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원주율


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원주율을 선으로 시각화한 길이

1. 개요2. 설명3. 역사4. 특징5. 원주율의 배수6. 값7. 계산법8. 원주율 암기법9. 유의미한 원주율?10. 호도법
10.1. 정의
11. 여담

[clearfix]

1. 개요

원주율()은 파이([math(\pi)], pi)라고도 불리며, 지름에 대한 원주(원둘레)의 비율을 뜻하며, 그 값은 약 3.14이다. 즉, 원의 지름이 1일 때 그 둘레값은 원주율이 나온다.

2. 설명

3.14159265358979...로 이어지는 순환하지 않는 무한소수이다.

원주율을 알고 있다면 원의 둘레의 길이를 구하기 위해 힘들게 줄자를 사용할 필요가 없다. 지름의 길이를 구해서 지름의 길이에 원주율을 곱하면 되기 때문이다. 같은 원리로 원주율은 수학, 과학 및 공학의 여러 분야에서 계산을 편리하게 하기 위한 도구로 쓰인다. 보통 지름보다는 반지름을 더 많이 사용하므로 반지름의 2배에 원주율을 곱해서 계산한다고 표현([math(2\pi r)])하기도 한다. 예를 들어 지름이 [math(1\,\rm cm)]인 원의 둘레의 길이는 [math(3.1415\cdots\cdots\,\rm cm)]이고, 지름이 [math(2\,\rm cm)]인 원의 둘레의 길이는 [math(6.2831\cdots\cdots\,\rm cm)]이다. 그리스 문자 [math(\pi)]로 표시하는데, 한국 발음으로는 파이[1]이며, 그리스어로 '둘레'를 뜻하는 페리메트로스(περίμετρος)의 첫 글자 π에서 땄다고 한다(원주율을 시각화하면 왜 둘레인지 알 수 있다 설명영상) 최초로 원주율을 [math(\pi)]로 표기한 사람은 웨일스의 수학자 윌리엄 존스로[2], 자신의 저서에 [math(\pi)]를 사용하였다. 이후 레온하르트 오일러에 의해 대중화되었다.

원주율은 순환하지 않는 무한소수인 무리수이자[3] 초월수이다. 즉 단순한 3도, 3.14도, 3.1414...나 3.1444... 같은 유리수도, 3.141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13... 또는 3.14 15 16 17 18 19 20...같은 진법 등의 조건상 규칙이 있는 무리수도 아니라는 것이다[4]. 물론 좀 가다 보면 파인만 포인트가 나오기는 하지만 일시적일 뿐이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다. 그러나 소수처럼 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.
  • 무리수 증명
    • 람베르트 증명
    • 니벤의 증명
      • 니벤의 논문[5]
      • 증명의 아이디어 자체는 간단하다.
        귀류법을 이용하여 [math(\pi=\dfrac pq)]라는 유리수라고 가정한 뒤, [math(f(x)=\dfrac{x^n(p-qx)^n}{n!})]이라는 함수와 이 함수로부터 유도된 [math(\displaystyle F(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k f^{(2k)}(x))]를 이용하여 모순을 유도하는 것.
        [math(F(0)+F(\pi))]를 계산해보면 정수가 나와야 하며, 이 값은 [math(\displaystyle \int_0^\pi f(x) \sin x {\rm d}x)]가 되는데, 두 함수 [math(f(x))]와 [math(\sin x)]가 0 이상인 구간 [math((0,\pi))]에서 곱해진 것을 적분한 것이므로 [math(\displaystyle 0 < \int_0^\pi f(x) \sin x {\rm d}x \leq )] [math(,,sup)][math(\,f(x) \times \sup{\sin x}\times \pi)]라는 관계식이 성립하게 된다. 그런데 이 관계식의 가장 우측항은 [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면 0으로 수렴, 즉 1보다 작게 된다는 걸 보일 수 있는데, [math(0)]보다 크면서 1보다 작은 정수는 없다. 따라서 [math(\pi=\dfrac pq)]라고 가정한 전제가 틀렸으므로 [math(\pi)]는 무리수다.
  • 초월수 증명
    • 린데만-바이어슈트라스 정리를 이용한 증명[6]
      • 초월수 증명 자체는 간단하다. 귀류법을 사용하는데, 먼저 [math(\pi)]가 대수적인 수라고 가정하자. 그러면 [math(i\pi)] 역시 0이 아닌 대수적인 수다. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리에 따라 [math(e^{i\pi})]는 초월수여야 한다. 하지만 오일러 등식에 따라 [math(e^{i\pi})]는 대수적 수인 [math(-1)]이다. 이는 모순이므로, 따라서 [math(\pi)]가 대수적인 수라고 가정한 전제가 틀렸다는게 된다. 따라서 [math(\pi)]는 초월수다.

3. 역사

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4. 특징

수학 교육과정에서 가장 먼저 만나게 되는 무리수이자 초월수이다. 보통 초등학교에서는 6학년 때부터 근삿값으로는 3.14를 사용한다.[7] 중학교부터는 그냥 깔끔하게 [math(\pi)]를 붙이면 끝. 사실 그냥 [math(\pi)]를 쓰는 게 더 편하고 정확하다.[8]아무래도 무한소수라는 개념에 익숙하지 않음을 고려한 결정으로 보인다.

정수 2개의 비로 표현할 수 없는 무리수이기 때문에 자릿수가 무한하므로 각종 기록들을 양산하기도 한다. 가장 많은 수를 외운 사람이라든가 소수점 새로운 자릿수 계산이라든가 하는 등, 현재 기네스 북에서는 원주율에 관련된 기네스북 기록들이 더러 있다. 그 예로 소수점 이하 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 간혹 있을지도 모른다. 파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 762자리까지 외운다면서 나온 수이고, 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 6만 7890자리.[9] 일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 8만 3431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.

소수점 이하 10자리 이상을 쓸 필요가 없다는 통설이 있다. 관측 가능한 우주의 둘레를 수소원자의 직경의 오차 이하로 계산하는데도 39자리(소수점 38자리)면 된다. 애초에 자릿수라는 개념이 기하급수적이라서 맞는 말이다. 옛날에는 계산자를 써서 3.14159까지 소수점 다섯째 자리까지 사용하는 것이 일반적이었다. NASA가 우주선의 달 착륙에 관련된 계산을 할 때도 5자리 정도로 충분했다.[10] 현재 과학적 컴퓨팅 분야에서는 유효 정밀도 약 15자리인 binary64 포맷을 주로 사용한다.

때문에 3월 14일 파이데이로 기념한다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 파이를 먹는 사람들도 있다. 이 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 [math(3.14)]을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이자 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 흔히들 상상하는 것처럼 보통 파이(pie)를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다. 매사추세츠 공대( MIT)의 경우는 매년 합격자 발표일이 3월 14일이다. 그리고 새원주율을 기념하여 6시 28분에 발표한다.

분수 7분의 22가 [math(\pi)]의 근삿값이므로 파이 근삿값의 날은 7월 22일이다.

공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 [math(\pi)]와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을 자연로그의 밑 [math(e)]와 함께 보낸다. 그러다가, 오일러 공식인 [math(e^{ix} = \cos x + i\sin x)]로 인해서 복소수, [math(e)], 삼각함수, 지수함수가 아예 세트로 묶여 다닌다. 예를 들어, 해석학 교재인 PMA에서는 지수함수를 무한급수로 정의한 후 [math(ix)]를 대입한 실수/허수부를 각각 [math(\cos x)], [math(\sin x)]로 정의하고 [math(\cos x)]의 최소 양근의 2배를 [math(\pi)]로 정의한다.

물리학과에서도 자못 자주 쓰인다. 고전역학에서만 봐도 각속도, 각가속도, 각진동수, 각운동량 같은 것들이 있으며, 양자역학에서는 그야말로 황금열쇠라고 해도 과언이 아닌 디랙 상수 [math(\hbar)]의 정의식에 들어간다.

원주율 [math(\pi)] (또는 [math(\tau)])와 자연로그의 밑 [math(e)]와 허수단위 [math(i)] 간에는 [math(e^{i\pi} + 1 = 0)] (또는 [math(e^{i\tau} = 1)])의 관계가 성립한다. 이를 오일러 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 오일러의 공식에 [math(x = \pi)] 또는 [math(\tau)]를 대입하면 나오는 결과다. 이를 이용해서 무작정 [math(\pi = - i \ln\left(-1\right))]라고 하는 경우가 많은데, 이는 틀린 표현이다.[11] 엄밀히는 [math(e^{\left(\pi+2n\pi\right)i}=-1)], 즉 [math(e^{i\theta} = -1)]을 만족하는 [math(\theta)]가 [math(\pi)] 말고도 [math(-\pi)], [math(3\pi)], ……로 무수히 많아 하나로 특정되지 않기 때문에 복소수 [math(z)]의 편각 [math(\theta = \arg z)]가 [math(-\pi<\arg z\le\pi)]라는 조건을 붙여야 하며[12], 이 조건에서의 복소로그함수 표기 [math(\mathrm{Log})]를 이용하여 [math(\pi = -i\mathrm{Log}\,\left(-1\right))]로 나타내야 한다.

정적분으로도 정의할 수 있다. 역삼각함수의 치역이 주요값이라고 할 때 [math(\arcsin1 = \dfrac\pi2)], [math(\arctan1 = \dfrac\pi4)], [math(\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x = \dfrac\pi2)]이므로 각각의 도함수 [math((\arcsin x)' = \dfrac1{\sqrt{1 - x^2}})], [math((\arctan x)' = \dfrac1{1+x^2})]를 이용하면 다음과 같이 된다.
[math(\begin{aligned} \displaystyle \pi &= \int^1_{-1} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= 2\int_{-1}^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} = \int_{-\infty}^\infty\frac{{\rm d}x}{1+x^2}\end{aligned})]

[math(\sqrt{10} = 3.162277660\cdots)]으로, [math(\pi)]보다 근소하게 더 크다. 즉, [math(\pi^2 = 9.869604401\cdots<10)]이다. 작은 분모의 근삿값은 [math(\cfrac{22}7 = 3.1428\cdots)], 큰 건 [math(\cfrac{103993}{33102} = 3.141592653\cdots)] 역시나 제시된다. 참고로 이 유리수 표기는 [math(\pi)]의 무한 연분수 표기
[math(\pi = 3 + \cfrac1{7 + \cfrac1{15 + \cfrac1{1 + \cfrac1{292 + \cfrac1{1 + \cfrac1{1 + \cfrac1{1 + \cfrac1{\ddots}}}}}}}})]
을 적당한 선에서 끊어서 분모의 나머지 분수를 0으로 근사하면 얻을 수 있다. 즉
[math(\begin{aligned} \frac{22}7 &= 3 + \frac17 \\ \frac{103993}{33102} &= 3 + \cfrac1{7 + \cfrac1{15 + \cfrac1{1 + \cfrac1{292}}}}\end{aligned})]
이다.

5. 원주율의 배수



원주율의 두 배의 값을 갖는 새로운 기준 상수를 정의해야 한다고 주장하는 수학자들이 있다. 자세한 내용은 타우(수학) 문서 참조.

원주율 파이의 정의는 본래 원의 둘레를 구한다는 문제를 해결하기 위해 등장한 것으로, 지름-둘레의 관계를 나타내고 있다. 그런데 지름을 기준으로 하는 이 상수는 반지름을 기준으로 여러 상호작용을 이루는 현대 수학과 과학에 있어 매우 부자연스럽고 불편하다. 때문에 매번 [math(2\pi)]를 쓰는 대신, [math(2\pi=6.2831\cdots\cdots)]의 값을 갖는 상수를 도입하여 사용하자는 것이다. 미국 물리학자 마이클 하틀(Michael Hartl)의 '[math(tau)] 선언문'(The Tau Manifesto), 우리나라 뉴스 실제로 은 반지름으로 정의되기에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 이들은 기념일도 3월 14일 대신 이의 2배인 6월 28일에 원주율을 기념한다. 그러면 원주의 길이는 [math(\tau r)], 원의 넓이는 [math(\dfrac12 \tau r^2)][13], 구의 겉면적은 [math(2 \tau r^2)], 구의 부피는 [math(\dfrac23 \tau r^3)]이 된다. 매번 두 배를 곱할 필요가 없어지고 식이 깔끔해지는 모습을 볼 수 있다. 여기에서 출발하는 각종 응용 개념과 공식은 더욱 효과가 크게 나타날 것이다.

단, 경로의존성으로 사람들이 이미 기존 원주율에 훨씬 익숙하고 계산 편의성 면에서도 얻을 수 있는 이득이 크지 않아 바로 바꾸기는 어려울 것으로 보인다. 일반인도 원주율을 3으로 계산하는 것은 오차가 너무 크다는 것을 알기에[14] 대략적인 정수배로 가늠하는 용도 이외에는 원주율을 3.14로 쓰고 있다.[15] 일상생활에서는 원둘레와 원넓이를 계산해야할 때가 많은데, 이 경우에는 수학적 상징을 떠나 [math(\tau r)]과 [math(\dfrac12 \tau r^2)]을 쓰는 것보다 [math(\pi R)][16]과 [math(\pi r^2)]을 쓰는 것이 더 간결한 것도 사실이다.

물리학에서는 플랑크 상수 [math(h)]와 함께 [math(h)]를 [math(2\pi)]로 나눈 디랙 상수 [math(\hbar)]가 따로 있으며, 양자역학에서는 계산 편의성을 인정받아 플랑크 상수보다 디랙 상수를 더 많이 쓰고 있다.

6.

{{{#!folding 원주율 소수점 이하 1000자리 [펼치기 · 접기] 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134 99999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989 }}}

이 사이트에서 특정 문자열이 원주율의 몇 번째 자리에서 등장하는지 검색할 수 있다. 2억 번째 자리까지 지원하므로, 파인만 포인트 찾으려고 999999 입력하는 것 정도는 순식간에 처리한다.[17]

재미로 해보면 2억 번째 자리 안에서도 주민번호 앞자리나 뒷자리, 010을 제외한 자신의 휴대폰번호 등을 거의 다 찾을 수 있다. 물론 그걸 찾았다고 말하는 행위는 개인정보를 내다버리는 행위이다.

도 있고, 새 원주율(타우) 버전도 있다.

위의 수에서 뭔가 규칙을 찾아냈다면 매우 높은 확률로 당신의 착각이다.[18] 첫자리 3을 포함하여 359, 360, 361번째 수는 각각 3, 6, 0이고, 몇 십억 혹은 조 자리까지 뒤로 가면 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0이 순서대로 나오는 등 흥미로운 숫자 조합이 많이 나오지만 이런 예들은 어디까지나 10진법 표기 때문에 일어난 현상일 뿐 전혀 수학적인 규칙이 아니다.[19] #뉴턴 포스트

만약 발견한 것이 '꽤 오래 반복되는' 순환소수 부분이라면 파이를 조금 더 근사치에 가까운 10진법 유리수처럼 보일 수 있으므로 상징적인 의미를 부여할 수는 있다. 가장 유명한 예로 762번째부터 767번째까지 9가 연달아 나오며, 이 부분을 파인만 포인트라 부른다.[20] 참고로 소수점 아래 24번째까지는 같은 숫자가 연속으로 나오지 않으며, 24번째와 25번째에 3이 두 번 연속으로 나오는 것이 최초이다.

콘택트의 마지막 장면에선 우주의 창조자가 한 없이 긴 원주율의 소숫점 뒷자리에 숨겨놓은 규칙성과 메시지들을 발견했다.

더 지니어스:그랜드 파이널/5화 메인 매치에서 4자리씩 120자리까지 제시되었다.

2022년 기준으로 100조 번째 자리까지 밝혀졌다.

손으로 계산할 때는 계산의 편의를 위해 3, 3.1, 3.14 등의 근삿값을 사용한다. 22/7은 주로 분수식에서 사용한다.



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7. 계산법

초창기에는 원에 내접/외접하는 정다각형들의 둘레를 구해 원의 둘레가 그 사이에 있다는 것을 활용하여 원주율을 구했다.
하지만 뉴턴의 등장으로 무한급수를 통해 원주율 값을 계산하기 시작했다.
Veritasium한국채널의 설명

원주율의 값을 계산하는 방법도 여러 가지가 있다. 보통 무한급수를 이용하는데, 상기 아크사인 혹은 아크탄젠트의 적분식을 테일러 전개하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \pi &= \int^1_{-1} \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} = 2\int^1_0\frac{{\rm d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2{\cdot}(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)} = 2+\frac13+\frac3{20}+\frac5{56}+\cdots\cdots \\ &= 2\int_{-1}^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} = 4\int_0^1\frac{{\rm d}x}{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty\dfrac{4(-1)^n}{2n+1} = 4 - \frac43 + \frac45 - \frac47 + \cdots\cdots\end{aligned})]
로 계산할 수 있다.[21] 역사적으로 원주율과 관련된 무한급수 또는 무한곱으로 다음과 같은 것들이 있다.
발견 년도 발견자 수식
1593 프랑수아 비에트 [math(\dfrac2{\pi}=\dfrac{\sqrt2}2{\cdot}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2{\cdot}\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdot\cdots\cdots)]
[증명] [펼치기 · 접기]
주어진 식을 [math(\displaystyle\prod_{n=1}^\infty a_n)]의 형태로 나타냈을 때, 수열 [math(\{a_n\})]의 점화식을 구해보면

[math(a_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2a_n+2}}2=\sqrt\dfrac{a_n+1}2)]

이다. 코사인 함수의 반각 공식이 이 점화식의 형태를 띠면서 [math(\cos\dfrac\pi4 = \dfrac{\sqrt2}2 = a_1)]이므로

[math(a_n = \cos\dfrac\pi{2^{n+1}})]

임을 알 수 있다. 한편, 사인 함수의 반각 공식을 이용하여 다음 관계식이 성립함을 알 수 있다.

[math(\begin{aligned} 1 &= \sin\dfrac\pi2 \\ &= 2\sin\dfrac\pi4\cos\dfrac\pi4 \\ &= 2\left(2\sin\dfrac\pi8\cos\dfrac\pi8\right)\cos\dfrac\pi4 \\ &= 2\left\{2\left(2\sin\dfrac\pi{16}\cos\dfrac\pi{16}\right)\cos\dfrac\pi8\right\}\cos\dfrac\pi4 \\ &\quad\vdots \\ &= 2^n\sin\dfrac\pi{2^{n+1}}\prod_{k=1}^n\cos\dfrac\pi{2^{k+1}} \\ \therefore \prod_{k=1}^n\cos\dfrac\pi{2^{k+1}} &= \dfrac1{2^n\sin\dfrac\pi{2^{n+1}} } = \dfrac2\pi\dfrac1{\dfrac{2^{n+1} }\pi\sin\dfrac\pi{2^{n+1}} }\end{aligned})]

주어진 식은 [math(n\to\infty)]일 때의 좌변이며 이때 [math(\dfrac{2^{n+1}}\pi\sin\dfrac\pi{2^{n+1}}\to1)]로 수렴하므로 주어진 식은 [math(\dfrac2\pi)]로 수렴한다.
1655 존 월리스 # [math(\begin{aligned} \dfrac{\pi}2 &= \prod_{n=1}^\infty\left(\dfrac{2n}{2n-1}{\cdot}\dfrac{2n}{2n+1}\right) \\ &=\dfrac21{\cdot}\dfrac23{\cdot}\dfrac43{\cdot}\dfrac45{\cdot}\dfrac65{\cdot}\dfrac67{\cdot}\cdots\cdots\end{aligned})]
[증명] [펼치기 · 접기]
바이어슈트라스 분해 정리에 의해

[math(\displaystyle\frac{\sin\pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty{\left(1-\dfrac{z^2}{n^2}\right)})]

가 성립하는데 위 식에 [math(z=\dfrac12)]을 대입하고 양변에 역수를 취하면 증명 끝.
참고로 위 식은 엄밀하진 않지만 다음과 같은 방법으로도 유도할 수 있다.
방정식 [math(\sin x = 0)]의 해는 정수를 [math(n_{\rm Z})]로 나타낼 때 [math(x = n_{\rm Z}\pi)]이므로 [math(\sin x)]는 [math((x - n_{\rm Z}\pi))]라는 인수가 무한개인 함수라고 생각할 수 있다.
이때 식을 조금 변형하여 [math(x = 0)]및 [math(\left(1-\dfrac x{n_{\rm Z}\pi}\right))]를 인수로 갖는다고 하면 [math(\sin x)]를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\displaystyle \sin x = Ax\prod_{n=1}^\infty{\left(1-\dfrac{x^2}{n^2\pi^2}\right)})]

여기서 [math(A)]는 비례 상수이다. 양변을 [math(x)]로 나누면

[math(\displaystyle\frac{\sin x}x = A\prod_{n=1}^\infty{\left(1-\dfrac{x^2}{n^2\pi^2}\right)})]

[math(x\to0)]의 극한을 취하면 좌변이 [math(1)]로 수렴하고 우변 역시 [math(1)]로 수렴하므로 [math(A = 1)]이다. 즉

[math(\displaystyle\frac{\sin x}x = \prod_{n=1}^\infty{\left(1-\dfrac{x^2}{n^2\pi^2}\right)})]

이다. 이제 [math(x = \pi z)]를 대입하면

[math(\displaystyle\frac{\sin\pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty{\left(1-\dfrac{z^2}{n^2}\right)})]
1671(1674) 제임스 그레고리( 라이프니츠) [math(\displaystyle \frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^n}{2n+1} \\ =1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots\cdots)]
1706 존 마친[22] [math(\displaystyle \frac\pi4=4\arctan{\left(\frac15\right)}-\arctan{\left(\frac1{239}\right)} \\ =\sum_{n=0}^\infty{\left\{\frac{4(-1)^n}{2n+1}{\left(\frac15\right)}^{2n+1}-\frac{(-1)^n}{2n+1}{\left(\frac1{239}\right)}^{2n+1}\right\}})]
1735 레온하르트 오일러 [math(\displaystyle \frac{\pi^2}6=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} \\ =1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots\cdots)][23]
[math(\displaystyle \frac{\pi^2}8=\sum_{n=0}^\infty\frac1{\left(1+2n\right)^2} \\ =1+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\cdots\cdots)][24]
[math(\displaystyle \frac{\pi^2}{12}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n^2} \\ =1-\frac1{2^2}+\frac1{3^2}-\frac1{4^2}+\cdots\cdots)]
[math(\displaystyle \frac{\pi^2}{24}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\left(2n\right)^2} \\ =\frac1{2^2}+\frac1{4^2}+\frac1{6^2}+\frac1{8^2}+\cdots\cdots)]
1914 스리니바사 라마누잔 [math(\displaystyle \frac1\pi=\frac{2\sqrt2}{99^2} \sum_ {n=0}^\infty \frac{(4n)!}{\left(n!\right)^4}\cdot\frac{26390n+1103}{396^{4n}})]
1988 처드노브스키 형제 [math(\displaystyle \frac1\pi= 12 \sum_ {q=0}^\infty \frac{(-1)^q(6q)!(545140134q+13591409)}{(3q)!(q!)^3(640320)^{3q+\frac{3}{2}}})]

테일러 시리즈를 이용한 기계적인 증명이 아니라, 기하학적인 증명은 다음 영상을 참고.
우변의 무한급수를 등대에서 나오는 빛의 세기로 비유하여 설명한다. 15:31까지는 [math(\dfrac{\pi^2}8)]로 시작하는 6번째 공식을 유도하고, 그 이후로는 이 공식에서 원래 공식을 유도한다.

8. 원주율 암기법

규칙적으로 외우는 방법이 몇 가지 나와 있기는 하지만, 사실 그냥 통째로 외우는 게 더 빠르기 때문에 기억술이라고 하기는 애매하다. 원주율의 숫자를 이용한 재밌는 장난이라고 보는게 좋을 듯. 4자리씩 끊어 읽는것이 가장 편리한 방법중 하나이다.

원주율을 소수점 아래 열네 자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명하다. 각 단어의 철자 수에 주목.
How I want a drink, alcoholic of course after the heavy lectures involving quantum mechanics!
( 양자역학을 포함한 어려운 강의 후에는 얼마나 한 잔이 하고 싶은지!)
위 문장의 철자 수를 배열해보면 3.14159 26535 8979가 된다.

오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.
Now I, even I, would celebrate
In rhymes unapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
Who in his wondrous lore,
Passed on before,
Left men his guidance
How to circles mensurate...
심지어 나 같은 이라도, 서툰 운율로라도,
더 이상 견줄 사람 없을
영원불멸의 시라쿠사인을 찬양하리다.
우리에게 전승되었던
훌륭한 이야기 속에
사람들에게 방법을 남겨 주었지
어떻게 측정 원을[25] 하는지를...
이 역시 철자 수를 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279(30자리)이 된다.

과학쟁이라는 과학 잡지는 이러한 문장을 만들었다.
"돌고래가 모직 남방 만들며 아침 산책 도는 동안 럭비나 봐라."
이건 다음과 같이 글자의 초성을 숫자로 바꾼다.
ㅈ/ㅊ
1 2 3 4 5 6 7 8 9
숫자로 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 264(23자리)가 된다.

다행히 원주율의 소수점 32자리 숫자는 0이므로, 각 자릿수를 하나의 단어로 대용하는 규칙을 사용하면서 문장을 32단어 이상으로 확장할 수 없다. 물론 위 한글 버전처럼 0에 대응하는 문자를 배당해 사용하거나, 혹은 10자리 단어를 0으로 계산한다면 가능하다.

9. 유의미한 원주율?

NASA 제트추진연구소의 엔지니어인 Marc Rayman에 따르면, 관측 가능한 우주를 기준으로 원주율을 통해 우주의 둘레를 계산할 때, 약 1nm 수준의 오차 이내로 계산하려면 원주율 소숫점 39~40자리까지만 계산해도 된다고 한다. JPL - How many decimals of Pi do we really need? 또한 NASA에서 실제로 로켓, 인공위성 등을 개발할 때 원주율 15자리[26]만 사용한다고 전하였다.

따라서, 실제 물리학에서 원주율이 사용되는 연산을 할 때 대부분의 경우에는 20자리 이상의 원주율을 사용하는 것은 거의 의미가 없다고 봐도 무방[27]할 것이다.

10. 호도법

  • 호도법(라디안)이라고 하는 각의 단위가 있는데, 이는 원주율을 기준으로 한 각의 단위이다. 자세한 내용은 문서 참조.

10.1. 정의

어느 한 원 위의 점이 원점을 중심으로 반지름의 길이만큼 한 방향으로 움직였을 때 대응하는 각의 크기를 1 라디안(rad)이라고 정의한다. 이때 원주만큼 움직였을 때 대응하는 각의 크기는 [math(2\pi)] 라디안(rad)이다. 여기서 [math(\pi)]가 원주율이다.

11. 여담

  • 유튜브 등지에는 가끔 어떤 무리수의 값에서 곡조를 따오는 노래들이 있는데, 그 중에서는 원주율이 제일 많이 나오는 편이다. 다음은 그 예시.

  • 대부분의 '파이 노래'들은 곡조를 숫자와 음계에 대응시켜 만들어내는데, 이것에 대한 비판도 있다. 요점은 어차피 어떤 곡조가 나오건 숙련된 음악가라면 정상적인 곡조로 바꿔버릴 수 있고 그게 체감도 안되는데 의미가 있냐는 것.[31] 거기에 추가로 원주율의 자릿수는 완전히 무작위적인데 무슨 의미가 있냐는 논쟁도 있다.
  • PIE를 거울에 비춰보면 3.14와 비슷한 형태가 된다고 한다. 참고
  • 원주율에서 가장 마지막으로 나오는 숫자는 0으로, 32번째 자리에서 처음 나온다.
  • 과거 유토리 교육 시대에 일본의 초등학교에서는 원주율의 근사값을 3으로 쳤다. 문부성의 학습지도 요령에 '목적에 따라 3으로 처리할 수 있다'고 규정돼 있기 때문이다. 일각에서는 이것이 잘못 알려진 가짜뉴스라고 주장하는 경우도 있는데, 그 주장이 오히려 정확치 않은 내용이며, 일본의 대다수 학교에서는 문부성 방침에 따라 "원주율은 그냥 3으로 쳐라"는 식으로 교육해왔던 것이 사실이다. 출처(중앙일보) 출처(세계일보) 유토리 교육을 비판할 때 단골로 인용되기도 하는 일화로, 후쿠다 야스오 총리는 유토리 교육에 반대한다는 취지로 기자회견 문답에서 "3이면 계산할 수 있는데 3.14는 계산하기 어렵다는 건 이상합니다. 나는 더 많이 외울 수 있어요. 3.141592..."라며 원주율을 쭉 읊었었다.
  • 영화 라이프 오브 파이에서 주인공이 학교에서 이상한 이름을 가졌다는 이유로 피싱(오줌싸다)이라는 별명으로 놀림받자 자신을 다른 이름으로 부르게 하기 위해 원주율을 외워 별명이 파이로 바뀌었다.
  • 원주율 소숫점 아래 25번째 자리까지 비밀번호로 쓰는 사람이 있다. 다음 링크 참조. #
  • 아동 수학 학습만화에서 빠지지 않고 나오는 것이 바로 이 [math(\pi)]의 기원에 대한 농담이다. 앗! 시리즈의 '수학이 또 수군수군'에서도 다음과 같이 나온다.
    [math(\pi)]는 옛날의 수학자들이 간단한 원을 연구하는 과정에서 나왔다.

    수학자 1: 한가운데를 지나가는 거리를 지름이라고 부릅시다.

    수학자 2: 그리고 원의 가장자리를 한 바퀴 도는 거리를 원주라고 부릅시다.

    수학자 1: 지름을 재는 것은 쉽지요!

    수학자 2: 그 길이가 얼마인지 매듭을 지어 표시합시다.

    수학자 1: 그런데 원주를 재는 것은 아주 어렵군요.

    수학자 2: 만약 원주가 지름의 몇 배라고 나타낼 수만 있다면, 쉽게 계산할 수 있을 텐데요.

    수학자 2: 흠, 내가 보기엔 원주가 지름의 약 3배인 것 같은데?

    수학자 3: (파이를 들고 오며)약 3배라고?

    수학자 2: 3배보다는 조금 긴데요?

    수학자 1: 그러면 그것을 '3과 조금 더'라고 부릅시다.

    수학자 2: 별로 좋은 이름 같지 않은데요.

    수학자 3: '파이'라고 부르는 게 어떨까요?

    수학자 1: 파이?

    수학자 2: 왜죠?[35]

    수학자 3: (냠냠 쩝쩝하며 파이를 먹는다.) 왜라니요? 원도 둥글고 파이도 둥그니까, 파이라고 하면 되지요!

    대략 이런 과정을 통해 [math(\pi)]가 생겨났을 것이다.

    원래는 그리스 문자의 '피(π)'를 '파이'라고 발음하는 영어권 나라에서나 먹히는 농담이지만, 한국에서도 π의 발음을 '파이'라고 규정한 관계로 한국에서도 먹히는 개드립이 되었다.
  • 한자 兀(우뚝할 올)과 기호가 비슷하다.
  • 질량이 [math(1\,\rm kg)]인 물체 [math(A)]가 마찰이 없는 평면 위에 벽면을 바라보고 정지하여 있을 때, 질량이 [math(100^{n-1}\,\rm kg)]인 물체 [math(B)]가 벽면과 수직인 방향으로 [math(A)]를 향해 일직선으로 다가와 탄성 충돌하면, 물체 [math(A)]는 원주율의 정수부와 소수점 이하 [math(n)]자리까지의 숫자로 표기되는 정수만큼 충돌한다. 물리엔진 구현 수학적인 증명[36]
    물론 위 방법을 실제로 원주율 값을 계산하는 데에는 쓸 수 없다.[37] 애초에 원주율은 자릿수가 많아질수록 정확도는 기하급수적으로 증가하기 때문. 고작 원주율 [math(20)]자리 구하는데 물체 하나의 질량이 [math(100\,\rm g)]이라면 다른 하나의 물체로 놔 두어야 하는 물체의 질량은 무려 [math(\mathbf{10^{37}\, kg})]으로 이는 우리은하 중심에 있는 초대질량 블랙홀의 질량과 맞먹는다. [math(100\,\rm g)]의 물체와 충돌해도 미동도 하지 않을 벽과, [math(\mathbf{10^{37}\, kg})]의 물체에 의한 중력을 무시할 수 있는 [math(100\,\rm g)]의 물체가 필요하다. 게다가, 충돌 횟수를 일일이 세어줘야 하기 때문에 20자리 구할 때만 해도 3141경이 넘는 충돌 횟수를 다 세어야 하고, 그것마저도 천천히 충돌하는 것도 아니라 1초에 엄청 많은 충돌을 일으키기 때문에...[38]
  • xkcd에서는 사실 원주율이 구조 메세지라는 농담이 나온 적이 있다. #
  • 원주율을 천자문을 이용해서 외운 사람도 있다. #
  • 원주율의 제곱은 10보다 약간 작은 [math(9.8696)] 정도로[39], 지구 지표면에서 중력가속도 [math(g_n = 9.806\,65{\rm\,m/s^2})]의 크기와 상당히 비슷하다. 우연이 아니라 미터법 초기에 미터를 진자로 정의하려던 시도의 흔적이다. 진자의 길이가 [math(l)]인 단진자에서 진동각이 매우 작을 때 주기 [math(T)]는 [math(T \approx 2\pi\sqrt{\dfrac lg})]로 근사되는데 [math(l = \dfrac14\,{\rm m} = 25{\rm\,cm})]일 때 [math(T = \dfrac\pi{\sqrt g} \approx 1.006419\cdots{\rm\,s})], 즉 주기가 [math(1)]초에 매우 근접한 값이 나온다.
  • 비상장 가상화폐 중 하나인 파이 네트워크의 파이는 원주율의 '파이'가 맞다.
  • 인디애나에서는 원주율을 법으로 지정하려고 했었다. #
  • 원주율에 해당하는 글자 수대로 내용을 적은 이 있다.

[1] 영어식으로 발음했을 때나 '파이'이지, 원어인 그리스어 발음으로는 '삐'( 외래어 표기법으로는 '피')다. 그러나 그리스 문자 가운데 한국어 기준으로 같은 표기인 글자( φ)가 따로 있기 때문에 유의해야 한다. [2] 인도유럽어족 연구의 시초가 된 그 윌리엄 존스의 아버지다. [3] 중2 수학 문제 중에서는 보기에 [math(\pi)]를 적어놓은 후 '다음 중 순환하지 않는 무한소수를 적으시오' 라는 문제가 단골이다. [4] 다만 이렇게 진법으로 뒀을 때 규칙이 보이는 수도 얼마든지 무리수가 될 수 있다. 실제로 최초로 증명된 초월수는 리우빌 상수라는 것으로, 이런 식으로 진법상에서의 규칙성을 주되, 실제로는 반복되는 일이 없는 무한소수로 구성된다. 그 외에도 챔퍼나운 상수가 정확하게 이런 형태. [5] 딱 한 장이다. [6] 린데만-바이어슈트라스 정리는 유리수체 위에서 0이 아닌 서로 선형독립적인 유한 개의 대수적 수 [math(\{\beta_k\})]에 대해서 역시 같은 수의 대수적 수의 쌍 [math(\{\alpha_k\})]가 존재하여, 대응되는 두 수를 곱한 수 [math(\alpha_k\beta_k)]의 합이 0이 아니라면 [math(\alpha_k e^{\beta_k})]의 합 역시 0이 아니라는 정리다. 즉, 유리수체 위의 선형독립적인 원소들로 구성된 집합은, [math(e)]의 거듭제곱 꼴로 바꾸더라도 선형독립적인 원소들로 이루어져 있다는 정리. 또한 여기서 따름정리로 [math(e^a)]에서 [math(a)]가 0이 아닌 대수적인 수라면 [math(e^a)]는 초월수라는 것 역시 알려져 있다. [7] 매번 3.14를 곱하는 것은 세자리 수 곱셈법과 유사해서 더러운 계산량이 나오기도 한다. 그래선지 3, 3.1, 또는 반지름 길이를 7의 배수로 주고 [math(\dfrac{22}7)]로 계산하도록 하는 방식으로 대체되기도 하였으나, 2025년부터 적용되는 2022 개정 교육과정부터는 3.14 외에 다른 값을 근삿값으로 사용하는 것을 전면 금지하였다. [8] 하지만 [math(\pi)]는 중학교 1학년때 배워서 원의 둘레를 처음 배우는 초등학교 6학년 때에는 일일이 계산해야 한다. 계산량이 더럽지만 곱셈 계산을 반복 숙달시키려는 의도도 있다. [9] EBS 다큐프라임 넘버스 1부 '하늘의 수 - [math(\pi)]'에 출연하여 당시 기록을 세웠을 때의 일화를 소개하였다. [10] 실제로 NASA의 제미니 계획이나 아폴로 계획의 미션 기록들을 보면, 일반인의 생각과는 달리 그렇게 아주 정밀하게 수치를 따지지는 않은 부분들이 꽤 있다. delta-v를 맞추기 위한 로켓 점화도 대략 '몇 초 점화' 하는 식으로 휴스턴 관제센터에서 지시하고, 생략되는 소수 부분 때문에 오차가 약간 발생하면 우주비행사들이 그때 그때 조금씩 보완하는 식으로 떠넘기기 미션을 수행했다. [11] 이게 참이라면 [math(2\pi = -2i\ln\left(-1\right) = -i\left\{\ln\left(-1\right)+\ln\left(-1\right)\right\} = -i\ln\left\{\left(-1\right)\left(-1\right)\right\} = -i\ln 1 = 0)], 즉 [math(2pi = 0)]이라는 말도 안 되는 식이 나온다! 한편 [math(e^{2\pi i} = 1)]이므로 [math(2\pi i = \ln1 = 0)]에서도 유도할 수 있다. [12] 이를 '주요값(principal value)'이라고 한다. [13] 상기 '[math(\tau)] 선언문'에서는 이 식이 물리학적으로 오히려 자연스럽다고 주장한다. "운동 에너지 공식 [math(\dfrac12mv^2)]은 운동량 [math(p=mv)]를 속도 [math(v)]로 적분한 것이며, 보존력의 위치 에너지 [math(\dfrac12kx^2)]은 보존력 [math(F=-kx)]을 변위 [math(x)]로 적분한 것이고, 진공에서 자유 낙하하는 물체의 거리 공식 [math(\dfrac12gt^2)]은 중력에 의한 속도 [math(v = gt)]를 시간 [math(t)]로 적분한 식이다. 원의 넓이는 원주 적분(폭이 [math({\rm d}r)]인 아주 얇은 링을 겹겹이 쌓아나가서 넓이를 구하는 방식)으로 따져보면 둘레가 [math(\tau r)]인 원주를 반지름 [math(r)]로 적분한 것이므로 앞선 예시들처럼 [math(\dfrac12\tau r^2)]이 나오는 게 오히려 자연스럽다."라고는 하지만, 이는 조금은 헛소리인게, 사실 기존의 [math(2\pi r)] 를 적분해도, 여전히, [math(\pi r^2)] 이다. 즉 자연스럽다기보다는 다른 공식과 형태적으로 유사해진다고 표현할 수는 있겠다. 이 식의 정당성을 이야기하고 싶었다면 부채꼴의 넓이([math(\dfrac12\theta r^2)])와의 관계 등을 이야기하는 편이 나았다. [14] [math(\pi)]를 3으로 근사할 경우 약 4.5%의 오차가 발생한다. [15] 필요에 따라 [math(\dfrac {22}7)]을 쓰기도 한다. [16] 기하학적으로는 정사각형에 내접하는 원의 원둘레는 정사각형 한 변의 길이에 원주율을 곱한 것과 같다. [17] 999999 입력한 후 189번 Find Next를 누르면 찾을 수 없다(200000000번째 안에서)라고 뜬다. [18] 원주율은 초월수임이 증명되었다. [19] 다른 예로, 초월수가 실존함을 보이기 위해 자연수를 일렬로 늘어놓고 앞에 소수점 하나 찍어서 (0.12345678910111213...) 초월수를 만들어내기도 했다. [20] 1억 7233만 850~1억 7233만 858번째까지 자리엔 0이 연속 8번이나 나오고, 2465만 8601~2465만 8609번째 자리엔 7이 무려 연속 9번 나온다. 이는 전체를 통틀어 가장 처음으로 9번 연속된 숫자다. [21] 단, 둘 다 수렴 속도는 꽤 느린 편이다. 아크탄젠트는 십만 개의 항을 계산해야 [math(3.1415\mathbf8\cdots\cdots)]이 되고, 아크사인은 십만 개의 항을 계산해도 근삿값이 [math(3.1{\bf5886})]으로 소수점 아래 둘째자리를 못 맞춘다. [22] 일명 마친 공식이라고 한다. [23] 바젤 문제라는 빛의 세기에 관한 문제를 해결하면서 우연히 발견. 즉, 자연수 제곱의 역수들의 합(우변)을 계산하려고 하니 우연치 않게 원주율(좌변)이 나왔던 것. [24] 기하학적인 의미로 따졌을 때 바로 위의 공식보다 더 근본적인 공식으로, 이 식을 이용하여 위의 식을 곧바로 유도 할 수 있다. [25] 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)'이 되어야 맞다. 그러니 고급 언어유희가 아니라는 소리. 근데 서툰 운율이라고 되어 있다. [26] 3.141592653589793 [27] 만약 우리가 일상에서 볼 수 있는 구형 물체의 둘레를 구할 때 50자리 쯤 되는 원주율을 사용한다면, 오차 범위는 원자핵은 물론, 플랑크 길이보다도 훨씬 작아지게 된다. 우주의 둘레를 구할 때라도 100자리 정도면 플랑크 길이보다 작아지기에 충분하다. 이쯤되면 원주율이 아닌 다른 측정 변수들로 더 큰 오차가 생길 것이다. SI 단위 측정에 동원되는 정밀기기도 유효숫자를 소숫점 아래 20자리 정도까지만 뽑아낸다. [28] 이 사이트를 참조하면 좋다. [29] 이쪽은 음의 길이까지 원주율로 결정했다. [30] 원주율을 완주하지는 않고 중간에 루프한다. 3.1415926535897과 중반부에 93238462643383을 반복한다고 보면 된다 [31] 실제로 저 영상에서는 파이 노래라면서 첫 5자리 이후로는 완전히 무작위적으로 연주한 노래가 나왔는데, 모르고 들으면 알아채기 힘들다. [32] 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다. 이쪽은 재생 시간이 무려 1시간 8분 20초나 된다. 대한민국 가요 사상 단일 곡 중 가장 길다는 태초의 노래, 노래의 종말보다도 2분 14초나 더 길다. [33] 40초 쯤에 '...5105820974944...'가 맞으나 '...51058204944...'라고 나와있다. [우회필요] 저작권 문제로 막혀 있다. [35] 원문에서는 Pi? Why?라고 운율이 만들어지는 것도 소소한 포인트. [36] 간단히 설명하자면, 좌표축을 두 물체의 속도와 질량으로 조절한 위상공간을 만든 뒤 에너지 보존법칙과 운동량 보존법칙, 그리고 원주각의 성질을 이용하면 유도할 수 있다. [37] 그래도 눈으로 보는 것보다는 나은 편. [38] 첫 번째 충돌 후 두 번째 충돌까지의 시간을 100초로 두면, 200초 정도가 경과한 시점에서 무려 1초에 [math(5\times10^{35})]회 정도의 충돌이 일어난다. 또한, 작은 물체의 속력은 초기 큰 물체 속력의 1000경 배가 되기 때문에, 아무리 큰 물체의 초기 속력이 나노미터를 넘어 아예 펨토, 욕토 단위여도 나중에는 아예 특수 상대성 이론을 고려해야 할 시기가 온다. 게다가 이 정도로 질량차가 커지면 둘 사이에서 발생하는 중력장의 변화도 무시할 수 없게 되어 특수 상대성 이론은 커녕 일반 상대성 이론까지 고려해야 한다. [39] 참고로 [math(\sqrt{10} \fallingdotseq 3.1622)]이다. [40] 마찬가지로 선발투수가 통산 2215 이닝 동안 669 자책점을 기록할 경우 평균자책점2.7182844244..가 되고 2264와 2/3 이닝 동안 684 자책점을 기록할 경우 2.718280836..이 되어 자연로그의 밑과 근접해진다.