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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
等 積 變 形 / equiareal transform도형의 넓이를 바꾸지 않으면서, 다른 도형으로 바꾸는 것을 등적변형이라 한다.
다각형의 등적변형에서는, 주로 평행선을 이용하여 다른 도형으로 바꾸는 경우가 많으며, 이외에도 잘라서 붙이는 등의 방법으로 등적변형을 할 수 있다.
2. 예시
2.1. 삼각형의 등적변형
그림에서 두 직선이 서로 평행할 때, 붉은 삼각형과 푸른 삼각형의 넓이가 같다. 두 삼각형의 밑변과 높이가 동일하기 때문이다.
삼각형에서의 등적변형을 일부 초등·중학교 문제집에서는 높이가 같은 삼각형이라고 부르기도 한다.
삼각형의 등적변형은 유클리드 기하학 원론 제1권의 주요한 핵심중 하나이다.
2.2. 사각형의 등적변형
그림과 같은 사각형 ABCD(붉은 사각형)가 있다. 이 사각형과 넓이가 같은 삼각형을 찾으려 한다. 그러기 위해서 다음 과정을 거친다.
- 대각선 AC를 긋는다.
- 1에서 그은 직선과 평행하면서 점 D를 지나는 직선DE를 긋는다.
- 2에서 그은 직선과 직선 BC의 연장선에서 교점을 E라 한다.
- 삼각형 ABE(푸른 삼각형)를 그린다.
그렇다면 왜 두 도형의 넓이가 같은지 알아보자. 사각형 ABCD는 삼각형 ABC와 삼각형 ACD로 나뉘며, 삼각형 ABE는 삼각형 ABC와 삼각형 ACE로 나뉜다. 그런데 직선 AC와 DE가 평행하므로, 삼각형의 등적변형에 의해 두 삼각형 ACD와 ACE의 넓이가 같다. 따라서 사각형 ABCD와 삼각형 ABE의 넓이가 같다.
3. 기하학 원론
삼각형 및 사각형의 등적변형은 유클리드 기하학 원론 제1권 및 제2권의 주요한 핵심이다. 제1권 법칙33,34,37 제2권 법칙10,11,14 등은 이러한 등적변형의 좋은 예를 보여주고 있다. 특수한 경우로는 노몬(gnomon)이 있다.[1]4. 기타
- 유클리드의 방법으로 피타고라스 정리를 증명할 때, 삼각형의 등적변형을 이용한다. #
- 2018년 11월 고1 전국연합학력평가 17번 문항에 삼각형의 등적변형을 이용하는 문항이 출제되었으나, 등적변형을 이용하지 않더라도 계산이 조금 돌아갈 뿐 풀 수 있었다.
- 3대 작도 불능 문제 중 하나가 원을 정사각형으로 등적변형하는 문제다.
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5. 관련항목
[1]
프로젝트 구텐베르크 The Elements of Euclid by John Casey 1885 The First Six Books -
https://www.gutenberg.org/ebooks/21076