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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
圓 周 角 / inscribed angle그림과 같이 [math(
| [math(\angle\alpha = \dfrac{\angle\beta}2)] |
참고로 이 문서의 각은 호도법으로 정의된 것을 사용하며, 가령 각의 기호 [math(\theta)]에 대하여 [math(underlinetheta = theta/{rm rad})]이다. 해당 수치에 [math(\dfrac{180\degree}\pi)]를 곱해주면, 육십분법으로 정의된 각을 알 수 있다. 또한 닮음 기호는 국제적으로 통용되는 [math(\sim)]을 썼다.
2. 성질
2.1. 성질 1
원주각은 호가 같다면, 점 [math(\rm P)]에 관계 없이 일정하다. 즉,위 그림에서
| [math(\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3)] |
이것은 다음과 같이 세 경우로 나누어 증명 가능하다.
[1] 원의 중심이 원주각 내부에 있을 때
[math(
| [math(\begin{aligned} \rm\angle APO &= \rm\angle PAO \\ \rm\angle OPB &= \rm\angle OBP\end{aligned})] |
| [math(\rm\angle AOQ = \angle APO + \angle PAO = 2\angle APO)] |
| [math(\rm\angle QOB = \angle OPB + \angle OBP = 2\angle OPB)] |
| [math(\rm\angle APB = \dfrac12\angle AOB)] |
[2] 원의 중심이 원주각 직선 위에 있을 때
[math(
| [math(\rm\angle OPB = \angle OBP)] |
| [math(\rm\angle AOB = \angle OPB + \angle OBP = 2\angle OPB)] |
| [math(\rm\angle APB = \dfrac12\angle AOB)] |
[3] 원의 중심이 원주각 외부에 있을 때
[math(
| [math(\begin{aligned} \rm\angle OAP &= \rm\angle OPA \\ \rm\angle OPB &= \rm\angle OBP\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \rm\angle OBP &= \rm\angle OPA + \angle APB \\ &= \rm\angle OAP + \angle APB \end{aligned})] |
| [math(\rm\angle AQB = \angle OAP + 2\angle APB)] |
| [math(\rm\angle AQB = \angle OAP + \angle AOB)] |
| [math(\rm\angle OAP + \angle AOB = \angle OAP + 2\angle APB)] |
| [math(\rm\angle APB = \dfrac12\angle AOB)] |
따라서 우리는 [1]~[3]의 과정을 통해 원주각의 크기는 호의 길이만 같다면, 크기는 원주각의 위치에 무관함을 증명했다.
사실 [math(\alpha)]가 [math(\cfrac\pi2{\rm\,rad})]보다 큰 지 작은지 알면 [math(\sin\underline\alpha = \cfrac{\overline{\rm AB}}{2R})]임을 이용해서 한 번에 얻을 수 있다.
2.2. 성질 2
위의 개요 문단에서도 다뤘지만, 원주각은 중심각의 크기의 절반의 크기를 가진다. 이것의 증명은 원주각이 예각, 직각, 둔각일 때를 나누어 증명한다.[1] 원주각이 예각일 때
보조선으로 [math(\rm\overline{PQ})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
| [math(\rm\overline{AO} = \overline{PO} = \overline{BO})] |
| [math(\rm\angle AOB = \angle AOQ + \angle QOB)] |
| [math(\begin{aligned} \rm\angle AOQ &= \rm2\angle APO \\ \rm\angle QOB &= \rm2\angle OPB\end{aligned})] |
| [math(\rm\angle AOB = 2(\angle APO + \angle OPB) = 2\angle APB)] |
[2] 원주각이 직각일 때
보조선으로 [math(\rm\overline{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
| [math(\rm\overline{AO} = \overline{PO} = \overline{BO})] |
| [math(\rm\angle AOB = \angle AOP + \angle POB)] |
| [math(\begin{aligned} \rm\angle AOP &= \rm2\angle OPB \\ \rm\angle POB &= \rm2\angle APO\end{aligned})] |
| [math(\rm\angle AOB = 2(\angle APO + \angle OPB) = 2\angle APB)] |
[3] 원주각이 둔각일 때
보조선으로 [math(\rm\overline{PO})]를 긋는 것부터 시작하자. 원의 반지름인 세 선분의 길이는 같다. 즉,
| [math(\rm\overline{AO} = \overline{PO} = \overline{BO})] |
| [math(\rm\angle AOB = 2\pi{\rm\,rad} - (\angle AOP + \angle POB))] |
| [math(\begin{aligned} \rm\angle AOP &= \rm\pi\,rad - 2\angle APO \\ \rm\angle POB &= \rm\pi\,rad - 2\angle OPB\end{aligned})] |
| [math(\rm\angle AOB = 2(\angle APO + \angle OPB) = 2\angle APB)] |
2.3. 기타 성질
-
지름에 대한 원주각의 크기는 직각이 된다. 이것은 성질 2를 이용하면, 지름의 경우 직선이고, 원의 중심을 통과하기 때문에 중심각은 [math(\pi{\rm\,rad})]이 되므로, 원주각은 그 반인 직각이 되는 것이다. 아래의 그림을 참고하라:
- 한 원에서 같은 원주각을 가지는 두 현은 길이가 같다.
- 원주각 및 중심각은 대응하는 호의 길이에 비례한다.
-
상단의 그림을 해석기하학적으로 접근하면, [math(\rm\overline{AB})]를 그을 때 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다:
[math(\begin{aligned} \underline{\angle\alpha} &= \dfrac12 \operatorname{acrd} \overline{\rm AB} \\ &= \arcsin\frac{\overline{\rm AB}}2 \\ &= -i\operatorname{Log}{\left( i \frac{\overline{\rm AB}}2 + \sqrt{1 - \frac{\overline{\rm AB}^2}4} \right)} \end{aligned})]
[math(\rm acrd)]는 할선으로부터 그 중심각을 구하는 역할선 함수이며, [math(\arcsin)]은 역사인 함수이다. [math(\rm Log)]는 복소로그함수, [math(i)]는 허수단위이다.
3. 응용
3.1. 사인법칙
3.2. 원에 내접하는 사각형
위 그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [math(\rm APBQ)]를 고려하자. 이때, [math(\theta)]와 [math(\theta')]는 [math(
| [math(\theta + \theta' = \pi{\rm\,rad})] |
위 그림과 같이 원에 내접하는 [math(\rm\square ABCD)]과 이 사각형의 [math(\rm\angle CAB)]의 외각 [math(\rm\angle PAC)]를 고려하면
| [math(\rm\angle CAB = \pi{\rm\,rad} - \angle PAC)] |
| [math(\begin{aligned} \rm\angle CDB &= \rm\pi\,rad - \angle CAB \\ &= \rm\pi\,rad - (\pi\,rad - \angle PAC) \\ &= \rm\angle PAC \end{aligned})] |
이상의 결과를 정리하면, 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기와 내대각의 크기는 서로 같음을 알 수 있고, 이 명제는 그 역도 성립함이 알려져있다.
3.3. 네 점이 한 원 위에 있을 조건
그림과 같이 네 점 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm C)], [math(\rm D)]가 한 원 위에 있으려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.
- 두 점 [math(\rm C)], [math(\rm D)]가 [math(\rm\overleftrightarrow{AB})]에 대하여 같은 쪽에 존재한다.
- [math(\angle{\rm ACB} = \angle{\rm ADB})]
3.4. 접선과 현이 이루는 각
위 그림과 같이 원 외부의 점 [math(\rm P)]에서 그은 원의 접선을 고려해보자. 이때, 해당 접선의 접점은 [math(\rm T)]이다. 또, 접점을 지나는 한 현을 고려할 때, 이 현에 대한 [math(
| [math(\rm\angle AQT = \angle PTA)] |
이것의 증명은 아래와 같이 할 수 있다.
점 [math(\rm Q)]를 [math(\rm Q')]으로 옮겨도 그 원주각은 같으므로
| [math(\rm\angle AQT = \angle AQ'T)] |
| [math(\rm\pi\,rad - {\left(\cfrac{\rm\pi\,rad}2 + \angle AQ'T \right)} = \cfrac{\rm\pi\,rad}2 - \angle AQT)] |
| [math(\rm\angle AQ'T = \angle AQT = \angle PTA)] |
이러한 성질을 흔히 접현각 성질이라고 줄여 부른다.
3.5. 방멱 정리 (원과 비례)
4. 기타
- 현행 대한민국 교육과정에서는 중학교 3학년 2학기 후반부에 다루게 된다. 단원 특성 상 3년간 배웠던 기하학의 내용인 합동・닮음 등의 많은 내용들을 써먹어야 하기 때문에 3년 간 본인이 학습했던 기하학 실력을 알 수 있는 단원이며, 이에 많은 학생들이 어려워하는 단원이다.
-
교육과정 자체는 중학교 교육과정이지만 수능 4점 도형문제에서 숨쉬듯 써먹기 때문에 사실상 고등학교 과정에도 필수라고 보면 된다.