|
정수론 Number Theory |
|||
|
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px" |
공리 | ||
| 페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법 | |||
| 산술 | |||
| 나눗셈 | 약수·배수 | 배수 · 약수( 소인수) · 소인수분해( 목록) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수 | |
| 약수들의 합에 따른 수의 분류 | 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 부부수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수 | ||
| 정리 | 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 호제법 · 서로소 | ||
| 디오판토스 방정식 | 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버츠와 스위너톤-다이어 추측(미해결) | ||
| 모듈러 연산 | |||
| 잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리 | |||
| 소수론 | |||
| 수의 분류 | 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수( 사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수 | ||
| 분야 | 대수적 정수론 · 해석적 정수론 | ||
| 함수 | 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수· 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식 | ||
| 정리 | 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)( 천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리 | ||
| 기타 | 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식 | ||
1. 개요
Well-ordering Principle정수론 자연수의 공집합이 아닌 임의의 부분집합 [math(X\subseteq \mathbb N)]의 최소원 [math(\min X)]가 존재한다는 원리이다. 논리적으로 수학적 귀납법과 동치임이 알려져 있다. 초등정수론에서, 여러 증명의 기초적인 도구로 사용되므로 정수론을 공부한다면 정렬 원리를 잘 알아두는 것이 중요하다.
2. 증명
강한 수학적 귀납법을 이용해서 증명해보자.|
집합 [math(S\subseteq \mathbb N)]이 최소원을 갖지 않는다고 하자. 1. [math(1\notin S)]의 증명 귀류법을 이용하면 간단하다. [math(1\in S)]이면 [math(\forall x\in \mathbb N, x\ge 1)]에서 [math(\forall x\in S, x\ge 1)]이므로 [math(S)]는 최소원 을 가지므로 모순이 된다. 따라서, [math(1\notin S)]여야 한다. 2. [math(\forall x<k)]에 대해서 [math(k\ne S)]일 때 [math(k+1\notin S)]의 증명 역시 귀류법을 이용하면 간단하다. [math(k+1\in S)]일 때 [math(\{n\in\mathbb N|n < k+1\} \cap S =\emptyset)]이므로 [math(\forall x\in S, x\ge k+1)]이 되어 [math(k+1)]이 최소원이 되어야 하므로 모순이다. 따라서, [math(k+1\notin S)] 따라서, 강한 수학적 귀납법에 의해 [math(\forall x\in\mathbb N, x\notin S)]로 [math(S=\emptyset)], 최소원이 없는 자연수의 부분집합은 공집합 뿐이다.[math(\blacksquare)] |
3. 수학적 귀납법과의 동치성
수학적 귀납법 [math(\Rightarrow)] 정렬 원리는 앞의 문단에서 증명하였으므로, 페아노 공리계의 1~4번 공리와 정렬 원리를 가정하고 수학적 귀납법을 증명해 보겠다.|
보조정리. 1이 아닌 임의의 자연수 [math(n)]에 대해 [math(S(m)=n)]인 자연수 [math(m)]이 존재한다.[S] 이를 수학적 귀납법을 쓰지 않고 증명하는 것이 중요하다. [math(I)]를 귀납적으로 정의한 자연수, 즉 [math(\{1, S(1), S(S(1)), \cdots\})]라고 하자. 그렇다면, [math(I\backslash \{1\})]의 모든 원소들에 대해 [math(S(m)=n)]인 자연수 [math(m)]이 존재한다. 이제 [math(\mathbb N \backslash I=\emptyset)]인 것을 증명하면 된다. [math(x\in \mathbb N \backslash I)]가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 집합 [math(\{1, x\})]에는 최소원이 존재해야 한다. 여기서 자연수의 대소 비교의 정의를 되짚어보자. [math(a > b)]는 [math(\exists c \in \mathbb N,\, s.t.\, a = b + c)]를 의미한다. 만약 [math(1<x)]라면 [math(\exists a, 1 + a = x \Rightarrow \exists a, x = S(a))]가 되어 모순이다. [math(x < 1)]은 자연수의 세 번째 공리[2]에 모순된다. 따라서 [math(\mathbb N \backslash I = \emptyset)]이고 1이 아닌 모든 자연수 [math(m)]에 대해 자연수 [math(m-1)]이 존재한다. |
|
먼저 수학적 귀납법을 집합론의 언어로 쓰자면, [math(P\subset \mathbb N\wedge 1\in P\wedge (\forall x\in P)(S(x)\in P) \Rightarrow \mathbb N=P)]이다. 귀류법을 사용해 자연수의 진부분집합 [math(P)]가 [math(1\in P\wedge (\forall x\in P)(S(x)\in P)\wedge P\ne \mathbb N)]이라고 하자. 그렇다면 [math(\mathbb N \backslash P\ne\emptyset)]이므로 정렬 원리에 의해 [math(\mathbb N\backslash P)]는 최소원을 갖는다. 이를 [math(m)]이라고 하자. [math(1\in P)]이므로 [math(m)]은 당연히 [math(1)]이 아니고, 보조정리에 의해 [math(m-1)]이 존재한다. 만약 [math(m-1\in P)]라면 [math(S(m-1)=m\in P)]가 되어 모순이며, [math(m-1\notin P)]라면 [math(m)]이 [math(\mathbb N \backslash P)]의 최소원이라는 가정에 모순이다. 따라서, [math(1\in P\wedge (\forall x\in P)(S(x)\in P)\wedge P\ne \mathbb N)]인 [math(P)]는 존재하지 않고, 수학적 귀납법이 증명되었다. [math(\blacksquare)] |