최근 수정 시각 : 2024-11-08 00:56:11

이등변삼각형


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1. 정의2. 개념3. 이등변삼각형의 종류4. 성질5. 평면도형과의 관계
5.1. 삼각형5.2. 사각형5.3. 육각형5.4. 부채꼴
6. 입체도형과의 관계
6.1. 각뿔6.2. 원뿔
7. 둘레8. 넓이

1. 정의

isosceles triangle ・ 二 等 邊 三 角 形

초등학교 4학년 때 처음 맛보기로 배우며, 중학교 2학년 2학기 때 '삼각형의 성질' 단원에서 본격적으로 배운다.[1]

두 변의 길이가 같은 삼각형. 혹은 두 각이 같은 삼각형으로 정의해도 된다. 그렇지만 '이등변삼각형'이라는 명칭을 직접적으로 반영하는 일반적인 정의는 전자로, 후자는 보통 전자로 표현되는 정의에서 도출되는 성질로 간주된다. 물론 탈레스의 증명에 의하여 두 정의는 동치이긴 하다.

2. 개념

  • 꼭지각: 길이가 같은 두 변[2]이 이루는 각
  • 밑각: 꼭지각을 제외한 나머지 두 각
  • 밑변: 꼭지각의 대변

3. 이등변삼각형의 종류

4. 성질

  • 밑변의 수직이등분선은 꼭지각의 이등분선이며, 이등변삼각형의 대칭축으로서, 길이가 같은 양 변이 만나는 꼭짓점과 만남
  • 직각이등변삼각형은 모든 각이 항상 [math(90\degree)], [math(45\degree)], [math(45\degree)]이므로 모든 직각이등변삼각형은 [math(\rm AA)] 닮음
  • 쌍대는 닮음 관계의 자기 자신

5. 평면도형과의 관계

5.1. 삼각형

  • 이등변삼각형의 밑변의 수직이등분선을 그으면 두 개의 합동인 직각삼각형이 나온다.
  • 정삼각형은 세 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형이다.[4]
  • 모든 직각이등변삼각형은 세 각의 크기가 [math(90\degree)], [math(45\degree)], [math(45\degree)]로 같기 때문에 [math(\rm AA)] 닮음이다.

5.2. 사각형

  • 직사각형에 대각선 2개를 그으면 넓이가 같은 이등변삼각형 4개가 생긴다.[5][6]
  • 서로 합동인 이등변삼각형 2개를 밑변을 공유하도록 이어 붙이면 마름모가 된다.
  • 서로 합동인 이등변삼각형 2개를 밑변이 아닌 변[7]을 공유하도록 엇갈리게 이어 붙이면[8] 평행사변형이 된다.
  • 서로 합동인 이등변삼각형 3개를 밑변이 아닌 변[9]을 공유하도록 엇갈리게 이어 붙이면 등변사다리꼴이 만들어진다.

5.3. 육각형

  • 합동인 이등변삼각형 6개로 합동인 등변사다리꼴 2개를 만들고[10] 아랫변을 공유하도록 붙이면 육각형을 만들 수 있다.

5.4. 부채꼴

6. 입체도형과의 관계

6.1. 각뿔

  • 밑면이 정[math(n)]각형이고 옆면이 서로 합동인 경우 [math(n)]개의 이등변삼각형이 생긴다.[13][14][15]

6.2. 원뿔

  • 이등변삼각형은 회전축을 따라서 원뿔을 세로로 자른 단면이다.
  • 직각이등변삼각형의 한 변을 회전축[16]으로 하여 1회전시키면 원뿔이 된다.
  • 원뿔을 앞에서 본 모양은 이등변삼각형이다.[17]



7. 둘레

이등변삼각형의 밑변의 길이를 [math(a)], 밑변이 아닌 변[18]의 길이를 [math(b)], 둘레의 길이를 [math(l)]이라 하면
[math(l=a+2b)] [19]

8. 넓이

이등변삼각형의 밑변의 길이를 [math(a)], 밑변이 아닌 변[20]의 길이를 [math(b)], 높이를 [math(h)], 꼭지각의 크기를 [math(\theta)], 넓이를 [math(S)]라 하면
[math(S=\dfrac 12 ah=\dfrac 12 b^2 \sin \theta)] [21]
[1] 중학교 1학년 2학기 부채꼴의 호의 길이에서도 많이 쓰인다. [2] 밑변이 아닌 변이다. [3] 사실상 꼭지각만 예각이여도 모든 각이 예각이 된다.[22] [4] 이때 꼭지각과 밑각의 크기는 [math(60\degree)]로 같다. [5] 직사각형이 정사각형인 경우 넓이가 같은[23]인 직각이등변삼각형 4개로 분할된다. [6] 직사각형의 가로의 길이를 [math(a)], 세로의 길이를 [math(b)]라 하면 밑변의 길이가 [math(a)]인 이등변삼각형의 넓이는 [math(\dfrac 12 \cdot a \cdot \dfrac 12b=\dfrac 14ab)]이고, 밑변의 길이가 [math(b)]인 이등변삼각형의 넓이는 [math(\dfrac 12 \cdot b \cdot \dfrac 12a=\dfrac 14ab)]이므로 4개의 이등변삼각형의 넓이가 서로 같음을 알 수 있다. [7] 길이가 같은 두 변이다. [8] 밑변이 서로 평행하게 이어 붙인다. [9] 길이가 같은 두 변이다. [10] 만드는 방법은 위에 적혀있다. [11] 다만 부채꼴의 중심각의 크기 [math(\theta)]가 [math(180\degree \leq \theta \leq 360\degree)]인 경우 이등변삼각형이 선분이 되거나[24]부채꼴 외부에 생기기 때문에 예외이다. [12] 하지만 이등변삼각형의 밑변과 길이가 같은 현을 갖는 임의의 활꼴을 붙여놓는다고 부채꼴이 되지는 않는다. [13] 이때, [math(n)]의 범위는 [math(n \geq 3)]이다. [14] 이 정[math(n)]각뿔을 앞에서 본 모양도 이등변삼각형이다. [15] [math(n=3)]인 경우 밑면[25]까지 포함해서 [math((n+1))]개[26]의 이등변삼각형이 생긴다. [16] 이때, 회전축은 빗변이 아닌 변으로 한다. [17] 여기서 원뿔은 원의 중심으로부터 높이 [math(h)][27]만큼 떨어진 점이 원뿔의 꼭짓점인 경우의 원뿔을 말한다. [18] 길이가 같은 두 변이다. [19] 이등변삼각형이 정삼각형인 경우 [math(a=b)]이므로 둘레의 길이는 [math(3a)]이다. [20] 길이가 같은 두 변이다. [21] 이등변삼각형이 정삼각형인 경우 [math(a=b)]이므로 넓이는 [math(\dfrac {\sqrt{3}}4 a^2)] 또는 [math(\dfrac {\sqrt{3}}4 b^2)]이다.

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