최근 수정 시각 : 2022-01-23 20:54:10

오심과 관련된 정리

평면기하학
Plane Geometry
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1. 개요2. 기본적인 정리3. 보통 정리4. 심화 정리

1. 개요

삼각형의 오심과 관련된 여러 정리들과 더불어 한국수학올림피아드에 나오는 정리들을 기재하는 문서이다.

모든 정리의 기호는 삼각형 [math(\triangle ABC)]의 외심 [math(O)], 내심 [math(I)], 무게중심 [math(G)], 수심 [math(H)], 방심 [math(I_{A})]를 따른다.
[math(a=\overline{BC})], [math(b=\overline{CA})], [math(c=\overline{AB})]으로 두고, [math(S)], [math(r)], [math(R)], [math(r_{A})], [math(s)]를 각각 도형의 면적, 내접원의 반지름, 외접원의 반지름, 방접원 [math(I_{A})]의 반지름, 삼각형의 둘레의 반([math(={1 \over 2}(a+b+c))])이라 하자.

2. 기본적인 정리

  1. 세르보어 정리
    [math(O)]에서 변 [math(\overline{BC})]에 내린 수선의 발을 [math(M)]라 할 때, [math(\overline{AH}=2\overline{OM})]이다. 증명은 외심 참고.
  2. 등각켤레
    [math(\angle BAO=\angle CAH)]
  3. 수선의 발과 공원점
    [math(A)], [math(B)]에서 변 [math(\overline{BC})], [math(\overline{CA})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)]라 할 때, [math(\left(A,B,D,E\right))]와 [math(\left(C,E,H,D\right))]는 공원점이다.
  4. 각각 점 [math(A)], [math(B)], [math(C)]를 지나고, 한 점에서 만나는 세 직선을 그리자. 이 직선들의 교점을 [math(X)]라 하자. [math(X)]에서 각 변에 내린 수선의 발을 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 할 때, [math(\overline{XD}+\overline{XE}+\overline{XF})]가 최소인 점 [math(X)]는 [math(H)]다.
  5. [math(\triangle ABC)]의 수족 삼각형의 내심은 [math(H)]다.
  6. [math(A)], [math(I)], [math(I_{A})]는 한 직선 위에 있다.
  7. [math(\triangle ABC)]의 방심들이 이루는 삼각형의 수심은 [math(I)]다. (삼각형의 내심과 방심은 수심조이다.)
  8. ([math(A)], [math(B)], [math(I_{A})], [math(I_{B})])는 한 원 위에 있다.
  9. 맨션 정리
    삼각형 [math(\triangle ABC)]의 외접원 [math(K)]와 반직선 [math(\overline{AI})]의 교점을 [math(D)]라 하자. 이 때 [math(\overline{DB}=\overline{DC}=\overline{DI}=\overline{D{I_{A}}})]다.
  10. 반직선 [math(\overrightarrow{AI})]와 변 [math(\overline{BC})]의 교점을 [math(K)]라 하면, [math(\overline{AI}/\overline{KI}=\left(b+c\right)/a)]이다.
  11. 삼각형 내부의 점 [math(P)]에서 [math(\overline{BC})], [math(\overline{CA})], [math(\overline{AB})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 하면 [math(\overline{BC}/\overline{PD} + \overline{CA}/\overline{PE}+\overline{AB}/\overline{PF})]의 값이 최소인 점 [math(P)]는 [math(I)]이다.
  12. [math(S=\displaystyle {abc \over 4R}=2R^2 \sin A \sin B \sin C={a^2 \sin B \sin C \over 2 \sin A})] ( 사인법칙의 활용)
  13. [math(S=\displaystyle {1 \over 2} (a+b+c)r =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)})]
  14. 삼각형 내부의 점 [math(P)]에서 [math(\overline{BC})], [math(\overline{CA})], [math(\overline{AB})]에 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 하면, [math(\overline{PD}\cdot\overline{PE}\cdot\overline{PF})]가 최댓값인 점 [math(P)]는 [math(G)]이다.
  15. 이 때 [math(S\left(\triangle ABC\right)=r_{A}\left(b+c-a\right)/2)]
  16. [math(\overline{OI}^2=R^2-2Rr)]( 오일러 삼각형 정리)

3. 보통 정리

  1. 라이프니츠 정리
    [math(P)]가 삼각형 [math(ABC)]와 같은 평면 위의 임의의 한 점일 때, 다음 정리가 성립한다.
    1. [math(\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2 + \overline{CP}^2 = \overline{AG}^2 + \overline{BG}^2 + \overline{CG}^2 + 3\overline{PG}^2)]
    2. [math(\overline{GA}^2 + \overline{GB}^2 + \overline{GC}^2 = \left(\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\right)/3)]
  2. 오일러 직선
    [math(O)], [math(G)], 구점원의 중심 [math(V)], [math(H)]가 공선점(일직선)이다.
    [math(\overline{OG} : \overline{GV} : \overline{VH} = 2 : 1 : 3)]이다.
  3. 삼각형의 면적은 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형 면적의 등비중항이다.
  4. 삼각형의 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형의 오일러 직선이 일치한다.
  5. 삼각형 [math(\triangle ABC)]의 임의의 점 [math(P)]에서 내린 수선의 발을 각각 [math(D)], [math(E)], [math(F)]라 할 때, [math(S\left(\triangle DEF\right)/S\left(\triangle ABC\right) =\frac{\left|R^2 - OI^2\right|}{4R^{2}})]이다.
- 그밖에도 나겔 정리, 제르곤 정리, 페르마 포인트 관련 문제 등이 있다.

4. 심화 정리

  1. 포이어바흐 정리
    구점원은 삼각형의 내접원, 세 방접원과 접한다. (증명은 반전기하(inversion)을 사용한다.)
  2. Mixtilinear Circle
    1. 삼각형 [math(\triangle ABC)]의 외접원과 두 변 [math(\overline{AB})], [math(\overline{AC})]와 접하는 원 [math(Q)]를 잡자. [math(Q)]와 [math(\overline{AB})], [math(\overline{AC})]의 교점을 각각 [math(M)], [math(N)]이라 하면, [math(\overline{MN})]의 중점은 [math(I)]이다.
  3. 오심을 지나는 직선이 두 선분을 자르는 비율과 관련된 정리
    주어진 △ABC\triangle ABC와 오심 중 하나인 점 PP가 있다. 이 때, 임의의 PP를 지나고, 반직선 ABAB, 반직선 ACAC와 둘 다 만나는 직선이 반직선 ABAB, ACAC와 만나는 점을 각각 MM, NN이라 할 때, AM‾\overline{AM}의 길이와 AN‾\overline{AN}의 길이의 관계식은 다음과 같다.
    1. PP가 내심일 때: AB‾AM‾⋅sinB+AC‾AN‾⋅sinC=sinA+sinB+sinC\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin C = \sin A + \sin B + \sin C.
    2. PP가 외심일 때: AB‾AM‾⋅sin2B+AC‾AN‾⋅sin2C=sin2A+sin2B+sin2C\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin 2B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin 2C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C.
    3. PP가 수심일 때: AB‾AM‾⋅tanB+AC‾AN‾⋅tanC=tanA+tanB+tanC\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \tan B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \tan C = \tan A + \tan B + \tan C.
    4. PP가 직선 BCBC에 대하여 점 AA와 다른 방향에 있는 방심일 때: AB‾AM‾⋅sinB+AC‾AN‾⋅sinC=−sinA+sinB+sinC\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin C = -\sin A + \sin B + \sin C.
    5. PP가 무게중심일 때: AB‾AM‾+AC‾AN‾=3\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} = 3.
- 그 밖에 올림피아드에 쓰이는 정리들에는 미쿠엘 포인트[1], Pole & Polar (극, 극선), 근축 & 근심[2], isogonal line - conjugate & Symmedian(대칭중선), 메넬라우스 & 체바 응용, 파푸스 정리[3], 파스칼 정리, 브리앙숀 정리, 데자르그 정리, Monge's Theorem 등이 있다. 특히 비조화비에 관련된 것으로는 조화점열(Harmonic point), 조화사각형, 아폴로니우스의 원이 있다.

[1] 칠점공선. 9점까지 확장이 가능하다. [2] 육점공선 포함. [3] 파푸스의 중선 정리와 다름에 주의.

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