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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Teorema di Ceva / Ceva 定 理1678년 이탈리아의 기하학자 조반니 체바(Giovanni Ceva)가 발견한 정리이다. 크게 선에 관한 정리와 각에 관한 정리로 나뉜다.[1]
2. 선에 관한 체바 정리
[math(\triangle \rm ABC)]에서 [math(\overline{\rm BC})], [math(\overline{\rm CA})], [math(\overline{\rm AB})]의 어느 위에 있지 않은 삼각형 내부의 한 점 [math(\rm P)]와 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]를 이은 직선이 각각 [math(\overline{\rm BC})], [math(\overline{\rm CA})], [math(\overline{\rm AB})]에서 만나는 점을 각각 [math(\rm D)], [math(\rm E)], [math(\rm F)]라 할 때, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1)]
또한, 역으로 [math(\triangle \rm ABC)]에서 [math(\overline{\rm BC})] 위에 [math(\rm D)], [math(\overline{\rm CA})] 위에 [math(\rm E)], [math(\overline{\rm AB})] 위에 [math(\rm F)]를 잡은 후, 각각 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)]와 이었을때,
[math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1)]
이 성립하면 [math(\overline{\rm AD})], [math(\overline{\rm BE})], [math(\overline{\rm CF})]가 한 점 [math(\rm P)]에서 만나게 된다.
정리 식이 언뜻 보면 복잡해 보이지만, 규칙적인 패턴(대응 요소)이 있으므로 그 패턴과 순서를 위주로 기억해두는 게 학습 팁이다.
참고로 말하자면, [math(\mathbf P)]가 외부에 있을 때도 동일하게 성립한다. 이 경우, [math(\overline{\rm AP})], [math(\overline{\rm BP})], [math(\overline{\rm CP})]가 각각 [math(\overline{\rm BC})], [math(\overline{\rm CA})], [math(\overline{\rm AB})]의 연장선상에서 만나는 점을 [math(\rm D)], [math(\rm E)], [math(\rm F)]라 하며, 방향을 생각한 길이 표기를 도입하게 된다.[2]
- [math(\overline{\rm AP})]가 [math(\overline{\rm BC})]를 [math(\rm C)]쪽으로 연장한 반직선과 만난다면(그 때 교점을 [math(\rm D)]라고 하면) [math(\overline{\rm DC})]는 음수로, [math(\overline{\rm BD})]는 양수로 표시하게 된다.
- [math(\overline{\rm AP})]가 선분 [math(\overline{\rm BC})]와 만난다면 [math(\overline{\rm BD})], [math(\overline{\rm DC})] 모두 양수로 측정하게 된다.
- [math(\overline{\rm AP})]가 [math(\overline{\rm BC})]를 [math(\rm B)] 쪽으로 연장한 반직선과 만난다면 반대로 [math(\overline{\rm BC})]는 음수, [math(\overline{\rm DC})]는 양수이다.
2.1. 증명
위에서 설명한, 방향이 고려된 길이 표기를 사용하기로 한다. 즉 길이는 음수가 될 수 없다.[math(\displaystyle \triangle\rm ABC)]에서 [math(\displaystyle \overline{\rm BC})] 위에 [math(\displaystyle \rm D)], [math(\displaystyle \overline{\rm CA})] 위에 [math(\displaystyle \rm E)], [math(\displaystyle \overline{\rm AB})] 위에 [math(\displaystyle \rm F)]를 잡은 후, [math(\displaystyle \overline{\rm AD})], [math(\displaystyle \overline{\rm BE})], [math(\displaystyle \overline{\rm CF})]가 한 점 [math(\displaystyle \rm P)]에서 만난다고 하자. 삼각형의 넓이비를 생각하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}&=\frac{\triangle\rm ABP}{\triangle\rm ACP} \\\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}&=\frac{\triangle\rm BCP}{\triangle\rm BAP} \\ \frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}&=\frac{\triangle\rm CAP}{\triangle\rm CBP} \end{aligned})]
이것을 모두 곱하면 1이 된다.
역정리를 보이자.
[math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1)]
라 가정하자. [math(\displaystyle \overline{\rm AD})]와 [math(\displaystyle \overline{\rm BE})]의 교점을 [math(\displaystyle \rm Q)]라고 하고 [math(\displaystyle \overline{\rm CQ})]를 연장시켜 [math(\displaystyle \overline{\rm AB})]와의 교점을 [math(\displaystyle \rm F')]라고 하자. 그럼 원래 체바의 정리에 의해
[math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF'}}{\overline{\rm F'B}}=1)]
이 성립하는데,
[math(\displaystyle \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm DC}}\cdot\frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}}\cdot\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}}=1)]
도 성립하므로 결국
[math(\displaystyle \frac{\overline{\rm AF'}}{\overline{\rm F'B}}=\frac{\overline{\rm AF}}{\overline{\rm FB}})]
여야 한다. 따라서, [math(\displaystyle \rm{F})]는 [math(\displaystyle \rm{F'})]과 같다는 결론을 얻는다.
3. 각에 관한 체바 정리
[math(\triangle \rm ABC)]에서 [math(\overline{\rm AD})], [math(\overline{\rm BE})], [math(\overline{\rm CF})]가 한 점 [math(\rm P)]에서 만날 때 다음이 성립한다. 이 경우 외에도 방향이 고려된 각도를 사용하게 된다.[3] 점 [math(\rm P)]가 외부에 있어도 성립한다.
[math(\displaystyle \frac{\sin{(\angle\rm CAD)}}{\sin{(\angle\rm BAD)}}\cdot\frac{\sin{(\angle\rm BCF)}}{\sin{(\angle\rm ACF)}}\cdot\frac{\sin{(\angle\rm ABE)}}{\sin{(\angle\rm CBE)}}=1)]
이것의 역 또한 성립한다.
3.1. 증명
[math(\overline{\rm AD})], [math(\overline{\rm BE})], [math(\overline{\rm CF})]가 한 점 [math(\rm P)]에서 만난다면 [math(\triangle\rm PAB)], [math(\triangle\rm PBC)], [math(\triangle\rm PCA)]에서 사인 법칙을 적용하면[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm PA}}{\overline{\rm PB}}&=\frac{\sin{(\angle\rm PBA)}}{\sin{(\angle\rm PAB)}}=\frac{\sin{(\angle\rm ABE)}}{\sin{(\angle\rm BAD)}} \\ \frac{\overline{\rm PB}}{\overline{\rm PC}}&=\frac{\sin{(\angle\rm PCB)}}{\sin{(\angle\rm PBC)}}=\frac{\sin{(\angle\rm BCF)}}{\sin{(\angle\rm CBE)}} \\ \frac{\overline{\rm PC}}{\overline{\rm PA}}&=\frac{\sin{(\angle\rm PCA)}}{\sin{(\angle\rm PAC)}}=\frac{\sin{(\angle\rm CAD)}}{\sin{(\angle\rm ACF)}}\end{aligned})]
이고, 변변 곱하면 된다.
각에 관한 역정리 증명도 선에 관한 체바 역정리와 같은 방법을 사용할 수 있다.
4. 기타
- 교과 과정에 포함되지는 않았지만 그 심플함과 편리성으로 인해 KMO를 준비한 학생들은 고등학교의 복잡한 기하 문제들을 심히 편히 풀어나갈 수 있도록 도와주기도 한다. 메넬라오스 정리와 함께 조금만 복잡한 삼각형 기하를 푸는 데 필수로 필요한 도구.
- 이탈리아어에서 유래되었으므로 외래어표기법 상 '체바'로 표기하는 게 옳으며 ‘세바’는 영어권 사람들의 발음법이다. 일본에서는 이를 고려하고 체바 정리로 지은 것. 왜 일본 이야기를 꺼내냐면, 우리나라의 수학 용어 대부분이 일본을 경유하여 들여왔기 때문이다. 대한수학회에서도 '체바 정리'를 밀고 있다.
- 영어에서는 세바라고 발음한다. 발음 듣기1 발음 듣기2 참고로 교육과정에 들어온다면 '-의 정리'는 채택되지 않을 가능성이 높다. 소유격 조사 '-의'를 모두 빼는 추세이기 때문이다.(그 예로 피타고라스 정리, 아보가드로 법칙, 맥스웰 방정식 등이 있다.)
- 논증기하학 정리가 모두 그렇듯 평행성 공준이 참일 때에만 성립한다. 즉 구면삼각형, 쌍곡삼각형 등 비유클리드 기하학상의 삼각형에서는 성립하지 않는다.