}\,\frac{m}{d}\right))]이다.
}}}
8. [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이고, [math(n)]이 [math(m)]의 약수이면, [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,n\right))]이다.
{{{#!folding 증명
[math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(a-b\right))]이다. 또 [math(n\mid m)]이면, [math(n\mid\left(a-b\right))]이다. 따라서, [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,n\right))]이다.}}}
9. [math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이고, [math(d>0)]이 [math(a,b,m)]의 공약수이면, [math(\frac{a}{d}\equiv\frac{b}{d}\left(\text{mod}\,\frac{m}{d}\right))]이다.
{{{#!folding 증명
[math(a\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]이면 [math(m\mid\left(a-b\right))]이다. 또, [math(d)]가 [math(a,b,m)]의 공약수이므로 [math(a=dx_1,b=dx_2,m=dx_3)]를 만족하는 정수 [math(x_1,x_2,x_3)]가 존재한다. 또한, [math(dx_3\mid d\left(x_1-x_2\right))]이다. 그러므로, [math(x_3\mid\left(x_1-x_2\right))]이다. 그런데, [math(x_1=\frac{a}{d},x_2=\frac{b}{d},x_3=\frac{m}{d})]이므로, [math(\frac{m}{d}\mid\left(\frac{a}{d}-\frac{b}{d}\right))]이다. 따라서, [math(\frac{a}{d}\equiv\frac{b}{d}\left(\text{mod}\,\frac{m}{d}\right))]이다.}}}

3. 일차합동식

3.1. 일차합동식의 정의

일차합동식이란, 일차방정식과 비슷하게 미지수의 차수가 1인 합동식을 의미한다. 수식으로 간단하게 표현하면 [math(ax\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]인 형태인 모든 합동식이 일차합동식이다. 일차방정식에 해가 존재할 조건이 있듯이, 일차합동식에도 해가 존재할 조건이 있다. [math(d=\gcd\left(a,m\right))][9]라 했을 때, [math(d\nmid b)]이면[10] 합동식은 정수해를 갖지 않고, [math(d\mid b)][11]이면 법 [math(m)]에 대해 정확히 [math(d)]개의 서로 다른 해를 갖게된다. 해의 존재성에 대한 증명은 다음과 같다.
1. [math(d\nmid b)]인데 해가 존재한다고 가정하자. 그럼 적당한 정수 [math(y)]에 대하여 [math(ax+my=b)]가 성립한다. 그런데 [math(d\mid ax+my=b)]이므로 [math(d\mid b)]이다. 이는 가정에 모순되므로 주어진 합동식의 해는 존재하지 않는다.
  1. [math(ax+my=b)]의 한 해를 [math(x_0,y_0)]라 하면, 일반해는 [math(x_k=x_0+\frac{mk}{d},y_k=y_0-\frac{ak}{d})]의 꼴이다 (단 [math(k)]는 임의의 정수).[12] 여기서 [math(x_k)]가 합동식 [math(ax\equiv b\left(\text{mod}\,m\right))]을 만족시키는 모든 해이다. 나눗셈 정리에 의해 [math(k=qd+r,\,\left(0\leq r<d\right))]이고, 이를 [math(x_k)]에 대입하면, [math(x_k\equiv x_0+\frac{m\left(qd+r\right)}{d}\equiv x_0+\frac{mr}{d}\equiv x_r\left(\text{mod}\,m\right))]이다. 이것은 곧 모든 [math(x_k)]가 [math(x_0,x_1,\cdots,x_{d-1})] 중 하나와 법 [math(m)]에 대해 합동임을 의미한다. 이제 [math(x_i\equiv x_j\left(\text{mod}\,m\right))], ([math(0\leq i,j\leq d-1)])라 가정하면, [math(\frac{im}{d}\equiv\frac{jm}{d}\left(\text{mod}\,m\right))]이다. 그런데 [math(\gcd\left(\frac{m}{d},m\right)=\frac{m}{d})]이므로 위 성질 7번에 의해 [math(i\equiv j\left(\text{mod}\,d\right))]이다. 이는 곧 [math(x_0,x_1,\cdots,x_{d-1})]가 법 [math(m)]에 대해 서로 합동이 아님을 의미한다.

3.2. 일차합동식의 해법

크게 디오판토스 방정식, 유클리드 호제법, 잉여역수를 이용하는 방법으로 나눌 수 있다. 여기서는 다음 예제의 해법을 소개한다.
일차합동식 [math(3x\equiv7\left(\text{mod}\,4\right))]의 해를 구하시오.

3.2.1. 디오판토스 방정식 이용

적당한 정수 [math(y)]에 대하여 [math(3x+4y=7)]이다. 여기서 [math(x_0=1,y_0=1)]은 한 해(특이해)임을 쉽게 알 수 있다. [math(\gcd\left(3,4\right)=1)]이므로 일반해는 [math(x=1+4t,\quad y=1-3t)]이다. 우리가 구하는 것은 [math(x)]와 관련된 것이므로 [math(x\equiv1\left(\text{mod}\,4\right))]가 해이다.

3.2.2. 유클리드 호제법 이용

[math(\gcd\left(3,4\right)=1)]이므로, 적당한 정수 [math(a,b)]에 대해 [math(3a+4b=1)]이다.[13] 실제로, [math(\left(-1\right)\cdot3+1\cdot4=1)]이다. 이 사실은 우리에게 [math(1\cdot x)]를 얻기 위하여 [math(x)]의 계수를 바꿀 수 있음을 암시한다. 즉, 아래와 같이 된다.
[math(4x\equiv0\left(\text{mod}\,4\right)\quad\cdots\left(1\right))]
[math(3x\equiv7\left(\text{mod}\,4\right)\quad\cdots\left(2\right))]

그리고, (1) 식에서 (2)식을 빼면, x ≡ -7 (mod 4) 가 된다. -7 + 2*4 = 1 이므로 -7 ≡ 1 (mod 4) 이기에, 위 식을 x ≡ 1 (mod 4) 로 써도 된다.

그래서 답은 [math(x\equiv1\left(\text{mod}\,4\right))]이다.

3.2.3. 잉여역수 이용

법 4에 대한 곱셈표는 아래와 같다.[14]
× 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
위 표에서 보듯이 [math(3\cdot3\equiv1\left(\text{mod}\,4\right))]이다.

원래 식 [math(3x\equiv7\left(\text{mod}\,4\right) )] 의 양변에 3을 곱하면 [math(3 \cdot 3x\equiv 3 \cdot 7\left(\text{mod}\,4\right) )] 이 되는데, [math(3\cdot3\equiv1\left(\text{mod}\,4\right))]이고, [math( 21\equiv1\left(\text{mod}\,4\right))] 이므로 이를 정리하면

[math(x\equiv 1\left(\text{mod}\,4\right) )] 이 나온다.

4. 예제

합동식을 다룰줄 안다면 여러 경이로운 문제들의 답을 생각보다 쉽게 찾을 수 있다.

4.1. 예제 1

[math(7^{242})]의 10과 1의 자리수를 합동식을 이용하여 구하시오.

[힌트]
[math(7^4)]

[풀이]
[math(7^4 = 2401 \equiv 1 \, (\text{mod} \, 100) \rightarrow (7^4)^{60} \equiv 1^{60} \,(\text{mod} \, 100) \rightarrow 7^{240} \equiv 1 \, (\text{mod} \, 100))]
[math(7^{242} = 7^{240} \times 7^2)]이니, [math(7^{242} \equiv 7^2 \, (\text{mod} \, 100))].
그러므로 답은 [math(49)]이다.

4.2. 예제 2

[math(7^{7^{777}})]의 1의 자리수를 합동식을 이용하여 구하시오.

[풀이]
[math(7 \equiv -1 \, (\text{mod} \, 4) \, \rightarrow \, 7^{777} \equiv (-1)^{777} \, (\text{mod} \, 4) \rightarrow 7^{777} \equiv -1 \,(\text{mod} \, 4))].
그렇다면, [math(7^{7^{777}}=7^{4n+(4-1)}=7^{4n+3})]을 만족하는 자연수 [math(n)]이 존재한다.
[math(7^4 \equiv 1 \, (\text{mod} \, 10))]이므로 [math(7^{4n} \equiv 1 \, (\text{mod} \, 10))]다. 따라서 [math(7^{4n+3} \equiv 7^3 \equiv 3 \, (\text{mod} \, 10))]이다.
답은 [math(3)]이다.

4.3. 예제 3

[math( \displaystyle 1^2 + 2^2 + ...)] [math( 98^2 + 99^2)] 의 1의 자리수를 합동식을 이용하여 구하시오.

[풀이]
[math( \displaystyle 1^2 + 2^2 + ...)] [math( 98^2 + 99^2 \equiv n\, (\text{mod} \, 10))]이라 하자.
[math( 1^2 \equiv 11^2 \equiv \, ... \, \equiv 91^2 \,(\text{mod}\,10))]이며, [math( 2^2 \equiv 12^2 \equiv \, ... \, \equiv 92^2 \,(\text{mod}\,10))]등등 이니까
[math(1^2+2^2+...\,9^2\equiv 11^2+12^2+...\,19^2\equiv...\equiv 91^2+92^2+...\,99^2\equiv \frac{n}{10}\,(\text{mod}\,10))]다.
따라서 [math(n)]은 [math(10)]의 배수가 되는것이니, 답은 [math(0)]이다.

4.4. 예제 4

합동식 [math(a \equiv b \, (\text{mod} \, m))]에 대하여 [math(a)]와 [math(m)]이 서로소일 때, [math(b)]와 [math(m)]이 서로소임을 보이시오.

[풀이]
먼저 [math(b)]와 [math(m)]이 서로소가 아니라고 가정해보자. 그렇다면 [math(a \equiv cd \, (\text{mod} \, cn))]이 성립한다 (단, [math(c > 1)]). 그렇다면 [math(cn\,|\,(a - cd) \, \rightarrow cn\,|\,c(\frac{a}{c}-d) \, \rightarrow \, n \, | \, (\frac{a}{c}-d))] 다. 이게 성립하려면 [math(a)]는 [math(c)]의 배수여야하니, [math(a)]와 [math(m)]도 서로소가 아니다.
여기까지 우리가 증명한 건 "[math(b)]와 [math(m)]이 서로소가 아니라면, [math(a)]와 [math(m)]도 서로소가 아니다"인데, 이건 예제에 나오는 명제의 대우다. 따라서 예제의 명제 "[math(a)]와 [math(m)]이 서로소라면, [math(b)]와 [math(m)]역시 서로소다"도 참이다.

5. 관련 문서



[1] [math(a-b)]가 [math(m)]으로 나누어 떨어질 때([math(m)] divides [math(a-b)]). 즉, 적당한 정수 [math(k)]에 대하여 [math(a-b=km)] [2] 기하학 합동과는 다르다. [3] 영어로는 [math(a)] is congruent to [math(b)] modulo [math(m)]라고 한다. [4] [math(a=b\,{mod}\,m)]와는 다르니 혼동에 주의바란다. 이뜻은 b와 m을 나눈 나머지가 a라는 뜻이다. [5] [math(0 \leq b < m)]일 때에 [6] 혹은 [math(a-b=nm)], [math(n)]은 자연수. [7] [math(k=1)]일 때에는 자명하다. [8] 사실 5의 증명을 반복 적용하면 된다. [9] d가 a와 m의 최대공약수 [10] b가 d로 나누어 떨어지지 않으면 [11] b가 d로 나누어 떨어지면 [12] 디오판토스 방정식 참조 [13] 최대공약수 참조 [14] 직접 구해야 한다.