최근 수정 시각 : 2022-01-25 01:19:32

혼약수

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약수의 합에 따른 자연수의 분류
자기 자신과의 비교 과잉수 완전수 부족수
일부의 합 사슬 주기 1 주기 2 주기 3 이상
진약수의 합 완전수 <colbgcolor=#fff,#1f2023> 친화수 <colbgcolor=#ddd,#333> 사교수
비자명 진약수의 합 <colbgcolor=#000> 준완전수 혼약수 준사교수
진약수의 합의 약수 초완전수 ? ?
기타 반완전수 괴짜수 불가촉 수



1. 개요2. 예시3. 준사교수

1. 개요

· betrothed numbers, quasi-amicable numbers

부부수()나 준친화수라고 부르기도 하며, 친화수와 유사한 개념이다.

두 자연수 [math(m, n)]이 있을 때, [math(m)]의 1을 제외한 진약수들의 합(1과 자기 자신을 제외한 약수의 합, 즉 자명하지 않은 약수들의 합)이 [math(n)]이 되고, [math(n)]의 1을 제외한 진약수들의 합이 [math(m)]이 되면 [math(m, n)]을 혼약수라고 한다.

친화수처럼 약수 함수를 사용하면 다음과 같이 표현된다.

[math(\sigma\left(m\right) = \sigma\left(n\right)=m + n + 1)]
  • 유도식
    [math(k)]라는 수가 있을 때 진약수의 합 공식은 [math(\sigma\left(k\right) -k)] 이므로
    [math(\sigma\left(m\right) -m - 1 = n)]
    양변에 [math((m+1))]을 더하고
    [math(\sigma\left(n\right) -n - 1 = m)]
    양변에 [math((n+1))]을 더하면 위 식이 유도됨.

2. 예시

48의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48이며, 1을 제외한 진약수의 합은 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 75다. 또한, 75의 약수는 1, 3, 5, 15, 25, 75 인데 1을 제외한 진약수의 합은 3 + 5 + 15 + 25 = 48이 된다. 이런 관계를 만족시키는 (48, 75)는 부부수이다.

그 외 부부수는 (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648) 등이 있다.

3. 준사교수

1을 제외한 진약수들의 합(1과 자기 자신을 제외한 약수의 합, 즉 자명하지 않은 약수들의 합)을 계속 취하면 주기가 3이상인 수이다. 혼약수는 주기가 2인 경우이며 주기가 1인 경우는 준완전수이다. 준완전수는 존재하지 않는 것으로 추측된다.
  • 1215571544 = 2^3*11*13813313
  • 1270824975 = 3^2*5^2*7*19*42467
  • 1467511664 = 2^4*19*599*8059
  • 1530808335 = 3^3*5*7*1619903
  • 1579407344 = 2^4*31^2*59*1741
  • 1638031815 = 3^4*5*7*521*1109
  • 1727239544 = 2^3*2671*80833
  • 1512587175 = 3*5^2*11*1833439

주기가 8인 현재까지 유일한 준사교수 사이클은 1997년에 Mitchell Dickerman이 발견하였다.