최근 수정 시각 : 2021-12-16 22:14:10

피타고라스 세 쌍

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1. 개요2. 구성3. 찾는 방법4. 기타

1. 개요

피타고라스 정리는 직각삼각형의 빗변의 제곱이 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합과 같다는 것이다. 즉 밑변을 [math(a)], 높이를 [math(b)], 빗변을 [math(c)]라고 놓으면 [math(a^2+b^2=c^2)]이라는 부정방정식[1]이 된다. 여기서 [math(a, b, c)]의 해를 자연수로 한정한다.[2] 이제 가능한 해들을 나열해 보면

[math(\{3,4,5\})]
[math(\{6,8,10\})]
[math(\{5,12,13\})]
[math(\{8,15,17\})]
[math(\{7,24,25\})]

등이 있다. 이러한 목록들을 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triple)이라고 부른다. 여기서 [math(\{6,8,10\})]같은 경우 해들이 2를 공약수로 가지는데 공약수를 1만 가지는 경우만 생각하자. 이런 경우를 만족하는 해를 원시 피타고라스 세 쌍(primitive Pythagorean triple)이라고 부른다.

흔히 '피타고라스 수'라고 곧잘 불리는데, 사실 이것은 '수'도 아니고 수 1개만으로는 의미를 갖지도 않는다.[3][4]

원시 피타고라스 세 쌍 [math(a,b, c)]에서 [math(\displaystyle (a, b, c)= \left (st, \dfrac{s^2-t^2}{2}, \dfrac{s^2+t^2}{2} \right) )]의 형태로 나타낼 수 있음이 알려져 있다. (단, [math(s)], [math(t)]는 서로소인 홀수이며, [math(s>t)])

한편 원시 피타고라스 세 쌍에서 가장 큰 값인 [math(c)]는, 두 제곱수의 합 정리와 연관지어 생각할 수 있다.

2. 구성

피타고라스 세 쌍을 나타내는 공식적인 기호가 정의돼 있지 않으므로, 편의상 집합의 기호를 피타고라스의 이름 앞글자에서 따온 [math(\pi)]의 변형자인 [math(\varpi)]로 한다. 정자인 [math(\pi)]를 쓰지 않는 이유는 원주율, 삼투압, 소수 계량 함수 등 다른 용례가 많기 때문.

피타고라스 세 쌍은 무한집합이며 여기서는 앞 10항까지의 원소 집합을 나열한다. 이 10항 중 [math(\varpi_3, \varpi_6)]을 제외한 원소는 원시 피타고라스 세 쌍이다.
  • [math(\varpi_1 = \{3,4,5\})]
  • [math(\varpi_2 = \{5,12,13\})]
  • [math(\varpi_3 = \{6, 8, 10\})]
  • [math(\varpi_4 = \{7, 24, 25\})]
  • [math(\varpi_5 = \{8, 15, 17\})]
  • [math(\varpi_6 = \{9, 12, 15\})]
  • [math(\varpi_7 = \{9, 40, 41\})]
  • [math(\varpi_8 = \{10, 24, 26\})]
  • [math(\varpi_9 = \{11, 60, 61\})]
  • [math(\varpi_{10} = \{12, 16, 20\})]
[math(\quad \quad \quad \quad \vdots)]

한편 피타고라스 세 쌍은 이 되지 못하는데, 가령 원소 집합 두 개만 취해서[5] 곱집합을 만들면 피타고라스 세 쌍이 되지 못한다.
[math(\{3,4,5\} \times \{5,12,13\} = \{\{3,5\}, \{3,12\}, \{3,13\}, \{4,5\}, \{4,12\}, \{4,13\}, \{5,5\}, \{5,12\}, \{5,13\}\}\, \cancel{\subset} \,\varpi)]

3. 찾는 방법

1. 실수 부분과 허수부분이 모두 정수인 [math(a+ bi)]를 정한다.
2. 복소수 [math(z=x + yi=(a+ bi)^2)]에 대해서 [math(|z|)]를 구한다. (단, [math(x)], [math(y)]는 실수)
3. [math(\{|x|,|y|,|z|\})]는 피타고라스 세 쌍이다.

이 때 [math(xyz=0)]이더라도 만족은 하지만 이때 세 쌍이 자연수로만 이루어질 수 없으므로 이 경우를 제외한다.

예를 들면 다음과 같다.
[math(2+5i)]에 대해서 [math(z=-21 +20i)], [math(|z|^2=841)]이므로 [math(|z|=29)]
따라서 [math(\{20,21,29\})]는 피타고라스 세 쌍이다.

위 경우에는 원시 피타고라스 세 쌍을 찾았지만 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어, [math(3+i)]로 [math(\{6, 8,10\})]을 찾을 수 있다.

4. 기타

자연수 집합을 둘로 분할해서 각 분할이 피타고라스 세 쌍을 부분집합으로 가지지 못하게 만들수 있을까라는 100달러짜리 문제가 있었고 7825에서부터 안된다(즉 어떻게 집합을 분할하든 적어도 한 분할은 피타고라스 세 쌍을 반드시 포함한다) 는 것이 밝혀졌는데 4색정리마냥 컴퓨터를 동원해 푼 결과였고 그 결과 나온 증명은 무려 200TB에 달한다.

피타고라스 세 쌍으로 만든 모든 삼각형은 특수각이 나오지 않는다. 특수각의 정의에 무리수가 들어가기 때문이다. 이 경우 각도기로 직접 측정해서 어림값을 구하든가, 혹은 역삼각함수에다 넣고 계산 노가다를 해야 한다.


[1] 디오판토스 방정식의 한 종류이다. [2] 자연수로 한정하지 않는 경우는 따로 삼각함수라고 칭한다. [3] 이런 '집합을 원소로 갖는 집합'을 집합족(family of sets)이라고 한다. [4] 이렇게 된 것은 학생들이 집합에 대한 개념도 아직 제대로 서지 못한 상태에서 '집합의 집합'을 이야기하기에는 학습적 부담이 크기 때문으로 보인다(엉성하게 가르쳤다간 '집합족의 원소'와 '부분집합'을 헷갈리는 사태가 생긴다...). [5] 같은 원소여도 마찬가지이다.