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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Triangle quelconque자크 루브찬스키(Jacques Lubczanski)라는 학자가 고안한, '아무 특징이 없는' 삼각형. 때로는 '평범'하기가 '비범'하기보다 어려움을 보여주는 단적인 예이자, 언어철학적 역설의 일종이다.
2. 상세
웬만한 삼각형엔 다 이름이 붙어 있기 때문에 정말 이름 없는 평범한 삼각형 만들기가 오히려 힘들다. 예를 들어 직각이 있으면 직각삼각형, 둔각이 있으면 둔각삼각형, 두 변의 길이가 같으면 이등변삼각형이라고 한다. 이에 자크 루브찬스키라는 학자가 아무 특징 없는 '평범한 삼각형'을 작도하는 법을 연구했다. 그가 고안한 가장 간단한 '평범한 삼각형'은 다음과 같이 그릴 수 있다.- 정삼각형 하나를 그린다.
- 한 꼭짓점에서 대변(對邊)으로 수선을 내려 정삼각형을 이등분한 뒤, 그 중 하나를 버린다.
- 2에서 나온 직각삼각형의 길이가 중간인 변을 짧은 변으로 하는 직각 이등변삼각형을 덧붙여 그린다.
- 세 각이 각각 [math(45\degree)], [math(60\degree)], [math(75\degree)]인 정말 이름 없는 삼각형이 나온다.
그러나 평범한 삼각형의 세 각은 각각 [math(45\degree)], [math(60\degree)], [math(75\degree)]이므로 그냥 예각삼각형이라는 이름을 붙일 수 있으며[1] 세 변의 길이가 모두 다르므로 부등변삼각형이라는 이름을 붙일 수도 있어서[2] 자크 루브찬스키의 연구는 사실 부질없다. 애당초 삼각형 집합은 특정 집합의 여집합 격인 집합에도 이름이 붙어있는 곳이라 이런 생각을 할 건덕지조차도 원래는 없다. 특정 언어권의 기하학계에서는 예각삼각형, 부등변삼각형이라는 단어를 안 쓴다면 또 몰라도.
그런데 여기에서 정말 주목해야 할 대목은 '평범한 삼각형'이라는 이름이자 특징이 생겼으므로 이름과 달리 결국 평범한 삼각형이 아니게 된다는 점이다. 그렇다면 도대체 ' 평범하다', '비범하다', '특이하다'의 의미란 무엇인가? 이는 베켄바흐의 역설에서 제기되는 언어철학적 문제와도 맞닿아 있다.
3. 비유클리드 기하학에서
다만, 비유클리드 기하학을 고려하면 '평범한 삼각형'이 말이 된다고도 할 수 있는데, 구면삼각형이나 쌍곡삼각형에 비해서는 특징이 평범하기 때문. 비유클리드 기하학의 삼각형과는 달리 유클리드 기하학의 삼각형은 미분 기하학이라는 괴악하기 그지없는 녀석 없이 정말로 초등적인 공리( 논증 기하학 등)만으로도 다룰 수 있기 때문이다.[3]4. 관련 문서
[1]
모든 삼각형은 예각/직각/둔각삼각형 중 항상 오직 하나에 속한다.
[2]
모든 삼각형은 부등변/이등변삼각형 중 오직 하나에 무조건 속한다.(정삼각형은 이등변삼각형의 부분집합에 속한다.)
[3]
이 경우, 유클리드 기하학에서의 삼각형 전체가 '평범한 삼각형'이 된다. 사실상 유클리드 기하학으로 다룰 수 있는 대상 전체가 평범해지는 셈.