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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
Théorème de Desargues / Desargues 定 理1648년에 증명된 프랑스의 기하학자 지라르 데자르그(Girard Desargues)의 정리이다.
프랑스어에서 Desargues는 '데자르그'로 읽으며 '두 사르그' 내지 '드 사르그'는 영어식 피진이다. 대한수학회에서는 '데자르그 정리'로 번역되어있다.
2. 설명
삼각형 [math(\rm ABC)], 삼각형 [math(\rm A'B'C')]을 고려하자. 직선 [math(\rm AA')], 직선 [math(\rm BB')], 직선 [math(\rm CC')]가 한 점 [math(\rm O)]에서 만날 때[1], 선분 [math(\rm BC)], 선분 [math(\rm B'C')]의 각 연장선의 교점을 [math(\rm L)], 선분 [math(\rm AC)], 선분 [math(\rm A'C')]의 각 연장선의 교점을 [math(\rm M)], 선분 [math(\rm AB)], 선분 [math(\rm A'B')]의 각 연장선의 교점을 [math(\rm N)]이라하자. 이때, 세 점 [math(\bf L)], [math(\bf M)], [math(\bf N)]은 한 직선 위에 있다.[2](위 그림에서 적색 선)
3. 증명
메넬라오스 정리를 세 번 사용하여 증명할 수 있다.[math(\rm \triangle{OAB})]와 [math(\rm \overline{NB'A'})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
| [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{AN}}{\overline{NB}} \cdot \frac{\overline{BB'}}{\overline{B'O}} \cdot \frac{\overline{OA'}}{\overline{A'A}}=1)] |
[math(\rm \triangle{OBC})]와 [math(\rm \overline{LC'B'})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
| [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{BL}}{\overline{LC}} \cdot \frac{\overline{CC'}}{\overline{C'O}} \cdot \frac{\overline{OB'}}{\overline{B'B}}=1)] |
[math(\rm \triangle{OCA})]와 [math(\rm \overline{MA'C'})]에서 메넬라오스 정리를 적용하면
| [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}\cdot\frac{\overline{AA'}}{\overline{A'O}}\cdot\frac{\overline{OC'}}{\overline{C'C}}=1)] |
위 결과를 모두 곱하여 소거하면
| [math(\displaystyle \rm \frac{\overline{AN}}{\overline{NB}}\cdot\frac{\overline{BL}}{\overline{LC}}\cdot\frac{\overline{CM}}{\overline{MA}}=1)] |
그러므로 메넬라오스 정리의 역에 의해 세 점 [math(\rm L)], [math(\rm M)], [math(\rm N)]는 한 직선 위에 있다.
4. 역의 증명
반대로, 두 삼각형이 직선에 대한 배경의 위치에 있다면, 두 삼각형은 점에 대한 배경의 위치에 있다는 것을 증명할 수 있다. 즉, 두 삼각형이 직선에 대한 배경의 위치에 있는 것과, 점에 대한 배경의 위치에 있는 것은 동치이다.역의 증명은 흥미롭게도 위에 있는 데자르그의 정리를 이용해 증명할 수 있다.
[math(\rm AA')]와 [math(\rm BB')]의 교점을 [math(\rm O)]라고 하고 [math(\rm CC'O)]가 한 직선임을 보이자.
두 삼각형 [math(\rm \triangle{MAA'})], [math(\rm \triangle{LBB'})]은 점 N에 대한 배경의 위치에 있다. 따라서 데자르그의 정리에 의해 [math(\rm AA')]와 [math(\rm BB')]의 교점 [math(\rm O)], [math(\rm MA')]와 [math(\rm LB')]의 교점 [math(\rm C')], [math(\rm AM)]와 [math(\rm BL)]의 교점 [math(\rm C)]은 한 직선 위에 있다.