최근 수정 시각 : 2022-01-23 12:30:50

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1. 개요2. 증명
2.1. 도움정리2.2. 증명
3. 예시4. 관련 문서


Wilson's Theorem.

1. 개요

대부분의 정수론 교재에 등장하는 정리. 수학자 존 윌슨의 이름을 땄다. 1770년에 수학자 에드워드 웨어링(Edward Waring)이 이 정리를 발표했으나, 자기 자신이나 제자 윌슨도 증명을 하지 못했다. 일단 공식적인 첫 증명은 1771년 라그랑주에 의해 발표되었다. 자세한 정리는 아래와 같다.
[math(p)]가 2 이상의 자연수일 때, [math(p)]가 소수일 필요충분조건은 [math(\left(p-1\right)!\equiv-1\left(\text{mod}\,p\right))]이다.
이 방법은 소수 판정법에 이용할 수 있으나 팩토리얼을 구하는 시간에 1부터 제곱근까지 하나씩 나눠보는 게 빠르다.

2. 증명

증명에 앞서 합동식에 관한 내용과 잉여계, 잉여역수에 관한 내용을 꼭 알아야 한다. 먼저 도움정리부터 증명하자.

2.1. 도움정리

[math(p)]가 소수이고, [math(k)]는 [math(0<k<p)]인 정수라고 할 때, [math(k^2\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]이면 [math(k=1)] 또는 [math(k=p-1)]이다. 그 역도 성립한다.
증명
[math(k=1)]이면 [math(k^2\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]이다.
또한, [math(k=p-1)]이면, [math(k^2=p^2-2p+1\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]이다.
역으로, [math(k^2\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]라고 가정하자. 그러면 [math(p\mid\left(k^2-1\right)=\left(k-1\right)\left(k+1\right))]이다. [math(p)]가 소수이므로, [math(p\mid\left(k-1\right))]또는 [math(p\mid\left(k+1\right))]이다.
[math(p\mid\left(k-1\right))]를 만족하는 [math(p)]이하의 양의 정수 [math(k)]는 오직 1뿐이고, [math(p\mid\left(k+1\right))]을 만족하는 [math(p)]이하의 양의 정수 [math(k)]는 오직 [math(p-1)]뿐이다.

2.2. 증명

[math(p)]가 소수라고 가정하자. 그럼 임의의 [math(k\in\left\{1,2,\cdots,p-1\right\})]에 대하여 [math(k)]와 [math(p)]는 서로소이다. 그러므로 적당한 정수 [math(a,b)]에 대해 [math(ak+bp=1)]이 성립하고,[1] 곧 [math(ak\equiv1\left(\text{mod}\,p\right))]이다. 법 [math(p)]에 대하여 [math(a\in\left\{1,2,\cdots,p-1\right\})]이므로 [math(\left\{1,2,\cdots,p-1\right\})]의 모든 원소의 법 [math(p)]에 대한 잉여역수는 같은 집합의 원소이다. 특히, 도움정리에 의해 [math(1)]과 [math(p-1)]은 자기 자신이 잉여역수이다. 나머지 [math(2,3,\cdots,p-2)]는 두 원소씩 쌍으로 법 [math(p)]에 대해 잉여역수 관계이고, 따라서 [math(\left(p-1\right)!\equiv1\cdot2\cdots\left(p-2\right)\cdot\left(p-1\right)\equiv1\cdot1\cdot\left(p-1\right)\equiv p-1\equiv -1\left(\text{mod}\,p\right))]이다.

역으로 [math(\left(p-1\right)!\equiv-1\left(\text{mod}\,p\right))]라고 가정하자. 그러면 [math(\left(p-1\right)!+1=kp)]를 만족하는 정수 [math(k)]가 존재한다. [math(p=ab,\,\left(1\leq a,b\leq p\right))]라 가정하자. 만약 [math(a=p)]이면 [math(b=1)]이고 이는 곧 [math(p)]가 소수임을 의미한다. [math(a<p)]라고 가정하면, [math(a\in\left\{1,2,\cdots,p-1\right\})]이므로 [math(a\mid\left(p-1\right)!)]이다. 그리고 [math(a\mid p)]이고, [math(\left(p-1\right)!+1=kp)]이므로 [math(a\mid1)]이다. 이를 모두 만족하는 값은 [math(a=1)]밖에 없고, 따라서 [math(b=p)]이다. 곧 [math(p)]는 소수이다.

3. 예시

17!을 19로 나눈 나머지를 구해보자. 먼저 정리를 쓰면, [math(18!\equiv-1\left(\text{mod}\,19\right))]이다. 또한, [math(18\equiv-1\left(\text{mod}\,19\right))]이므로, [math(18\times17!=18!)]임을 상기하면, [math(18\times17!\equiv\left(-1\right)\times17!\left(\text{mod}\,19\right))]이므로, 따라서 [math(17!\equiv1\left(\text{mod}\,19\right))]이다.

4. 관련 문서



[1] 최대공약수 문서 참조.

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