최근 수정 시각 : 2021-11-29 09:44:20

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1. 개요2. 증명3. 수학적 귀납법과의 동치성4. 기타5. 관련 문서

1. 개요

Well-ordering Principle
정수론 자연수의 공집합이 아닌 임의의 부분집합 [math(X\subseteq \mathbb N)]의 최소원 [math(\min X)]가 존재한다는 원리이다. 논리적으로 수학적 귀납법과 동치임이 알려져 있다. 초등정수론에서, 여러 증명의 기초적인 도구로 사용되므로 정수론을 공부한다면 정렬 원리를 잘 알아두는 것이 중요하다.

2. 증명

강한 수학적 귀납법을 이용해서 증명해보자.
집합 [math(S\subseteq \mathbb N)]이 최소원을 갖지 않는다고 하자.
1. [math(1\notin S)]의 증명
귀류법을 이용하면 간단하다. [math(1\in S)]이면 [math(\forall x\in \mathbb N, x\ge 1)]에서 [math(\forall x\in S, x\ge 1)]이므로 [math(S)]는 최소원 을 가지므로 모순이 된다. 따라서, [math(1\notin S)]여야 한다.
2. [math(\forall x<k)]에 대해서 [math(k\ne S)]일 때 [math(k+1\notin S)]의 증명
역시 귀류법을 이용하면 간단하다. [math(k+1\in S)]일 때 [math(\{n\in\mathbb N|n < k+1\} \cap S =\emptyset)]이므로 [math(\forall x\in S, x\ge k+1)]이 되어 [math(k+1)]이 최소원이 되어야 하므로 모순이다. 따라서, [math(k+1\notin S)]
따라서, 강한 수학적 귀납법에 의해 [math(\forall x\in\mathbb N, x\notin S)]로 [math(S=\emptyset)], 최소원이 없는 자연수의 부분집합은 공집합 뿐이다.[math(\blacksquare)]

3. 수학적 귀납법과의 동치성

수학적 귀납법 [math(\Rightarrow)] 정렬 원리는 앞의 문단에서 증명하였으므로, 페아노 공리계의 1~4번 공리와 정렬 원리를 가정하고 수학적 귀납법을 증명해 보겠다.
보조정리. 1이 아닌 임의의 자연수 [math(n)]에 대해 [math(S(m)=n)]인 자연수 [math(m)]이 존재한다.[S]
이를 수학적 귀납법을 쓰지 않고 증명하는 것이 중요하다. [math(I)]를 귀납적으로 정의한 자연수, 즉 [math(\{1, S(1), S(S(1)), \cdots\})]라고 하자. 그렇다면, [math(I\backslash \{1\})]의 모든 원소들에 대해 [math(S(m)=n)]인 자연수 [math(m)]이 존재한다. 이제 [math(\mathbb N \backslash I=\emptyset)]인 것을 증명하면 된다. [math(x\in \mathbb N \backslash I)]가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 집합 [math(\{1, x\})]에는 최소원이 존재해야 한다. 여기서 자연수의 대소 비교의 정의를 되짚어보자. [math(a > b)]는 [math(\exists c \in \mathbb N,\, s.t.\, a = b + c)]를 의미한다. 만약 [math(1<x)]라면 [math(\exists a, 1 + a = x \Rightarrow \exists a, x = S(a))]가 되어 모순이다. [math(x < 1)]은 자연수의 세 번째 공리[2]에 모순된다. 따라서 [math(\mathbb N \backslash I = \emptyset)]이고 1이 아닌 모든 자연수 [math(m)]에 대해 자연수 [math(m-1)]이 존재한다.
먼저 수학적 귀납법을 집합론의 언어로 쓰자면, [math(P\subset \mathbb N\wedge 1\in P\wedge (\forall x\in P)(S(x)\in P) \Rightarrow \mathbb N=P)]이다.
귀류법을 사용해 자연수의 진부분집합 [math(P)]가 [math(1\in P\wedge (\forall x\in P)(S(x)\in P)\wedge P\ne \mathbb N)]이라고 하자. 그렇다면 [math(\mathbb N \backslash P\ne\emptyset)]이므로 정렬 원리에 의해 [math(\mathbb N\backslash P)]는 최소원을 갖는다. 이를 [math(m)]이라고 하자. [math(1\in P)]이므로 [math(m)]은 당연히 [math(1)]이 아니고, 보조정리에 의해 [math(m-1)]이 존재한다. 만약 [math(m-1\in P)]라면 [math(S(m-1)=m\in P)]가 되어 모순이며, [math(m-1\notin P)]라면 [math(m)]이 [math(\mathbb N \backslash P)]의 최소원이라는 가정에 모순이다. 따라서, [math(1\in P\wedge (\forall x\in P)(S(x)\in P)\wedge P\ne \mathbb N)]인 [math(P)]는 존재하지 않고, 수학적 귀납법이 증명되었다. [math(\blacksquare)]

4. 기타

정수론에서 가장 기초적인 정리 중 하나인 베주 항등식[3]을 증명하는 가장 간단한 방법이 정렬 원리이다.

5. 관련 문서



[S] [math(S)]는 자연수의 다음 수를 나타내는 함수이다. [2] [math(\forall n\in\mathbb N, S(n) \ne 1)] [3] 주로 베주 항등식 [math(\Rightarrow)] 유클리드 보조 정리 [math(\Rightarrow)] 산술의 기본정리 순서로 정리를 증명해나간다.

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