최근 수정 시각 : 2022-08-04 04:50:11

무한소수

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1. 개요2. 순환소수
2.1. 순환소수의 분수화
3. 비순환소수4. 기타

1. 개요


무한소수는 소수점[1] 아래의 0 이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수를 의미하며, 크게 순환소수와 비순환소수로 나뉜다. 유한소수와 달리 소수점 아래의 자리가 끝없이 이어지는 소수를 말한다. 유명한 예로는 원주율(=3.141592...)이 있다. 일정한 지점 이후에서 숫자가 반복되느냐에 따라 순환소수( 유리수)와 비순환소수( 무리수)로 나뉘며, 비순환소수는 다시 대수적 무리수와 초월수로 나뉜다. 순환소수는 무한소수 중에서도 순환하는 무한소수다. 즉, 0.333333...[2] 이나 0.47834834834...[3] 처럼 순환마디가 계속해서 반복되는 소수다. 순환소수를 분수로 바꾼 뒤 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는 2, 5 이외의 것이 있다. 대한민국에서는 보통 중2 때 배운다.

2. 순환소수

일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 소수다. 나타낼 때는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.[4]
  • [math(0.333333 \cdots = 0. \dot 3)]
  • [math(0.1624624624 \cdots = 0.1 \dot 62 \dot 4)]
  • [math(0.34343434 \cdots = 0. \dot 3 \dot 4)]

한국에서는 이 방법을 사용하고 있지만, 표현법에는 여러 가지가 있고, 순환마디 처음부터 끝까지 줄을 친다거나([math(0.1 \overline{624})]) 괄호를 치는 등의 여러 가지 방법이 있다. 한국은 점을 찍는 걸 사용하므로, 시험을 볼 땐 점을 찍어야 한다.

첫째 자리부터 시작되면 순순환소수라고 하고, 둘째 자리 혹은 그 이후부터 시작되면 혼순환소수라고 한다.

2.1. 순환소수의 분수화

순환소수를 분수로 고치기 위해서 다음과 같은 방법을 쓸 수 있다. 중2 수학 시험에 꼭 나오는 부분이다.
  • 대수적 방법
    두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다. [math(0. \dot 3)]의 경우
    1. [math(a=0.333333 \cdots)]로 놓으면
    2. [math(10a=3.333333 \cdots)] (ㄱ)
    3. [math(a=0.333333 \cdots)] (ㄴ)
    4. (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(9a=3 \; \therefore a=\displaystyle \frac{1}{3})] ( 약분을 해야 한다) [5]

    [math(0. \dot 14285 \dot 7)]의 경우
    1. [math(a=0.142857142857 \cdots)]로 놓으면
    2. [math(1000000a=142857.142857 \cdots)] (ㄱ)
    3. [math(a=0.142857142857 \cdots)] (ㄴ)
    4. (ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(999999a=142857 \; \therefore a=\displaystyle \frac{142857}{999999} = \displaystyle \frac{1}{7})]
  • 등비급수를 이용한 방법
    2015 개정 교육과정 기준 미적분에서 등장한다. 예를 들어 [math(2.32 \dot 4)]는 다음과 같이 유리화한다.
    1. [math(2.32 \dot 4)]는 [math(2.32 + 0.00 \dot 4)]로 쓸 수 있다.
    2. [math(0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{1}{100} \left( \frac{4}{10} + \frac{4}{100} + \frac{4}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1000} + \cdots \right) = \displaystyle \frac{4}{100} \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n)]
      여기서 [math(\Sigma)] 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에 [math(\displaystyle \frac{1}{10})]인 등비급수다.
    3. 첫째항이 [math(a)], 공비가 [math(r)]인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은 [math(\displaystyle \frac{a}{1 - r})]이므로,
      [math(\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{10} \right)^n = \displaystyle \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9})]
    4. 그러므로 [math(2.32 \dot 4 = 2.32 + 0.00 \dot 4 = \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{1}{9} \right) = \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{900} = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225})]
  • 공식
    위에서 소개한 등비급수를 이용한 방법을 공식화한 것이다.
    위와 같이 [math(2.32 \dot 4)]를 예로 들면
    • 분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
    • 분자에는 (ㄱ) 유리화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.

    위와 같은 과정을 따르면 [math(\displaystyle \frac{2324-232}{900} = \frac{2092}{900})]이 나오게 된다. 약분까지 하면 [math(\displaystyle \frac{523}{225})].
    {{{#!folding [ 증명 펼치기 · 접기 ]
위의 등비급수를 이용한 풀이 과정을 다음과 같이 변형해서 쓸 수 있다.
[math(\begin{aligned} 2.32 + 0.00 \dot 4 &= \displaystyle \frac{232}{100} + \left( \frac{4}{100} \times \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} \right) \\ &= \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{100 \times \left( 1 - \frac{1}{10} \right) \times 10} \\ &= \displaystyle \frac{232}{100} + \frac{4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \displaystyle \frac{232 \times (10 - 1) + 4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \displaystyle \frac{(2320 + 4) - 232}{100 \times 9} \\ &= \displaystyle \frac{2324 - 232}{900} \left( = \displaystyle \frac{2092}{900} = \frac{523}{225} \right) \end{aligned})]
여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.}}}

3. 비순환소수

일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하지 않는 소수다. 순환소수(유리수)와 달리 분모, 분자가 서로소로 이루어진 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수며 당연히 유리수에 포함되지 않는다. 교과 과정에서는 순환하지 않는 무한소수 라고도 한다.

비순환소수로는 [math(sqrt{2})], [math(sqrt{3})]등 대수적인 무리수와, [math(pi)](파이, 원주율), 자연로그의 밑 [math(e)], 오메가 상수, 겔폰트-슈나이더 상수 초월수에 속하는 무리수가 있다. 이밖에 야드파운드법(영미 공통)의 단위 대부분도 비순환소수에 속한다.

4. 기타

십진법에서 유한소수로 표현되는 수라도 진법을 바꾸면 무한소수가 될 수 있다. 그 반대의 경우도 마찬가지. 예를 들어 0.2를 이진법으로 나타내면 [math(0. \dot 001 \dot 1_{(2)})]이 나온다. 일반적으로 기약분수를 [math(k)]진법의 소수로 나타내었을 때 유한소수이기 위해서는 분모의 모든 소인수가 [math(k)]의 소인수여야 한다. 이는 십진법에서 유한소수가 될 때 분수의 분모의 소인수가 2 또는 5만 있어야 한다는 점을 생각하면 이해하기 쉽다.


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[1] 소수끼리의 계산에서 자릿수 맞추는 게 더더욱 중요해진다. 더 나아가 소수점을 지워버리면 아예 무한대가 되어버린다. [2] 순환마디는 3이다. [3] 순환마디는 834이다. [4] 숫자가 아닌 문자에 점이 찍히면 시간에 대해서 미분한다는 의미가 될 수 있지만 이런 표기법은 동역학 거시경제학 외의 영역에서는 별로 사용되지 않으므로 그닥 신경쓰지는 않아도 된다. [5] 같은 방식으로 [math(0. \dot 9)]를 유리화 하면 [math(9a=9 \; \therefore a=1)] 이므로 [math(0. dot 9=1)]이다.