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평면기하학 Plane Geometry |
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1. 도출
고1 도형의 방정식에서 배운다. 2차원 직교 좌표계에서 중심이 [math(\mathrm{C}(a,\,b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원을 생각해보자. 원 위의 한 점을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}=(x,\,y))]라 하고, 원의 중심을 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r}_{0}=(a,\,b))]이라 하자. 그렇다면 반지름의 길이의 크기를 가지며, 방향은 반지름과 같은 벡터 [math(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})]를 고려할 때[math(\displaystyle |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r )]
이 원을 기술하는 벡터 방정식이 된다. 양변을 제곱하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}|^{2}&=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \boldsymbol{\cdot} (\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}) \\&=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\\ &=r^{2} \end{aligned} )]
이 되므로 원의 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} )]
이 방정식은 아래와 같이 중심이 [math(\mathrm{C})]이고, 반지름이 [math(r)]인 원을 나타낸다.
여기서 [math(r = 1)]이고 [math(\rm C)]가 원점 [math(\rm O)]일 경우, 해당 원은 단위원이 된다.
한편, 위의 벡터 방정식을 임의의 차원으로 확장하면 초구의 방정식이 된다.
2. 일반형
위에서 도출한 원의 방정식을 표준형이라 한다. 한편, 위의 식을 모두 전개하여 나타낸 방정식을 일반형이라 하는데, 그 꼴은 아래와 같다.[math(\displaystyle x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 )]
이때, [math(A \sim C)]는 상수이다. 위 방정식에서 표준형을 유도해보자. 위의 식을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \biggl( x^{2}+Ax+ \frac{A^{2}}{4} \biggr)+\biggl( y^{2}+By+ \frac{B^{2}}{4} \biggr)=\frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4} )]
위 식을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \biggl( x+\frac{A}{2} \biggr)^{2}+\biggl( y+\frac{B}{2} \biggr)^{2}=\biggl[ \sqrt{\frac{A^{2}+B^{2}-4C}{4}} \biggr]^{2} )]
따라서 일반형 방정식은 원의 중심이
[math(\displaystyle \mathrm{C}\biggl( -\frac{A}{2},\, -\frac{B}{2} \biggr) )]
이고, 반지름이
[math(\displaystyle r=\frac{\sqrt{{A^{2}+B^{2}-4C} }}{2} )]
인 원을 나타낸다.
표준형으로 나타낸 원이 원의 형태를 직관적으로 알아내기에 훨씬 좋은데도 일반형을 사용하는 이유는 세 점의 좌표가 주어졌을 때 각각의 점을 모두 지나는 원을 구하는 것이 표준형보다 일반형이 훨씬 쉽기 때문이다. [math(x^2+y^2+Ax+By+C=0)]에 세 점의 좌표를 각각 대입한 뒤 얻어진 3개의 1차 방정식을 연립으로 풀어 [math(A)], [math(B)], [math(C)]값을 각각 구해내기만 하면 되기 때문이다. 여기에 위쪽에서 설명한 과정까지 거친다면 원의 모양도 쉽게 알아낼 수 있다.
한편 위 결과에서 이차식 [math(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0)]이 원을 나타내려면 다음을 만족해야 함 또한 추가로 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{A^{2}+B^{2}}{4}>C )]
위 조건을 만족하지 않을 시 반지름이 허수가 되어, 좌표평면 상 도형이 나타나지 않거나 반지름이 0이 되어 점으로 나타난다.
3. 양함수의 형태
원의 방정식의 일반형은 음함수 형태인데, 해석적으로 유용하게 분석하기 위해 양함수[1] 형태로 바꾸면 다음과 같다.[math(\displaystyle f(x)=\pm \sqrt{r^{2}-(x-a)^{2}}+b )]
즉, 부호가 두 개로 나오는데, 이것은 원은 하나의 양함수로 표현할 수 없고, 상반원(아래의 그림에서 '적색 반원')과 하반원(아래의 그림에서 '청색 반원')으로 나누어져 양함수로 표현된다. 아래의 그림을 참조하자.
한편, [math(r^2)]을 좌변으로 이항하고 우변에 0 대신 [math(f(x,\,y))]를 넣은 이변수 함수 꼴([math(f(x,\,y) = (x-a)^2 + (y-b)^2 - r^{2})])로 만들 수도 있는데, 이 경우 높이가 무한대인 원기둥을 나타낸다.
4. 매개변수 방정식
삼각함수가 2차원 원을 이용하여 정의되므로 2차원 원은 삼각함수를 이용하여 매개변수로 나타내면 편리하다. 삼각함수의 정의로부터, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위에 있는 임의의 점을 [math((x, \, y))]라고 하면 [math(\theta)]를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수가 있다.[math(\begin{aligned} x&=r\cos{\theta} \\ y&=r\sin{\theta} \end{aligned})]
일반적으로 중심이 [math((a,\, b))]이고, 반지름의 길이가 [math(r)]인 원 위의 임의의 점을 [math((x, \, y))]라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\begin{aligned} x&=a+r\cos\theta \\ \ y&=b+r\sin\theta \end{aligned})]
매개변수를 [math(t \equiv \tan{(\theta/ 2)})]로 놓으면
[math(\begin{aligned} \cos\theta&={1-t^2 \over 1+t^2} \\ \ \sin\theta&={2t \over 1+t^2} \end{aligned})]
이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=a+r\left( {1-t^2 \over 1+t^2} \right) \\ y&=b+r \left( {2t \over 1+t^2} \right) \end{aligned})]
5. 극좌표계
극좌표계에서는 거리와 각으로 점의 위치를 나타내므로 원점을 중심으로 하는 원은 방정식이 매우 간단하다. 원점을 중심으로 하지 않는 경우에는 코사인 법칙을 이용해 방정식을 유도한다.원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [math( r_0 )]인 원 위의 임의의 점을 극좌표로 [math((r,\, \theta))]이라 하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle r=r_0 )]
이제 아래의 그림과 같이 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식을 구하자.
위 그림과 같이 반지름의 길이가 [math(r_{0})]이고, 중심이 [math(\mathrm{C}(a,\,\phi))]인 원을 고려하자. 위 그림에서 [math(\mathrm{P})], [math(\mathrm{O})]는 각각 원 위의 한 점, 원점임을 고려하면 삼각형 [math(\mathrm{OCP})]는 코사인 법칙을 사용함으로써
[math(\displaystyle r^2-2ar\cos{(\theta-\phi)}+a^2={r_0}^2 )]
을 얻을 수 있는데, 이것이 바로 극좌표계 위에서 임의의 원점을 갖는 원에 대한 극방정식이다.
만약 원이 원점을 지난다면, [math(r_{0}=a)]가 되므로
[math(\displaystyle r^2-2ar\cos{(\theta-\phi)}=0)]
식을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle r\{r-2a\cos{(\theta-\phi)}\}=0)]
이 식이 임의의 [math(r)]에 대하여 성립하려면 괄호항이 0이 돼야 하므로 해당 원의 방정식은
[math(\displaystyle r=2a\cos{(\theta-\phi)})]
로 단순화시킬 수 있다.
6. 관련 문서
[1]
하나뿐인 변수에 하나의 함숫값이 도출되는 것.