최근 수정 시각 : 2022-01-26 14:54:09

기약잉여계

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1. 정의2. 추상적인 버전3. 관련 문서


/ reduced residue system

1. 정의

[math(\left\{a_1,a_2,\cdots,a_m\right\})]을 법 [math(m)]에 대한 완전잉여계라고 할 때, 이들 중 [math(m)]과 서로소인 원소만 모은 집합 [math(\left\{{a}'_1,{a}'_2,\cdots,{a}'_{\varphi\left(m\right)}\right\})][1]을 법 [math(m)]에 의한 기약잉여계라 한다.

4를 예시로 들어보면, [math(\left\{0,1,2,3\right\})]은 완전잉여계, 그리고 4와 서로소가 아닌 0[2], 2를 제외한 [math(\left\{1,3\right\})]는 기약잉여계가 된다. 따라서 어떤 수 [math(a)]에 대한 기약 잉여계는 1부터 [math(a)]중 [math(a)]와 서로소인 수들의 집합인 것이다.
기약잉여계가 중요한 이유는, 이들에게는 곱셈 역원이 있다는 점 때문이다. 예컨대, [math(6)]에 대한 완전잉여계 [math(\left\{0,1,2,3,4,5\right\})]와 그것의 기약잉여계 [math(\left\{1,5\right\})]를 생각하자. [math(\left\{1,5\right\})]의 원소는 모두 곱셈 역원을 갖는다. 그러나, 다른 완전잉여계의 원소는 그렇지 않다. 이는, [math(m)]과 [math(a)]가 서로소일 때, 정수 [math(x,\,y)]가 존재하여 [math(ax+my=1)] 즉, [math(ax\equiv 1\left(m\right))]이기 때문이다.

2. 추상적인 버전

정수의 몫환의 단위원의 모임인 [math(\left(Z/mZ\right)^{\times})]이 [math(m)]을 법으로 한 기약잉여계와 같다. 동치류들의 모임인 [math(\left(Z/mZ\right)^{\times})]의 동치류에서 대표원을 하나씩 선택하여 구성한 것이 기약잉여계라는 것을 쉽게 알 수 있다.

3. 관련 문서



[1] 오일러의 정리에 따라 [math(\varphi\left(m\right))]개의 서로소인 정수가 있다. [2] 의외라고 생각할 수 있는데, 최대공약수의 성질 중, [math(\gcd\left(a,0\right)=\left|a\right|)] 때문에 서로소가 아니다.