합동(기하학)

평면기하학 Plane Geometry
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1. 개요2. 대응점, 대응변, 대응각3. 삼각형

3.1. 합동 조건3.2. 특수 조건: SSA 합동

4. 사각형의 합동5. 교과과정에서

1. 개요

合同 / Congruence

두 도형의 크기와 형태가 같을 때, 두 도형이 서로 합동이라고 한다. 닮음의 특수한 꼴이라고 볼 수 있다.

2. 대응점, 대응변, 대응각

대응점, 대응변, 대응각은 합동인 도형이나 닮음인 도형에서 찾을 수 있는 특징이다. 어떠한 두 도형이 합동이라는 것은 두 도형을 돌리거나 뒤집어서 겹치면 정확히 알맞게 겹친다는 뜻이기도 하다. 이렇게 겹쳤을 때 겹치는 점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라고 한다. 대응변끼리는 서로 비가 같고, 대응각의 크기는 각각 같다.

합동이나 닮음을 기호로 표기할 때는 도형의 기호에 따른 대응점을 순서에 맞게 쓴다. 그리고 대응변이나 대응각을 나타낼 때도 순서를 맞추어 적는 것이 권장된다. 교과과정 고시에 나타나진 않았으나 사실상의 관례이다.

위 두 도형에서 대응점은 각각 A와 D, B와 E, C와 F 이므로 순서를 맞춰서 적는다.

[math(\rm \triangle ABC \equiv \triangle DEF \ )]

[math(\rm \triangle ABC \cong \triangle DEF)]

3. 삼각형

[math(\rm \triangle ABC = \triangle DEF \ {\sf s.t.}\,~\triangle ABC \sim \triangle DEF)]

일 때 합동이다. 기호로는 다음과 같이 나타낸다.[1]

국가	한국	미국
합동	[math(\rm \triangle ABC \equiv \triangle DEF)]	[math(\rm \triangle ABC \cong \triangle DEF)]
합동x	[math(\rm \triangle ABC\ \cancel{\equiv}\ \triangle DEF)]	[math(\rm \triangle ABC \ncong \triangle DEF)]

3.1. 합동 조건

조건에 따라 축약어로 표시한다. S는 side(변)의 첫 글자, A는 angle(각)의 첫 글자이다.

두 삼각형의 세 변의 길이가 같은 경우(SSS 합동)
두 삼각형의 두 변의 길이가 같고 그 끼인각이 같은 경우(SAS 합동)
두 삼각형의 한 변의 길이가 같고 양 밑각이 같은 경우(ASA 합동)

첨언하자면 이 세 가지 경우에는 삼각형이 단 한 가지로 결정된다.[2] 즉 삼각형의 결정조건이라고 볼 수도 있다.

직각삼각형의 경우는 A를 R[3]로 고치고 R의 대변인 빗변을 H[4]로 바꾼다. 이 성질이 성립하는 이유는 직각삼각형의 경우 한 각이 반드시 [math(\angle)]R이라는 성질 덕분에 평행선 공준과 동치인 삼각형의 세 각의 합은 180도라는 명제에 의하여 한 예각이 주어지면 자연스럽게 다른 예각이 [math(90\degree -x)]로 결정되는 성질과 함께, 역시 평행선 공준의 동치명제인 피타고라스 정리에 따라 빗변과 한 변의 길이를 알면 다른 한 변의 길이가 자연스럽게 정해지기 때문.

빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같을 때 (RHA 합동, ASA 합동의 일종)[5]
빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 같을 때 (RHS 합동, SAS 합동의 일종)[6]

참고로 위 조건은 유클리드 공간, 구면 공간에만 성립한다. 일반적인 타원 공간, 쌍곡 공간에서는 합동은커녕 닮음조차도 일반적으로 성립되지 않는다.

3.2. 특수 조건: SSA 합동

SAS 합동의 조건은 "두 삼각형의 두 변의 길이가 같고 그 끼인각이 같은 경우"이다.
그러나 두 삼각형의 두 변의 길이가 같고, 그 끼인각이 아닌 다른 각이 같은 경우가 있다. 이 때는 합동이 되지 않을 수도 있으며, 만약에 합동이 되더라도 SAS 합동으로 부를 수 없다.

가령 [math(\rm \overline{BC}=\mathbf{2}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]인 경우[7] 혹은 [math(\rm \overline{BC}=\mathbf{4}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]처럼 점 B를 중심으로 하고 반지름이 [math(\rm \overline{BC})] 인 원과의 [math(\rm \overline{AC})] 의 교점이 하나인 경우는 단 하나로 결정되나, [math(\rm \overline{BC}= \mathbf{2.1}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]로 바뀐다면 두 개가 존재하며 [math(\rm \overline{BC}= \mathbf{1.9}, \overline{AB}=4, \angle{A}=30\degree)]인 삼각형은 존재하지 않는다. 아래 그림은 이를 간단히 나타낸 것으로, 점 C가 검은색 작은 점에 놓였을 때 삼각형 ABC가 어떻게 생기는지를 보여 준다. 선분 옆의 수는 그 선분의 길이를 나타낸다.

보다 일반적으로, [math(\rm \triangle ABC)]에서 [math(\rm \overline{AB}, \overline{BC}, \angle A)]가 주어졌을 때

[math(\rm \overline{BC}>\overline{AB})] 인 경우, 즉 위 그림의 초록 선분 경우처럼 각 A의 마주보는 변이 더 긴 경우
[math(\rm \overline{BC}=\overline{AB})] 이고 [math(\angle A<90 \degree)]인 경우, 즉 위 그림의 검은 선분 경우처럼 이등변삼각형의 두 변과 한 밑각이 주어지는 경우
[math(\rm \overline{BC}=\overline{AB}\sin (\angle A))] 이고 [math(\angle A<90 \degree)]인 경우, 즉 위 그림의 빨간 선분처럼 변 AB를 빗변으로 하는 직각삼각형이 만들어지는 경우

위 세 가지 조건 중 하나를 만족하면 삼각형이 유일하게 결정된다. 이를 간략히 SSA 합동 조건이라 부르기도 한다.[8]

4. 사각형의 합동

삼각형에는 SSS, SAS, ASA 등의 합동조건이 있지만, 이를 사각형으로 일반화하기는 어렵다. 가령 사각형에서는 네 변의 길이가 모두 같더라도(SSSS) 합동이 아닐 수 있다.[9] 이는 닮음도 마찬가지인데, 삼각형에는 AA 닮음 조건이 있지만 사각형에는 네 각의 크기가 모두 같더라도 닮음이 아닐 수 있다.[10]

그래서 사각형은 8개의 각과 변 중 5개를 사용한다. 종류는 합동을 기준으로 SSSAS, SASAS, ASASA 합동이 있으며, 3개 모두 두 도형에서 변과 각의 순서가 같아야 합동이 된다. 다시 말해, 변의 길이와 각의 크기만 같아서는 안 되고, 각이 어떤 변 사이에, 또는 어떤 변의 끝에 있는지까지 같아야 합동이 된다.

5. 교과과정에서

초등학교 5학년 때 처음 배우며, 중학교 1학년에서 SSS, SAS, ASA 합동조건을 배운다. 중학교 2학년에서 RHS와 RHA 합동조건을 배우고, 닮음과 연계되어 다루어진다.

대학 이상으로 가면 뜬금없이(?) 집합이나 함수에 대해 합동 여부를 판단하게 된다. 즉, 대수학에서 준동형 사상이라는 이름으로 배우게 된다. 함수나 집합 몇 개를 던져주고 이들이 닮았는지, 그리고 합동(동형 사상)인지를 직접 증명하는 문제를 낸다.[11]

해석 기하학에서 유클리드 공간에서의 합동은 등거리변환(isometry)의 상(image)으로 정의하기도 한다. 이 때 등거리변환은 평행이동, 반사(대칭)이동, 회전이동을 조합해서 만들 수 있음을 밝힐 수 있다.

[1] 이 등호 계열 기호들은 다른 분야에서 아주 많이 사용되는데, [math(\rm \equiv)]는 정수론 합동식이나 정의 기호(:= 라고도 많이 표현된다) 등으로도 사용된다. [math(\cong)]는 추상 대수학 동형 사상에서도 사용된다. [2] 다만 이는 충분조건일 뿐, 필요조건은 아니다. 아래 SSA 합동 문단 참고. [3] Right angle(직각)의 첫 글자 [4] Hypotenuse(빗변)의 첫 글자 [5] 삼각형의 내각의 합이 180도임을 이용하여 나머지 한 각의 크기를 알 수 있고 따라서 ASA 합동 조건으로 두 삼각형이 합동임을 알 수 있다. 삼각함수를 이용하여 보일 수도 있다. [6] 피타고라스 정리를 이용하면 나머지 한 변의 길이가 같음을 알 수 있고 따라서 SSS 합동 조건으로 두 삼각형이 합동임을 보일 수 있다. 다른 방법들도 존재한다. [7] 이 경우 직각삼각형이 된다. [8] 증명은 여러가지 방법이 있겠으나, 코사인법칙을 이용하여 주어지지 않은 변 [math(\rm CA)]의 길이를 구할 때 이것이 [math(\rm \overline{CA})]에 대한 이차방정식임을 이용하는 것이 제일 간편하다. 계산하고자 하는 이차방정식이 단 하나의 양의 실근을 가지면 변 [math(\rm CA)]의 길이가 유일하게 하나로 결정되므로, 각각 부호가 다른 두 실근을 가질 조건, 0과 양의 실근 하나를 가질 조건, 양수인 중근을 가질 조건을 찾으면 된다. 참고로 이 이차방정식이 허근을 가지는 경우, 또는 실근을 갖더라도 양의 실근이 아니라 0 또는 음의 실근만을 갖는 경우는 조건을 만족하는 삼각형이 그려질 수 없음을 알 수 있다. 이는 [math(\rm \overline{BC})]가 너무 짧아 주어진 반직선에 닿는 것이 불가능한 경우를 의미한다. (닿고자 하는 반직선의 반댓방향 반직선에 닿는 경우는 음수근, 아예 직선에 닿을 수조차 없는 경우 허근.) [9] 일례로 한 변의 길이가 같은 마름모와 정사각형이 있다. 이유는 정사각형이 마름모에 포함될 수 있어서이다. [10] 일례로 직사각형과 정사각형이 있다. 이유는 정사각형이 직사각형에 포함이 되어서이다. [11] 동형사상을 나타내는 기호도 합동과 동일한 [math(\cong)]이다.