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수와
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1. 개요
記 數 法 / notation숫자를 사용하여 기록해서 수를 적는 방법을 말한다. 오늘날에는 0에서 9까지의 숫자를 사용하고 십진법으로 나타내는 아라비아 기수법을 많이 쓴다. 옛날 바빌로니아에서는 60진법을 사용했고, 컴퓨터에서는 2진법, 16진법 따위를 쓴다. 10진법이 쓰이는 이유는 다른 것이 아니라 인간의 손가락 개수가 10개이고, 고대부터 인류는 수를 세는 데 손가락을 접거나 펴서 세는 관습이 있었기 때문이며, 마야 문명에서는 20진법을 사용하였다.
여기서, 임의의 수 0, 1, 2,…, p－1의 p개의 정수(整數)를 써서 나타내는 기수법을 p 진법(進法, base(or radix)-p)이라 한다. p진법에서 임의의 정수는 등으로 나타낼 수 있다.
로마에서는 없다는 개념( 0)을 숫자로 인정하지 않았기 때문에, 요즘 사람이 보면 상당히 불편하다. 예를 들어서 8787이라는 수는 아라비아 숫자로는 8,7,8,7 총 4개의 수로 표시되지만, 로마 숫자로는VIIIDCCLXXXVII[1]처럼 복잡하게 표시했다. 숫자가 작다면 큰 문제가 없으나 5자리 이상의 수를 표기하는 것이 매우 불편하다. 또, 로마 숫자는 정수는 10진법으로 표기했으나 소수는 12진법으로 표기되었기 때문에 소수의 곱셈을 할 때 매우 불편했다.
임의의 p진법에서, 오직 p의 약수로만 이루어진 분모는 유한소수를 갖는다. 왜냐하면, p의 약수로만 이루어진 숫자는 지수법칙을 이용해서 p의 거듭제곱꼴로 분모를 고쳐서 연산할 수 있기 때문이다.
예를 들어, 10진법은 1,2,5,10이 약수이므로 이들로만 이루어진 분모는 모두 유한소수이다. 예컨데, 1280의 경우, 소인수 분해를 하면 28 x 51로 나타낼 수 있는데, 이를 10의 거듭제곱으로 나타내려면 지수법칙을 이용하여 (28 x 51) x (20 x 57) = 28 x 58 = 108이 된다.
2. 전통적 기수법
2.1. 단항 기수법
가장 원시적인 기수법으로, 선분이나 원, 점 등 한 종류의 기호를 반복한 횟수만큼 수를 나타내는 방법이다.예를 들어, 3을 표기할 때 ///, 7을 표기할 때 ///////과 같이 같은 종류의 기호를 반복 사용해 표기하는 것을 말한다.
반드시 완전히 같은 형태로 표기할 필요는 없으며, 5~7 개 이상의 반복된 기호는 인간이 한눈에 식별하기 어려우므로, '
매우 원시적인 형태이고, 숫자가 7 이상으로 조금만 커져도 사용하고 식별하기 불편해진다는 단점이 있다. 따라서 큰 수를 다루거나 공식적으로 작성한 문서 등에서는 찾아보기 어렵다.
이렇듯 수학적, 산술적으로는 사용하기 몹시 불편하다. 하지만 무언가를 세면서 한 획씩 그어 나타내는 방식은 +1 연산(일명 계승자 연산)을 적용하기 적합하다는 장점이 있어 현대에도 살아남은 기수법 중 하나다. 학창 시절 해봤을 반장 선거 등에서 칠판에 바를 정(正)자를 쓰는 것, 주사위의 눈(⚀, ⚁, ⚂, ⋯) 역시 단항 기수법의 일종이다.
1~3에 해당하는 한자 숫자(一,二,三), 그리고 4에 해당하는 갑골문(현재는 四로 모양이 바뀌었다)에서도 단항 기수법의 흔적을 찾아볼 수 있다.
2.2. 명수법
일정한 크기의 수를 나타내는 숫자들의 합으로 수를 나타내는 방법이다. 고대 이집트와 고대 로마에서 사용된 기수법이다.예를 들어, 이집트 숫자에서 𓏺 = 1, 𓎆 = 10, 𓍢 = 100을 나타내는 숫자다. 그리고 377은 3×100 + 7×10 + 7×1 이므로 '𓍤𓎌𓐀'과 같이 나타낸다.
같은 기호가 여러 개 반복되면 알아보기 어렵다는 문제가 있으므로, 로마 숫자의 경우 4를 IIII, 90을 LXXXX와 같이 나타내는 대신, 뺄셈의 원리를 적용해 4 = IV, 90 = XC과 같이 나타내어 같은 숫자가 4개 이상 반복되는 것을 피했다.
큰 수를 적기에 단항 기수법에 비하면 편하지만, 수의 조합이 복잡해지면 알아보기 매우 불편해진다는 단점이 있다.
예를 들어, 3748은 MMMDCCXLVIII, 428571은 CDXXVIIIDLXXI과 같이 나타내는데, 매우 복잡하고 길기 때문에 한 눈에 알아보기 어렵다.
로마 숫자의 경우에는 100 이하의 작은 수에 대해서는 알아보기 어렵지 않은 편이므로, 현대에도 시계나 문서의 목차 등에서 찾아볼 수 있다.
2.3. 승법적 기수법
작은 수를 나타내는 숫자와 단위를 나타내는 숫자의 곱으로 수를 나타내는 방법으로, 중국에서 예로부터 사용된 기수법이다.예를 들어, 三 = 3, 七 = 7이고, 十 = 10을 나타내는 숫자다. 그리고 37은 3×10 + 7 = 37 = '三十七'과 같이 나타낸다.
자리가 서로 달라도 자리에 놓인 수가 같다면 같은 수를 쓰고, 같은 숫자를 여러 번 반복 표기하지 않는다는 장점이 있다.
수의 크기는 크지만, 작은 자리의 수들이 모두 0일 때 사용하기 편하다. 예를 들어 3000000000000(0이 12개)이라는 큰 수를 쓸 때에는 숫자가 너무 많아 구분하기 어렵지만, 승법적 기수법에서는 3을 나타내는 三과 1조를 나타내는 兆를 나타내는 두 개의 숫자면 충분하며, 0을 연속해서 쓰는 것에 비해 알아보기도 편하다.
2.4. 위치 기수법
현대에 사용되는 아라비아 숫자 체계가 위치 기수법에 해당한다.단위를 나타내는 위치에 333이라는 숫자에서 각 숫자 3은 3을 뜻하는 것이 아니라, 300, 30, 3을 뜻한다.
각각의 3이 뜻하는 것이 다르기 때문에, 유아가 이를 이해하기는 어렵다는 단점은 있다. 그러나 조금만 익숙해져도 일상생활에서 필요한 만큼 큰 수를 오직 10개의 숫자로 모두 적을 수 있으므로, 현대에는 국가를 막론하고 위치 기수법이 널리 사용된다.
자릿수가 많아지면 알아보기 어려워지므로, 30 000 000과 같이 일정 단위마다 띄워 적거나, 299,792,458과 같이 일정 단위마다 ','(쉼표)를 적어 보기 편하게 한다.
단, 매우 큰 수, 또는 매우 작은 수를 표기하기에는 부적합하기 때문에, 매우 큰 수는 '32억 1200만'과 같이 승법적 기수법과 조합해 표기하거나, 아래의 과학적 기수법에 따라 표기한다.
3. 과학적 기수법
과학과 수학에서 매우 큰 수, 매우 작은 수를 나타내기 위해 만들어진 표기법이다.보통의 위치 기수법을 단독으로 사용하면 매우 큰 수나 매우 작은 수를 알아보기 어려워진다. 예를 들어 602,214,076,000,000,000,000,000와 같이 매우 큰 숫자, 또는 를 나타낼 때, 또는 0.0000000000000000001602176634와 같이 크기가 매우 크거나 작은 수는 위치 기수법으로 적으면 알아보기 어렵다. 하지만 6.02×1023, 또는 1.60×10-19와 같이 (어떤 숫자×십진수) 형태로 나타내면 그 크기를 직관적으로 알 수 있다.
4. 그 밖의 기수법
4.1. 지수 탑(exponent tower) 표기법
실질적으로, 매우 큰 수를 다루는 천문학에서조차 대부분의 수를 과학적 기수법만으로도 충분히 나타낼 수 있다. 그 이상의 큰 수를 표기하기 위한 기수법은 잘 사용되지 않으며, 과학적 기수법으로 표현하기 어려울 정도로 몹시 큰 경우의 수에 대해서도 거듭제곱을 2~4번 연속해 사용하는 것으로 충분하다.이와 같이 거듭제곱을 거듭해 표기하는 방식을 지수 탑(exponent tower) 표기법이라고 부른다.
예를 들어, 1 TB(테라바이트)의 정보량으로 나타낼 수 있는 경우의 수는 [math(\displaystyle 2^{8\times{10}^{12}})]인데, 이를 과학적 기수법으로 표기하면 7.072×102 408 239 965 311이며, 자릿수만 약 2조 4000억 자리에 달한다는 것을 알 수 있다. 그럼에도 [math(\displaystyle 10^{10^{12.38}})]과 같이 지수 탑을 딱 3번 쌓는 것으로도 충분히 표기가 가능하며, 천문학적으로 가장 큰 수인 푸앵카레 재귀시간도 [math(10^{10^{10^{56}}})]으로, 지수 탑을 4번 쌓아 표기하는 것으로 끝난다.
단, 과학적 기수법의 경우 오차가 실제 값보다 작았던 것에 비해, '자릿수' 자체를 줄여서 표기하다 보니, 실제 값과 수십 배 ~ 10n 배 차이가 난다. 그럼에도 불구하고, 지수 탑 표기법으로 표기하는 대부분의 수들은 자릿수 자체가 인간의 인지 능력을 아득히 초월하기 때문에 그 차이를 눈치채기 어렵다.
4.2. 수학적으로 거대한 수를 표기하기 위한 기수법
지수 탑 표기법으로도 표기하기 어려울 만큼 수학적으로 거대한 수는 그보다 더 많이 존재한다. 이를 표기하기 위해, 하이퍼 연산을 기초로 하는 방식을 주로 이용한다. 동일한 수의 덧셈을 거듭한 것을 곱셈, 동일한 수의 곱셈을 거듭한 거듭제곱이라고 부르는 것과 같이, 이와 같이 동일한 수의 거듭제곱을 거듭한 테트레이션, 테트레이션을 거듭한 펜테이션, 펜테이션을 헥세이션, ⋯와 같이 하이퍼 연산을 정의하여 큰 수를 나타낸다. 자세한 내용은 테트레이션 문서 참조.지수 탑 형식으로 나타내기 어려운 대표적인 수들 중 가장 작은 것에는 [math(2\uparrow\uparrow\uparrow4)], [math(3\uparrow\uparrow\uparrow3)]등이 있다. 이를 풀면 아래와 같다.
[math(2\uparrow\uparrow\uparrow4 = 2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2 = 2\uparrow\uparrow65,536)]
[math(3\uparrow\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow3 = 3\uparrow\uparrow7,625,597,484,987)]
이 정도로 큰 수들은 과학적 표기법, 또는 지수 탑 형태로 적기 어렵고, 하이퍼 연산으로 나타내는 것이 최선이다.
이보다 훨씬 큰 그레이엄 수와 같은 수학적 거대수도 [math(\displaystyle G\left(64\right))]와 같이 나타내는데, 이 역시 어떤 연산을 계속 반복한 것을 나타내는 표기법이다.
5. 관련 항목
[1]
1000을 M으로, 5000을 ↁ라고 나타내기도 한다.