1. 개요
리만-크리스토펠 곡률 텐서( 리만 곡률 텐서,Riemann-Christoffel curvature tensor)의 주대각합(trace) 성분으로 표현되는 리치 텐서(리치-쿠르바스트로 텐서,Ricci-Curbastro tensor)는 리만 곡률 텐서의 축약(contraction)을 보여준다. 또한 이러한 맥락(context)에서 리치 텐서(Ricci tensor)의 주대각합(trace) 텐서축약(tensor contraction)은 스칼라 곡률인 리치 스칼라 곡률(Ricci scalar curvature)을 보여준다.2. 크리스토펠 기호와 리만-크리스토펠 곡률 텐서
크리스토펠 기호 [math(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha}))] 로부터리만-크리스토펠 곡률 텐서([math(R_{132}^{4})],리만 곡률 텐서)를 대각합(trace)으로 텐서축약(tensor contraction)하여 리치 텐서를 얻을수있다.
[math( tr \left(R_{321}^{4} \right)= R_{132}^{2}=R_{13})]이므로
리치 텐서([math(R_{13})],리치-쿠르바스트로 텐서)는
리만-크리스토펠 곡률 텐서가 [math(R_{321}^{4} = \Gamma^{4}_{31, 2} - \Gamma^{4}_{21, 3} + \Gamma^{4}_{20}\Gamma^{0}_{31} - \Gamma^{4}_{30} \Gamma^{0}_{21} )] 일때 이것으로부터 4대신 2를 대입하여
[math(R_{321}^{4} = R_{321}^{2} = \Gamma^{2}_{31,2 } - \Gamma^{2}_{21, 3} + \Gamma^{2}_{20}\Gamma^{0}_{31} - \Gamma^{2}_{30} \Gamma^{0}_{21} = R_{31} =R_{13} )]
리치 텐서 [math(R_{13})]를 얻을수있다.
3. 리치 스칼라 곡률
스칼라 곡률(scalar curvature)은 리치 텐서(Ricci tensor)의 주대각합(trace) 텐서축약(tensor contraction)으로부터 조사할수있다.| 리만곡률텐서 1 | 리만곡률텐서 2 | 리치텐서 | 스칼라 곡률1 | 스칼라 곡률2 |
| [math(R_{4321} )] | [math( g^{42} R_{4321}= R_{321}^{2})] | [math(R_{31} )] | [math( R^{3}_{3} )] | [math(R)] |
[math( g^{31} R_{31} = R^{3}_{3}=R )]
4. 리만-리치 항등식
1901년 리치(Ricci, M.M.G.)와 레비-치비타(T., Levi-Civita)의 공저 <절대미분 계산의 방법과 그 응용>(직역)에서 리치(-레비-치비타) 텐서를 제안할때 리치-레비-치비타 항등식(제1 비앙키 항등식)을 사용하였다.[다][math( C_{rst}+C_{str} + C_{trs} = 0 )]
1902년 루이지 비앙키(Luigi Bianchi)가 비앙키 항등식을 제안할때 리만기호(Riemann symbol)인 리만-크리스토펠 곡률 텐서를 사용한 리만-리치 항등식(Riemann identities)을 도입하였다.[가]
[math( (rk,ih) = \dfrac{\partial }{\partial x_h} \begin{bmatrix} ri \\ k \end{bmatrix} - \dfrac{\partial }{\partial x_i} \begin{bmatrix} rh \\ k \end{bmatrix} + \displaystyle\sum_{\lambda,\mu}^{1...n} A_{\lambda \mu} \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} rh \\ \lambda \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} ik \\ \mu \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} ri \\ \lambda \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} hk \\ \mu \end{bmatrix} \end{Bmatrix} )]
리만-크리스토펠 곡률 텐서의 주요한 성질을 보여주는 리만 항등식들
- [math( (rk,ih) = (ih,rk) )]
- [math( -(rk,ih) = (kr,ih) )]
- [math( (rk,ih) + (ri,hk) + (rh,ki) = 0 )]
이들 같은 항등식인 리치(-레비-치비타)항등식과 리만-리치 항등식은 현대 리만 기하학에서 관례로 비앙키 항등식들중 제1 비앙키 항등식으로 통용되고 있다.
4.1. 아인슈타인 텐서 행렬
크리스토펠 심볼(Christoffel symbol)을 사용한 계량텐서함수로 계산되는 리치텐서 행렬은 스칼라곡률을 제공하며 이렇게 얻은 리치텐서와 리치스칼라곡률(Ricci scalar curvature)로부터 최종적으로 아인슈타인 텐서를 얻을수있다. 영국의 천문학자 아서 스탠리 에딩턴(Arthur Stanley Eddington, FRS)교수가 1923년에 제안한 리치텐서의 크리스토펠 행렬 예시. [나][라]38.5
[math(\Gamma^{1}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \dfrac{1}{2}\lambda' \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && -r e^{-\lambda} \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -r sin^2 \theta e^{-\lambda} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \dfrac{1}{2}e^{v-\lambda}v' \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{1}_{11} =\dfrac{1}{2}\lambda' , \Gamma^{1}_{22}= -r e^{-\lambda}, \Gamma^{1}_{33} = -r sin^2 \theta e^{-\lambda} , \Gamma^{1}_{44}=\dfrac{1}{2}e^{v-\lambda}v' )]
[math(\Gamma^{2}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -\sin \theta \cos \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{2}_{12}= \Gamma^{2}_{21}= \dfrac{1}{r} , \Gamma^{2}_{33} = -\sin \theta \cos \theta)]
[math(\Gamma^{3}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{r} \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{3}_{13}=\Gamma^{3}_{31}= \dfrac{1}{r} ,\Gamma^{3}_{23}=\Gamma^{3}_{32}= \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta )]
[math(\Gamma^{4}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \dfrac{1}{2}v' \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{2}v' \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{4}_{14} = \Gamma^{4}_{41} = \dfrac{1}{2}v' )][math( \Gamma^{1}_{11} =\dfrac{1}{2}\lambda' , \Gamma^{1}_{22}= -r e^{-\lambda}, \Gamma^{1}_{33} = -r sin^2 \theta e^{-\lambda} , \Gamma^{1}_{44}=\dfrac{1}{2}e^{v-\lambda}v' )]
[math(\Gamma^{2}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -\sin \theta \cos \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{2}_{12}= \Gamma^{2}_{21}= \dfrac{1}{r} , \Gamma^{2}_{33} = -\sin \theta \cos \theta)]
[math(\Gamma^{3}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && \dfrac{1}{r} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{r} \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
[math( \Gamma^{3}_{13}=\Gamma^{3}_{31}= \dfrac{1}{r} ,\Gamma^{3}_{23}=\Gamma^{3}_{32}= \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta )]
[math(\Gamma^{4}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \dfrac{1}{2}v' \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ \dfrac{1}{2}v' \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) )]
4.2. 메트릭 텐서 행렬
1921년 옙센 정리(Jebsen theorem)[바] 그리고 1921년과1923년 아서 스탠리 에딩턴(A. S. Eddington)이 제안한 에딩턴 방법(Eddington method)[라]에 따른 메트릭(계량) 텐서와 크리스토펠심볼 행렬[math(ds^2 = g_{11}dr^2 + g_{22}d\theta^2 + g_{33}d\phi^2 + g_{44}dt^2 )]
[math(ds^2 = -\lambda dr^2 -r^2 d\theta^2 -r^2 \sin^2\theta d\phi^2 + v dt^2 )]로부터
[math( g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -r^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 \sin^2\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & v \end{pmatrix} )]
[math(\{ \mu\nu,\alpha\} = \dfrac{1}{2}g^{\sigma \alpha} \left( \dfrac{\partial g_{\mu\sigma}}{\partial x_{ \nu}} + \dfrac{\partial g_{\sigma\nu}}{\partial x_{\mu}} - \dfrac{\partial g_{\nu\mu}}{\partial x_{\sigma}} \right) )]이다. 그리고 [math( g^{\square^1 \square^2} , \square^1 \neq \square^2 = 0 )] 이므로
[math(\{ \mu\mu,\mu \} = \dfrac{1}{2}g^{\mu\mu} \dfrac{\partial g_{\mu\mu}}{\partial x_{\mu}} , \{ \mu\mu,\nu \} = -\dfrac{1}{2}g^{\nu\nu} \dfrac{\partial g_{\mu\mu}}{\partial x_{\nu}} ,\{ \mu\nu,\nu \} = \dfrac{1}{2}g^{\nu\nu} \dfrac{\partial g_{\nu\nu}}{\partial x_{\mu}} , \{ \mu\nu,\sigma \} = 0)]
따라서
[math(\{ 11,1 \} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\lambda} \lambda' = \Gamma^{1}_{11})]
[math(\{ 22,1 \} = -\dfrac{1}{2} 2r\lambda^{-1} = \Gamma^{1}_{22})]
[math(\{ 33,1 \} = -\dfrac{1}{2} 2r\sin^2\theta\lambda^{-1} = \Gamma^{1}_{33})]
[math(\{ 44,1 \} = \dfrac{1}{2} v'\lambda^{-1} = \Gamma^{1}_{44})]
[math(\{ 12,2 \} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^2}2r = \dfrac{1}{r}=\Gamma^{2}_{12}= \Gamma^{2}_{21})]
[math(\{ 13,3 \} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^2 \sin^2 \theta}2r\sin^2 \theta = \dfrac{1}{r}=\Gamma^{3}_{13}= \Gamma^{3}_{31})]
[math(\{ 14,4 \} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{v}v' = \Gamma^{4}_{14}= \Gamma^{4}_{41})]
[math(\{ 23,3 \} = \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^2 \sin^2 \theta} r^2 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta = \Gamma^{3}_{23} )]
[math(\{ 33,2 \} = - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{r^2} r^2 2\sin\theta\cos\theta = -\sin\theta\cos\theta = \Gamma^{2}_{33} )]
4.3. 아인슈타인 텐서 계산
크리스토펠 심볼 행렬로부터 옙센-버크호프 정리와 1923년의 에딩턴 방법(Eddington method) 그리고 엘리 카르탄(Elie Cartan)의 비앙키 항등식 표현을 도입하고 [math( R_{mm} =\displaystyle\sum_{I}^{k,l,m,n} A^{ml} \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} k \\ mm \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l \\ l k \end{bmatrix} \end{Bmatrix} )]을 따르는[math( R_{11} = - \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{11} - \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{2}_{21}- \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{3}_{31}-\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{4}_{41} )]
[math( R_{22} = + \Gamma^{1}_{22} \Gamma^{1}_{11}+\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{21} - \Gamma^{1}_{22}\Gamma^{3}_{31} - \Gamma^{1}_{22}\Gamma^{4}_{41} )]
[math( R_{33} = + \Gamma^{1}_{33}\Gamma^{1}_{11} -\Gamma^{1}_{33}\Gamma^{2}_{21} -\Gamma^{1}_{33}\Gamma^{3}_{31} - \Gamma^{1}_{33}\Gamma^{4}_{41} )]
[math( R_{44} = +\Gamma^{1}_{44}\Gamma^{1}_{11}-\Gamma^{1}_{44}\Gamma^{2}_{21} -\Gamma^{1}_{44}\Gamma^{3}_{31} +\Gamma^{1}_{44}\Gamma^{4}_{41} )]
을 조사할 수 있다. 이를 가정하고 곡률변위를 [math( \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} n \\ nk \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} n \\ nk \end{bmatrix} \right)^{\square} \end{Bmatrix} )]와 [math( \left( \begin{bmatrix} n \\ nk \end{bmatrix} \right)^{\square} = \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} n \\ nk \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} k \\ nn \end{bmatrix},\begin{bmatrix} n \\ nk \end{bmatrix},\begin{bmatrix} k \\ nn \end{bmatrix} \end{Bmatrix} )] 로 다루어보면
[math( R_{11} = \cancel{-\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{11}} {\color{red}-\Gamma^{4}_{41}\Gamma^{4}_{41}} - \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{2}_{21}- \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{3}_{31}-\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{4}_{41} {\color{red}+\Gamma^{4}_{41}} )]
[math( R_{22} = + \Gamma^{1}_{22} \Gamma^{1}_{11} \cancel{+\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{21}}{\color{red}+\Gamma^{2}_{33}\Gamma^{3}_{32}} - \Gamma^{1}_{22}\Gamma^{3}_{31} - \Gamma^{1}_{22}\Gamma^{4}_{41} )]
[math( R_{33} = + \Gamma^{1}_{33}\Gamma^{1}_{11} -\Gamma^{1}_{33}\Gamma^{2}_{21} \cancel{-\Gamma^{1}_{33}\Gamma^{3}_{31}} {\color{red}-\Gamma^{2}_{33}\Gamma^{2}_{33}} - \Gamma^{1}_{33}\Gamma^{4}_{41} )]
[math( R_{44} = +\Gamma^{1}_{44}\Gamma^{1}_{11}-\Gamma^{1}_{44}\Gamma^{2}_{21} -\Gamma^{1}_{44}\Gamma^{3}_{31} \cancel{+\Gamma^{1}_{44}\Gamma^{4}_{41}} {\color{red}+\Gamma^{4}_{14}\Gamma^{1}_{44}} {\color{red}-\Gamma^{1}_{44}} )]
[math(cos(0)=1)]로 계산해서 일반적으로 잘 알려진 아인슈타인 장 방정식의 리치 텐서를 얻을수있다.[마][8]5.9 [라]38.5
[math( R_{11} = \dfrac{1}{2} v' -\dfrac{1}{4}\lambda ' v' -\dfrac{1}{4} v'' - \dfrac{\lambda '}{r} )] [라]38.61
[math( R_{22} = e^{-\lambda} \left( 1 + \dfrac{1}{2}r(v' - \lambda') \right) -1 )][라]38.62
[math( R_{33} = sin^{2}\theta e^{-\lambda} \left( 1 + \dfrac{1}{2}r(v' - \lambda') \right) -sin^{2}\theta )][라]38.63
[math( R_{44} = e^{v -\lambda }\left( -\dfrac{1}{2} v' +\dfrac{1}{4}\lambda ' v' +\dfrac{1}{4} v'' - \dfrac{v'}{r} \right) )][라]38.64
5. 관련 문서
[다]
\[직역\]절대미분 계산의 방법과 그 응용 Ricci, M.M.G., and T., Levi-Civita. "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications." Mathematische Annalen 54 (1901): 125-201.
http://eudml.org/doc/157997 P142 Chapitre I §6,P183 Chapitre V §2
[가]
Rendiconti by Accademia nazionale dei Lincei. Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali Language Italian Volume ser.5:v.11:sem.1 (1902) Matematica - Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann. Nota del Socio Luigi Bianchi P3-7
https://archive.org/details/rendiconti51111902acca/page/n9/mode/2up
[나]
아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) Royal Prussian Academy of Science (Reimer, Berlin 1916, pp. 189-196) 저자: 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)
#
[라]
THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. ,PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923
#
[바]
Jebsen, J. T. ,Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum. (German) JFM 48.1037.02 , Ark. för Mat., Astron. och Fys. 15, No. 18, 9 p. (1921).
#
[라]
[마]
J. T. Jebsen,(English)On the general spherically symmetric solutions of Einstein’s gravitational equations in vacuo(Über die allgemeinen kugelsymmetrischen Lösungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen im Vakuum 1921), Published online: 22 November 2005 Springer-Verlag ,Gen. Relativ. Gravit. (2005) 37(12): 2253–2259 DOI 10.1007/s10714-005-0168-y
[8]
Birkhoff ’s theorem in general relativity ,Willem van Oosterhout 2019 ,§ 5.3 Calculating the Einstein equatio P24
#
[라]
[라]
[라]
[라]
[라]