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Similarity
1. 개요
두 도형의 모양이 같음을 뜻한다. 수학적인 정의는 한 도형을 일정한 비율로 일그러지지 않게 확대하거나 축소했을 때 두 도형이 합동이 되는 경우이다.[1] 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우로서 닮음 안에 포함된다. 중학교 2학년 교육 과정에 포함되어 있으며, 중학교 과정에서 수포자를 양성하는 외심, 내심, 확률, 삼각형, 사각형처럼 학생들에게 최종보스급으로 여겨진다. (물론 중학교 3학년 과정에 가면 이차함수, 삼각비, 원주각이 있긴 하다. 이 중에서 원주각의 여러가지 공식들을 증명할때 삼각형의 닮음이 많이 이용된다.)2. 상세
서로 닮음인 도형에서 대응하는 선분의 비율을 닮음비라고 한다. 예를 들어, 서로 닮음인 두 삼각형 ABC와 DEF의 닮음비가 1:2라는 말은, △DEF의 각 변 길이는 △ABC의 각 변 길이의 두 배라는 이야기이다. 물론 두 도형의 닮음비가 1:1이라면 그 두 도형은 합동이다.닮음을 기호로 표현할 때는 Similarity의 라틴어 머릿글자 S를 옆으로 눕힌 기호(∽)를 사용한다. 예를 들어, 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음임을 아래와 같이 표현한다. 그리고 닮음비를 표시한다.
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△ABC ∽ △DEF (닮음비 a:b) |
사실 유클리드 논증기하에서 피타고라스의 정리와 원주각만큼 우려먹는 도구. 기본적인 공식들은 전부 분수비로 보여져 변과 변의 곱을 표현하는 것은 사실 전부 닮음의 비율을 통해 도출할 수 있다. 기하학 문제 푸는데 정말 많이 쓰이는 메넬라오스 정리부터 이것을 통해 증명된 것이니.
위상수학에서는 더 나아가 구와 원뿔과 원기둥과 정육면체를 닮은 도형으로 간주한다. 정확하게는 위상동형(homeomorphism) 관계의 도형이다.
서로 닮은 두 평면도형의 경우 넓이비는 닮음비의 제곱이다. 그리고 서로 닮은 두 입체도형의 경우 겉넓이의 비는 닮음비의 제곱이며, 부피비는 닮음비의 세제곱이다. 따라서 서로 닮은 입체도형의 경우 부피의 제곱은 겉넓이의 세제곱에 비례한다.
2.1. 서로 항상 닮음인 도형들
- 두 각의 크기가 같은 삼각형[2](AA 닮음[3])
- 두 쌍의 대응변의 길이 비가 같고, 그 끼인각이 같은 삼각형(SAS 닮음)
- 세 쌍의 대응변의 길이 비가 같은 삼각형(SSS 닮음)
- 모든 직각이등변삼각형[4], 원, 구
- 변의 개수가 같은 모든 정다각형
- 면의 개수가 같은 모든 정다면체
- 자기 쌍대가 성립하는 모든 도형
- 중심각의 크기가 같은 부채꼴
- 이심률이 같은 모든 이차곡선
- 모든 포물선
- 간혹 [math(y=ax^2)]꼴의 함수에서 [math(a)]값에 따라 '모양'이 결정된다고 말하는 참고서가 있으나 적절한 표현이 아니다. 폭이 같은 것. 모든 포물선은 서로 닮음이기 때문에 모양이 같다. 얼핏 보면 모양이 달라 보이지만 확대/축소 해서 보면 같다.
- 밑이 같은 지수함수와 로그함수 그래프[5]
- 로그나선
2.2. 닮음의 중심
Center of Similarity, Homotheric Center위 그림에서 [math(\triangle ABC \sim \triangle DEF)]인데, 대응점 관계인 두 점을 이은 세 직선이 모두 한 점 [math(\rm P)]에서 만난다. 이렇게 닮음인 두 개 이상의 도형의 대응점을 이은 직선이 모두 한점을 지날 때, 이 점을 닮음의 중심이라 한다. 중요한 점은 닮음의 중심은 항상 존재하는 것은 아니라는 것이다.
두 닮은 도형의 닮음의 중심이 만일 존재한다면 위치에 관계없이 두 도형은 단순 확대·축소, 밀기만 이용해 일치시킬 수 있다(위 그림이 그 예시). 따라서 닮음의 중심이 위치한다면 각각의 대응변은 서로 평행하며, 확장해서 데자르그 정리의 전제조건은 두 삼각형이 닮음이 아니라는 것을 알 수 있다. [6]
[1]
여기서 일정한 비율로 도형을 확대한다는 것은 변의 길이를 확대하는 것이다.
[2]
두 각의 크기가 같다면 각이 세 개고 내각의 합이 180°이므로 자연히 나머지 한 각의 크기도 동일하도록 결정된다. 따라서 세 각의 크기가 같다는 진술과 동치이다.
[3]
S는 side(변)의 첫 글자, A는 angle(각)의 첫 글자다.
[4]
한 각은 직각, 나머지 두 각은 각각 45도이기 때문에 AA 닮음이다. 빗변이 아닌 두 변의 길이가 같고 끼인각이 직각이므로 SAS 닮음도 된다.
[5]
지수와
로그 말고도 서로
역함수 관계에 있는 그래프는 [math(y=x)] 를 축으로 하는 대칭 관계의 형태이다.
[6]
기본적으로 데자르그 정리는 서로다른 두 삼각형의 각 변의 연장선의 교점이 한 직선을 지난다는 것인데, 그런 교점이 존재하지 않으므로 모순이다.