|
수학기초론 Foundations of Mathematics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{ 귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{ 증명보조기 · 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문( 조각적 정의) · 명제 논리( 명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리( 존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합( 원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계( 동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍( 튜플) · 서수( 하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC( 선택공리) · 기수( 초한기수) · 절대적 무한 · 모임 | ||
| 범주론 | 범주 · 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 완전성 정리 · 불완전성 정리( 괴델 부호화) · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항( 약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
1. 개요
명제( 命 題, proposition)란, 참이거나 거짓인, 즉 진릿값을 갖는 것을 말한다. 전통 논리학, 또는 정언 논리에서는 개념을 언어화해 나타내는 ' 명사'(term)라는 요소가 명제를 이룬다고 설명되고, 명제 논리와 같은 현대의 논리학에서는 이 명제 자체를 논증의 기본 단위로 취급한다.중학교 수학 및 고등학교 수학에서 소개되는 내용과 논리학, 수리논리학, 언어철학에서의 정의가 각각 조금씩 다르므로 따로 나누어 소개한다.
2. 수학교육에서의 명제
가치판단이 개입될 수 없는, 누구라도 참인지 거짓인지를 분명하게 판단을 할 수 있는 문장이나 식을 말한다. 따라서 명제인 문장만이 OX퀴즈에 들어갈 수 있다.예를 들자면,
- 서울은 대한민국의 수도이다. (참인 명제)
- 대한민국 영토의 최남단은 마라도이다. (참인 명제)
- 공룡과 암모나이트는 중생대의 생물이다. (참인 명제)
- 그랜드 캐니언은 중국에 있다. (거짓인 명제)[1]
- 이화여대는 전주에 있다. (거짓인 명제)[2]
- 플루오린의 원자 번호는 17번이다. (거짓인 명제)[3]
고등학교 수학의 객관식 시험에서는 아래와 같이 '명제가 아닌 것을 고르시오'라는 문제에 거짓인 명제를 선지로 제시해서 학생들을 낚기도 한다. 어설프게 공부한 학생들은 '어 틀렸는데?' 하고 바로 찍어버리고는 틀려버린다.
문제: 다음 중 명제가 아닌 것은?[답]
① 손흥민은 축구선수이다.
② 에버랜드는 용인시에 있다.
③ 곤충의 다리는 8개이다.
④ TWICE는 9명이다.
⑤ 고양이는 귀엽게 생겼다.
① 손흥민은 축구선수이다.
② 에버랜드는 용인시에 있다.
③ 곤충의 다리는 8개이다.
④ TWICE는 9명이다.
⑤ 고양이는 귀엽게 생겼다.
한편 명제가 아닌 즉 참과 거짓을 구분할 수 없는 문장의 대표적인 예는 변수를 포함하는 식이나 문장에서 지정해주는 조건([math(x>3)] 등)이 없으면 참, 거짓을 알 수 없는 명제나[5] '미나는 예쁜 아이다'처럼 대답하는 사람에 따라서 참거짓이 달라질 수 있는 문장, 아니면 '민서는 공부를 잘 한다' 등 애초에 참과 거짓의 명확한 기준이 없는 문장[6], 혹은 아잉♡ 등 감탄사
다항식, 유리식, 무리식, 방정식, 함수, 미지수를 포함한 부등식 등도 명제가 아니며, 애초에 참, 거짓을 따지려는 수식 자체가 아닌 경우도 전부 명제가 아니다. 항등식은 명제가 맞다.
2.1. 위 규정의 한계
명제를 "누구라도 참인지 거짓인지 (일치된) 판단을 할 수 있는 문장"이라고 정의하는 경우, 그 정의를 엄밀하게 따질 때 촉발되는 문제점들의 대표적인 예시는 다음과 같다.- 명제는 문장과는 다른 것 같다.
- 예. "[math(2+2=4)]", "이 더하기 이는 사와 같다", "Two plus two equals four"는 각기 다른 문장이다. 그럼에도 이들은 수학에서의 어떤 공통된 참을 말하는 것 같다. 하지만 명제가 곧 문장이라면, 이들 셋은 서로 전혀 상관이 없는 다른 '명제'가 된다. 하지만 이처럼 이 셋이 아무런 상관이 없다는 귀결은 직관적으로 부당하다.[9]
- 인류가 아직 참인지 거짓인지 모르는 문장이 있다. 이런 문장이 나타내는 바에 대해선 "일치된 판단"을 할 수 없다.
- 예. "4 이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다."는 문장은 참이거나 거짓이다. 하지만 그 어떤 사람도 아직 그 정답을 모르므로, 일치된 판단을 할 수 있을리가 만무하다. 그럼에도 불구하고 해당 문장은 참이든지 거짓이든지 둘 중 하나임은 자명하므로 어떤 명제를 표현하는 것으로 분류해야 하는 것 같다.
- 참인지 거짓인지 일치된 판단을 내리는 게 원리적으로 불가능한 문장이 있다.
- 예. "자연수의 집합보다 농도가 크고 실수의 집합보다 농도가 작은 집합은 존재하지 않는다."는 문장은 참이라 가정했을 때 모순이 없음이 쿠르트 괴델에 의해 1940년에 증명되었고 거짓이라 가정했을 때 모순이 없음이 폴 코언에 의해 1963년에 증명되었다. 현 수학 체계에서 해당 문장이 참인지 거짓인지 판단하는 것은 원리적으로 불가능하지만, 해당 문장은 오직 엄밀하게 정의된 집합론의 용어들로만 구성되었으며 명시적인 의미를 띠는 것 같다.
2.2. 조건문의 역, 이, 대우
수학(교과)의 '명제' 단원에서 단골로 나오고 하는 주제는 명제의 한 종류인 조건문, 즉 'If P, then Q'라는 문형을 띠는 명제를 '뒤집는' 문제다. 이때 조건문을 뒤집는 방법은 3가지가 있으며, 그 명칭은 각각 역(逆, Converse), 이(裏, Inverse), 그리고 대우(對偶, Contrapositive)다.자세한 내용은 '조건문' 항목의 '역, 이, 대우' 문단으로.
3. '명제'에 대한 철학적 정의
현대 언어철학이나 수리논리학에서 '명제'라는 개념이 수행하는 역할, 혹은 "[math(x)]는 명제다"의 필요조건으로 꼽히는 대표적인 조건들은 다음과 같다.- "[math(\boldsymbol x)]는 어떤 문장의 의미다": 즉 어떤 언어의 문장의 의미가 될 수 없는 것은 명제가 아니다.
- 예. '이 더하기 이는 사와 같다'는 한국어의 문장이므로, '이 더하기 이는 사와 같다'의 의미는 명제가 될 수 있다. 반면 숫자 '2'는 문장이 아니므로, '2'가 나타내는 의미인 ( ZFC에 따르면) [math(\{\emptyset, \{\emptyset\}\})]는 명제가 될 수 없다.[10]
- "[math(\boldsymbol x)]는 진리치를 갖는 것이다": 참이거나 거짓이라는 속성을 가져야만 명제다.[11]
- 예. 1차 술어 논리의 식인 '[math(\forall x (Px \vee \neg Px))]'이 표현하는 바는 참이므로, 곧 명제가 될 수 있다. 반면 우리 집 강아지 바둑이는 '털이 있다', '귀엽다' 같은 속성은 가질지 몰라도 ' 참', ' 거짓' 같은 속성은 가지지 않으므로 명제가 될 수 없다.
- "[math(\boldsymbol x)]는 명제 태도의 대상이다": '[math(s)]는 [math(p)]라고 믿는다', '[math(s)]는 [math(p)]를 바란다' 같은 문장에서 '[math(p)]'가 가리키는 것이 명제다.
3.1. 비구조화된 명제
명제가 "x가 구조화됐다(structured)"는 말의 기준에 대해선 논란이 있지만, 그 기본적인 발상은 'x의 부분들이 일정한 순서/구조를 띤다'라고 할 수 있다. 단적으로 문법을 갖는 문장은 구조화된 것의 사례인 반면, ( 순서쌍 등이 아닌) 순수 집합은 구조화되지 않은 것의 사례로 분류된다.명제가 비구조화되었다고 보는 대표적인 시각은 명제를 가능세계의 집합으로 보는 견해다. 구체적으로는 다음과 같다.
- p는 문장 S가 나타내는 명제다
즉 명제를 비구조화된 것으로 보는 대표적인 입장은 명제를 곧 집합 혹은 내포라고 보는 것이다. 하지만 이런 견해의 대표적인 약점은 필연적으로 참인 모든 명제들이 동일한 명제가 되는 부적합한 귀결이 도출된다는 것이다. 그 사례는 다음과 같다.
i. 문장 "2+2=4"와 "모든 총각은 남자다"는 모두 필연적으로 참이다.
i. " 가능세계"의 정의에 따르면 두 문장은 모든 가능세계에서 참이다.
i. "내포"의 정의에 따르면 이 두 문장의 내포는 같다.
i. 문장의 내포는 그것의 명제와 같다.
i. 따라서 "2+2=4"와 "모든 총각은 남자다"는 위 견해에 따르면 같은 명제를 표현하는 것이다.
i. ( 귀류법적 결론) 곧 '명제'의 조건에 따르면 "2+2=4"와 "모든 총각은 남자다"는 나타내는 의미가 같다. 하지만 이는 거짓이다. 따라서 전제 iv를 기각해야만 한다.
i. " 가능세계"의 정의에 따르면 두 문장은 모든 가능세계에서 참이다.
i. "내포"의 정의에 따르면 이 두 문장의 내포는 같다.
i. 문장의 내포는 그것의 명제와 같다.
i. 따라서 "2+2=4"와 "모든 총각은 남자다"는 위 견해에 따르면 같은 명제를 표현하는 것이다.
i. ( 귀류법적 결론) 곧 '명제'의 조건에 따르면 "2+2=4"와 "모든 총각은 남자다"는 나타내는 의미가 같다. 하지만 이는 거짓이다. 따라서 전제 iv를 기각해야만 한다.
비구조화된 명제를 지지했으며, 위와 같은 문제를 보완하고자 노력했던 대표적인 철학자로 데이비드 루이스가 있다.
3.2. 구조화된 명제
위 정의에 따라 "명제가 구조화됐다"는 말은 곧 '명제의 각 부분들이 체계적 순서/구조를 이룬다'는 것으로 이해할 수 있다. 주로 문장의 문법적 구조와 문장들의 배열 순서가 그 문장이 표현하는 명제의 구조에도 어느 정도 반영된다고 보는 경우가 일반적이다. 정언삼단논법중 격과식의 타당성 해석이 그 예이다.3.2.1. 프레게주의 명제
명제에 대한 "프레게주의"는 고틀로프 프레게의 언어철학에서 유래한 입장을 가리킨다. 프레게의 언어철학에서 핵심적인 면모는 언어 표현의 뜻(Sinn)과 지시체(Bedeutung)를 구분하는 것이다. 예를 들어 " 샛별"과 " 개밥바라기"는 뜻은 다르지만 지시체는 같다.명사 뿐만이 아니라 문장 역시 마찬가지다. 문장의 지시체는 진리치, 즉 참과 거짓 둘밖에 없다. 즉 "1+1=2"나 "물은 H2O다"나 둘 다 지시체는 같다. 반면 문장의 뜻은 다양할 수 있다. 프레게주의에서 "명제"란 바로 이 문장의 뜻을 말한다.[12] 이를 수학적으로 보면 지시체는 해이고, 뜻은 방정식이며 명제는 함수로 볼 수 있다. 가령 철수는 바보다라는 명제는 '철수는 바보다.'라는 뜻에 따라 참/거짓 중 하나의 해가 나오는 함수라는 얘기다.[13]
여기서 프레게의 논리는 기존에 주어-술어 논리를 확립하고 주어가 실재하는 대상이라고 주장했던 아리스토텔레스의 주장과 상충한다. 아리스토텔레스는 주어를 실재, 술어를 그 특성으로 보았지만 프레게는 주어가 단순한 미지수일 뿐이고 문장은 그에 대응하는 함수라고 말한 것이다.[14] 여기서 나오는 말이 바로 무의미(nonsense)인데, 만약 '철수는 나쁘다.'나 '프랑스 왕은 키가 크다.'와 같이 x가 실재하지 않거나 참/거짓의 해가 나올 수 없는 경우 명제가 아니다. 이런 논의는 후에 루트비히 비트겐슈타인에게 이어진다.[15]
한편 프레게는 명제란 마음 속의 관념 같은게 결코 아니라고 주장한다. 명제가 만약 각 화자의 마음 속에 있는 것일 뿐이라면(예. "나의 피타고라스 정리", "너의 피타고라스 정리"), 하나의 명제를 복수의 사람이 가질 수 없으므로, 어떤 명제(예. 피타고라스 정리)의 진위여부에 대한 학문적 논쟁은 불가능해지기 때문이다. 즉 명제는 외부의 물질적 세계도, 내부의 심리적 세계도 아닌 제3의 세계(Drei Welten)에 속하는 것이다.
이런 프레게주의 명제관에 대한 비판은 매우 다양하지만, 프레게 자신 또한 인정했던 대표적인 문제점 중 하나는 명제가 곧 플라톤의 이데아 같은 것이랑 매한가지가 된다는 점이다. 물리적 세계를 초월한 그런 영원하며 추상적인 명제라는게 과연 있는가? 설령 있다한들, 물리적인 제약을 받는 인간이 어떻게 그런 것을 인식할 수 있겠는가? 따라서 이런 형이상학적 부담을 어떻게든 약화시켜야만 하는 것이 이후 '프레게주의' 명제 옹호자들의 과제 가운데 하나다.
3.2.1.1. 관련 문서
3.2.2. 러셀주의 명제
현대에 보통 "러셀주의 명제"란 버트런드 러셀이 1903년에 출판한 『수학의 원리(The Principles of Mathematics)』[16]에서 제시한 초기 입장을 한정하여 가리킨다. 명제에 대한 러셀의 입장은 고틀로프 프레게, 알렉시우스 마이농, 루트비히 비트겐슈타인 등과의 교류를 통해 지속적으로 조금씩 변했기 때문이다.러셀은 프레게가 제안하는 '뜻'을 부정한다. 따라서 "러셀주의"에 따르면 문장의 의미인 명제란 곧 그 문장의 지시체일 뿐이며, 그 명제의 구성 요소 또한 문장을 구성하는 단어의 지시체다. 예를 들어 만년설에 덮인 몽블랑 산은 한국어 문장 " 몽블랑은 산이다"가 나타내는 명제를 실제로 구성하는 요소 가운데 하나다. 고유명사 "몽블랑"의 지시체가 바로 몽블랑 산이기 때문이다. 즉 러셀주의에서는 프레게의 '뜻' 같은 게 개입할 여지가 없다.
이런 러셀의 초기 입장은 여러가지 약점들이 있는데, 대표적인 사례가 '빈 이름' 문제다. 예를 들어 위 분석에 따르면 문장 "햄릿은 왕자다"가 가리키는 명제는 햄릿을 구성요소로 가져야만 한다. 하지만 햄릿은 셰익스피어가 지어낸 가상의 인물이므로 존재하지 않는다. 즉 존재하지 않는 햄릿을 구성요소로 갖는 명제는 있을 수 없으므로, 곧 문장 "햄릿은 왕자다"이 가리키는 명제는 없다는 귀결이 도출된다. 하지만 이런 귀결은 명백히 부당하다. 한편 프레게는 덴마크의 왕자인 햄릿과는 별개로 "햄릿"의 뜻을 상정하기에 이런 문제를 전혀 겪지 않는다.
이런 문제를 막기 위하여 러셀은 이후 기술 이론(theory of description) 등을 고안하여 자신의 입장을 수정했다. 이 이론에서 러셀은 명사를 기술구라 표현하며 명사가 어떤 기술의 축약이라고 주장했다. 예를 들어 진화론이란 명사는 '생물은 진화하고, 그 기작은 자연선택과 유전적 부동이며, 이에 따르는 집단유전학은 어쩌고 저쩌고...'라는 기술의 축약이라는 뜻이다.[17]
하지만 러셀이 사망한 1970년대 이후로 솔 크립키, 데이빗 카플란 등 여러 언어철학자들은 러셀과는 전혀 다른 이론적 동기 때문에 다시금 이전의 "러셀주의 명제"를 옹호하기 시작했다. 이로써 반세기 넘게 잊혀졌던 "러셀주의 명제"는 20세기 후반에 화려하게 부활하여 현재까지도 언어철학에 큰 영향력을 갖는다.
3.2.2.1. 관련 문서
[1]
미국에 있다.
[2]
서울에 있다.
[3]
플루오린의 원자 번호는 9번이고, 원자 번호가 17번인 원소는 염소이다.
[답]
5번 선지가 명제가 아니다. 어떤 게 귀여운 것이고 어떤 게 귀엽지 않은 것인지에 대한 일치된 기준이 있을 수 없기 때문. 하지만 어설프게 공부한 고등학생들은 틀린 명제인 3번을 "어 틀렸는데?" 라면서 찍어버리고는 이 문제를 틀려버린다.
[5]
이런 건 '명제함수'나 '조건명제', 더 줄여서 '
조건문'이라고 부르는데,
햄과
햄스터가 별 관련 없는 것처럼 이름에 '명제'가 들어갔다고 해서
이들이 명제인 건 아니다. 낚이지 말자. 명제는 누구라도 참거짓을 정확히, 똑같이 판단할 수 있어야 한다.
[6]
위 문제의 5번 선지 같은 경우
[7]
man이라는 명사를 인간으로 보느냐 남자로 보느냐에 따라서 진위값이 달라짐. 물론 실제로는 문맥에 따라서 진위값이 결정되겠지만, 이렇게 앞뒤 다 잘라먹으면 판단이 불가능하다.
[8]
이러면 1+1=2가 왜 참이냐는 식으로도 반문할 수 있는데, 이런 경우는 수학에서 '
공리'라고 한다. 처음에 규칙을 그렇게 정해놨으니까
그건 따지지 말고 넘어가자는 것.
유클리드는 대수학의 5대 공리와
기하학의 5대 공준, 그리고 23개의 용어의
정의를 제시했지만 현대 수학에서는 그런 건 안 따지는 분위기다. 유클리드의 제5 공준이 현대 기하학에서
개박살나서 생겨난 비유클리드 기하학이 곧
상대성 이론의 틀이 된 것도 있고, 그 23개 정의나 5대 공리, 공준이 현대 수학의 관점에선 엉성하기도 하고. 일단 현대 수학에서는 새로운 분야를 개척할 때 그 분야의 공리 체계부터 먼저 깔아두고 시작해야 한다. 물론 1+1=2조차도 제대로 증명을 하려 든 수학자들도 있다(…). 그게 바로
화이트헤드와
버트런드 러셀의 <수학 원리>에 나오는 내용.
수학 귀신에 나와서 유명해졌다. 좀 더 쉽게말해서 본인이 각각의 숫자와 기호에 의미를 그대로 받아들인다면 1+1=2라는 결론이 나온다. 그래도 마음에 안든다면 꿈에서
1+1=3 을 만들려고 노력해보자. 될 리가 없다.1+1=3?! 1+1=3은
현실에서도 불가능하잖아사실 자연수 집합을 홀수 집합으로 정의하면 가능하다. 홀수 집합은 페아노 공리계를 만족하고 덧셈의 정의에 따라 1+1은 1의 다음수인 3이 된다.
[9]
다만
수학철학에서 형식주의자들은 이와 같은 귀결을 받아들이는 것으로 해석된다.
[10]
엄밀히 말하자면 본 예시에서 [math(\{\emptyset, \{\emptyset\}\})]가 어떤 문장의 의미도 될 수 없다는 추가적 조건 또한 만족되어야만 한다.
[11]
다만 이는 이가원리(principle of bivalence)를 받아들이는 논리에서만 인정한다. 3가 이상의 논리에서는 참, 거짓 이외에 다른 진리치를 가질 수도 있다.
[12]
프레게 자신은 1918-1919년에 발표한 논문 ""Der Gedanke. Eine logische Untersuchung""에서 "명제(Proposition)"이라는 말 대신 "Gedanke"라는 표현을 썼다. 이는
한국어로 "사상", "사고", "피사유체" 등 다양하게 번역되지만 안타깝게도 전혀 확립된 번역어는 없다. 영어에선 보통 프레게 저작을 번역할 때 "Thought"이라고 번역한다.
[13]
여기서 보통 '철수는 바보다.'는 'x는 바보다.'라는 함수에 '철수'라는 미지수를 넣은 것으로 표현된다.
[14]
박병철, '쉽게 읽는 언어철학,서광사,2009,pp56-56
[15]
박병철,'쉽게 읽는 언어철학,서광사,2009,p126
[16]
화이트헤드와 공저하여
1910년에 출판된 『수학 원리(Principia Mathematica)』와 다른 책이다!
[17]
박병철,'쉽게 읽는 언어철학,서광사,2009,pp102-103