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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 개요
半 直 線 / half-line, ray한 점에서, 한 쪽으로만 무한히 뻗어나가는 직선이다. 선분과의 차이점은 길이가 무한이라는 것, 직선과의 차이점은 시작점이 존재한다는 것이다. 이 때문에 AB로 표시하나 BA로 표시하나 차이가 없는 선분이나 직선과는 달리, 반직선은 AB냐 BA냐에 따라 크게 달라진다. 두 점 중 하나는 시작점을 의미하기 때문이다. 위 그림에서 위쪽 반직선은 [math(\overrightarrow {\mathrm {AB}} )], 아래쪽 반직선은 [math( \overrightarrow {\mathrm {BA}} )]로 표시하며, 시작점은 각각 A, B이다.
반직선을 수식으로 표현할 때는 x+y-1=0, x≥0처럼 직선의 방정식에서 한 변수의 범위를 (~ 이상/이하)로 제한하는 방법을 사용할 수 있다.
2. 서로 같은 반직선
시작점과 방향만 같으면 같은 반직선이다. 예를 들어 점 A, B, C가 한 직선 위에 이 순서대로 있을 때, 반직선 AB와 반직선 AC는 시작점이 A이고 방향이 동일하므로 같은 반직선이다.- 수직선상에서 어떤 점 (x)을 시작점으로 하고 a(a>x)를 지나는 반직선은 모두 서로 같다. 마찬가지로 b(b<x)를 지나는 반직선들도 모두 서로 같다. 따라서 어떤 수직선상에서의 반직선은 양의 방향과 음의 방향의 반직선으로 구분할 수 있다.
- 좌표평면에서 어떤 점 (x, y)를 시작점으로 하고 (x+ka, y+kb)(단, k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선들은 모두 서로 같다.
- 예를 들어 점 (2, 4)를 시작점으로 하고 점 (4, 6)을 지나는 반직선은 위 식에서 x=2, y=4이고 점 (4, 6)에서 k=1이라고 하면 a=b=2이다. 따라서 점 (2, 4)를 시작점으로 하고 (2+2k, 4+2k)(k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선은 모두 이 반직선과 같다.
- 원점을 시작점으로 하는 경우, (ka, kb)(k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선들은 모두 서로 같다.
- k>0인 경우의 반직선과 k<0인 경우의 반직선은 서로 같지 않다. 예를 들어 점 (2, 4)를 시작점으로 하고 점 (4, 6)을 지나는 반직선과 점 (0, 2)를 지나는 반직선은 서로 다르다.
- 좌표공간에서도 마찬가지로 적용할 수 있다. 어떤 점 (x, y, z)를 시작점으로 하고 점 (x+ka, y+kb, z+kc)(단, k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선들은 모두 서로 같다.
- 원점을 시작점으로 하는 경우, (ka, kb, kc)(k>0) 꼴로 나타내어지는 점을 지나는 반직선들은 모두 서로 같다.
3. 예시
- 좌표평면에서 x, y축의 양 또는 음의 방향을 나타내는 반직선 또는 x축의 양의 방향과 이루는 각이 [math(\theta (0<\theta<2\pi))]인 반직선. 이 반직선은 시작점이 원점이다.
- x축의 양, 음의 방향을 나타내는 반직선은 각각 원점과 단위벡터 <1, 0>, <-1, 0>로 나타낼 수 있다. 마찬가지로 y축의 양, 음의 방향을 나타내는 반직선은 각각 단위벡터 <0, 1>, <0, -1>로 나타낼 수 있다.
- x축의 양의 방향과 이루는 각이 [math(\theta)]인 반직선은 단위벡터 [math(\cos \theta)], [math(\sin \theta)]로 나타낼 수 있다.
- 좌표공간에서 x, y, z축의 양 또는 음의 방향을 나타내는 반직선. 역시 시작점이 원점이다. 좌표평면에서처럼 시작점과 각 축의 성분만을 1 또는 -1로 하고 나머지 성분은 모두 0인 단위벡터로 나타낼 수 있다.
4. 반직선의 교점
4.1. 수직선에서
- 어떤 점 (a)를 시작점으로 하는 양의 방향의 반직선과 그 점을 시작점으로 하는 음의 방향의 반직선의 교점은 (a) 하나뿐이다.
- 어떤 점 (a)를 시작점으로 하는 양의 방향의 반직선과 다른 점 (b)를 시작점으로 하는 음의 방향의 반직선의 교점은 a>b일 때 없고, a<b일 때 a≤x≤b 구간이 반직선에 포함되므로 무수히 많다.
4.2. 좌표평면, 좌표공간에서
- 어떤 점 (a, b) 또는 (a, b, c)를 시작점으로 하는 서로 다른 반직선들 중 2개 이상을 선택했을 때, 그 반직선의 교점은 어떤 반직선을 선택하든 그 점뿐이다. 또, (a, b) 또는 (a, b, c)는 그 점을 시작점으로 하는 무수히 많은 반직선들의 공통 교점이다.
- 교점이 하나뿐인 두 직선의 교점을 A라고 하고, 이 직선의 일부에 해당하는 두 반직선을 가정하자. 이때 두 반직선 모두 시작점에서 A 방향으로 향하는 반직선일 때만 교점이 존재하고, 그렇지 않으면 존재하지 않는다.
- 예를 들어 좌표평면에서 교점이 원점인 두 직선 x축, y축에 대하여 그 일부인 반직선의 시작점이 각각 (1, 0), (0, 1)일 때, 두 반직선 모두 원점으로 향하면 교점인 원점에서 수직으로 만난다. x축의 일부인 반직선 l은 원점으로 향하지만 y축의 일부인 반직선 m은 y축의 양의 방향으로 향하는 경우 원점을 지나는 반직선은 l뿐이므로 원점은 교점이 아니다.
- 두 직선이 서로 같은 경우, 이 직선을 수직선으로 놓으면 앞의 '수직선에서'에서 설명한 것과 같다.
5. 반직선의 이용
- 중학교 과정에서 각을 두 반직선이 서로 붙었을 때 꼭짓점 부분에서 생기는 공간으로 정의한다.
- 극좌표 등 각을 이용하여 정의할 수 있는 것을 정의할 때 반직선을 이용하기도 한다. 극좌표를 설명할 때는 원점에서 출발하여 x축의 양의 방향으로 향하는 반직선이 주로 쓰인다.
- 작도를 할 때 이용하기도 한다.
6. 기타
- 일직선상에 서로 다른 n개의 점이 있는 경우, 이 n개의 점 중 하나를 시작점으로 하여 만들 수 있는 반직선의 개수는 2n개이다. 점 하나를 선택한 후 일직선상의 두 방향 중 하나를 선택하는 것이기 때문에 당연한 이치.
- n개의 점 중 2개를 선택하여 반직선을 만드는 경우, 각 방향의 끝 점을 시작점으로 하고 그 방향으로 향하는 반직선 2개를 제외해야 하므로 2(n-1)개가 된다.
- 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 경우, n개의 점이 있을 때 2개의 점을 연결하여 만들 수 있는 반직선의 개수는 n(n-1)개이다. 2개의 점을 선택하는 경우의 수는 n(n-1)/2이고, 각 경우에 대하여 2가지의 반직선이 존재하기 때문.