최근 수정 시각 : 2022-06-04 18:09:40

자연로그

이 문서는
이 문단은
토론을 통해 개요 문단의 '기호 e'에 '자연로그의 밑'\(으)로 합의되었습니다. 합의된 부분을 토론 없이 수정할 시 제재될 수 있습니다.
아래 토론들로 합의된 편집방침이 적용됩니다. 합의된 부분을 토론 없이 수정할 시 제재될 수 있습니다.
[ 내용 펼치기 · 접기 ]
||<table width=100%><table bordercolor=#ffffff,#1f2023><bgcolor=#ffffff,#1f2023><(> 토론 - 개요 문단의 '기호 e'에 '자연로그의 밑'\
토론 - 합의사항2
토론 - 합의사항3
토론 - 합의사항4
토론 - 합의사항5
토론 - 합의사항6
토론 - 합의사항7
토론 - 합의사항8
토론 - 합의사항9
토론 - 합의사항10
토론 - 합의사항11
토론 - 합의사항12
토론 - 합의사항13
토론 - 합의사항14
토론 - 합의사항15
토론 - 합의사항16
토론 - 합의사항17
토론 - 합의사항18
토론 - 합의사항19
토론 - 합의사항20
토론 - 합의사항21
토론 - 합의사항22
토론 - 합의사항23
토론 - 합의사항24
토론 - 합의사항25
토론 - 합의사항26
토론 - 합의사항27
토론 - 합의사항28
토론 - 합의사항29
토론 - 합의사항30
토론 - 합의사항31
토론 - 합의사항32
토론 - 합의사항33
토론 - 합의사항34
토론 - 합의사항35
토론 - 합의사항36
토론 - 합의사항37
토론 - 합의사항38
토론 - 합의사항39
토론 - 합의사항40
토론 - 합의사항41
토론 - 합의사항42
토론 - 합의사항43
토론 - 합의사항44
토론 - 합의사항45
토론 - 합의사항46
토론 - 합의사항47
토론 - 합의사항48
토론 - 합의사항49
토론 - 합의사항50
||


수학 상수
Mathematical Constants
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
( 카프리카 상수)
[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
( 뮌하우젠 수)
[math(pi^{ast})]
(원주율)
[math(tau^{ast})]
(새원주율)
[math(e^{ast})]
(자연로그의 밑)
[math(delta)], [math(alpha)]
(파이겐바움 상수)
[math(varphi)]
(황금비)
[math(G)]
(카탈랑 상수)
[math(gamma)]
(오일러-마스케로니 상수)
[math(gamma_n)]
(스틸체스 상수)
[math(Omega^{ast})]
(오메가 상수)
[math(2^{sqrt{2},ast})]
(겔폰트-슈나이더 상수)
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(rho)]
(플라스틱 상수)
[math(mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n,^{ast})]
(챔퍼나운 상수)
[math(zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({rm Si}(pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e, {rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)
}}}}}}}}} ||

연산
Numbers and Operations
{{{#!wiki style="word-break: keep-all; margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px; letter-spacing: -1px"
<colbgcolor=#765432> 수 체계 자연수 ( 홀수 · 짝수 · 소수 · 합성수 ) · 정수 · 유리수 ( 정수가 아닌 유리수 ) · 실수 ( 무리수 · 환원 불능 · 초월수 ) · 복소수 ( 허수 ) · 사원수
표현 숫자 ( 아라비아 숫자 · 로마 숫자 · 그리스 숫자 ) · 기수법 · 진법 ( 십진법 · 이진법 · 8진법 · 12진법 · 16진법 · 60진법 ) · 분수 ( 분모 · 분자 · 기약분수 · 번분수 · 연분수 · 통분 · 약분 ) · 소수 ( 무한소수 )
연산 사칙연산 ( 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 구구단 · 나눗셈 ) · 역수 · 절댓값 · 제곱근 ( 이중근호 ) · 거듭제곱 · 로그 ( 상용로그 · 자연로그 ) · 검산
방식 암산 · 세로셈법 · 주판 · 산가지 · 네이피어 계산봉 · 계산기
용어 이항연산 · 항등원과 역원 · 교환법칙 · 결합법칙 · 분배법칙
기타 수에 관련된 사항 ( 0과 1 사이의 수 · 음수 ) · 혼합 계산 ( 48÷2(9+3) · 111+1×2=224 · 2+2×2 ) · 0으로 나누기 · 0의 0제곱 }}}}}}}}}


1. 개요2. 성질3. 자연로그의 밑
3.1. 정의
3.1.1. 극한을 이용한 정의3.1.2. 정적분을 이용한 정의
3.2. 용어 논란
4. 활용
4.1. 역함수4.2. 자연로그의 극한4.3. 미적분4.4. 무한급수4.5. 경제학4.6. 기타
5. 복소로그함수6. 여담7. 관련 문서

[clearfix]

1. 개요

natural logarithm /

자연로그는 후술할 기호 [math(e)]로 표기되는 특정 수를 밑으로 하는 로그다. 여기서 자연(natural)이란 수식어는 자연로그의 도함수를 도출하는 과정에서 밑이 동시에 자연스럽게 정의된다는 점이나, 자연로그의 밑을 지수의 밑으로 하는 지수함수의 미분 등에서 아주 깔끔한 결과가 얻어지는 데서 유래했다.

기호로 나타낼 때는 [math(\ln)]('엘엔[1]'으로 읽는다.)으로 쓰거나, 상용로그를 쓸 일이 거의 없는 곳에서는 [math(\log)]로 쓴다. 이렇게 사용하는 경우에는 상용로그가 나올 것 같으면 [math(\log_{10}a)]처럼 밑을 10으로 명시하거나 [math({\log a}/{\log 10})]와 같이 표기해 상용로그를 아예 없는 것처럼 취급한다. pH 계산이나 음향학 분야에서는 주로 전자, 대학 미적분학 분야에서는 주로 후자의 표기법을 쓰며, 고등학교 수학 과정에서는 전자의 표기법을 쓴다.

2. 성질

자연로그 또한 로그의 일종이므로 로그에서 성립했던 성질들이 모두 성립한다. 단, [math(a)], [math(b)]는 양의 실수, [math(c)]는 1이 아닌 양의 실수 [math(m)], [math(n)]은 실수이다.
  • [math(\ln{a}+\ln{b}=\ln{ab})]
  • [math(\ln{a}-\ln{b}=\ln{\left(\dfrac{a}{b} \right)})]
  • [math(\ln{a}=\dfrac{\log_{c}{a}}{\log_{c}{e}})]
  • [math(\ln{a}=\dfrac{1}{\log_{a}{e}})] (단, [math(a \neq 1)])
  • [math(\ln{a^{m}}=m\ln{a})]
  • [math(\dfrac{n}{m}\ln{a}=\log_{e^{m}}{a^{n}})] (단, [math(m \neq 0)])
  • [math(e^{\ln{a}}=a)]

3. 자연로그의 밑

자연로그의 밑에 대한 설명 (영어)

이 값은 무리수이면서 초월수로, 소수 열째 자리까지 나타내면 [math(2.7182818284\cdots)]이다. 언급할 때마다 숫자열을 일일이 나열하는 것이 번거롭기에 원주율([math(\pi)])처럼 상수 [math(e)]로 표기되는데 오일러가 이렇게 썼다.[2]

자연로그의 밑/값 문서에 소수점 아래 만 자리까지 그 값이 나와있다.

3.1. 정의

3.1.1. 극한을 이용한 정의

[math(e)]가 사용되기 시작한 것은 하단의 정적분 연구가 시초라고 알려져 있지만, 교육 현장에선 이처럼 함수의 극한으로 정의하는 [math(e)]가 가장 일반적인 방법이다. 전문적인 용어로는 야코프 베르누이의 계산법이라고 한다.

함수 [math(y=(1+x)^{1/x})]을 고려하자. [math(x \to 0)]의 극한
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{(1+x)^{1/x}} =:e )]
으로 정의한다.

이것은 아래와 같이 그래프에서도 확인할 수 있다.

파일:namu_자연로그_1.svg

[math(t= 1/x)]으로 하면 [math(x\to 0+)]일 때, [math(t\to \infty)] 이며, [math(t \to x)]로 다시 대치하면, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x}} =e )]

이것은 아래와 같이 그래프에서도 확인할 수 있다.

파일:namu_자연로그_2.svg

수열의 극한에서도 동일하게 성립한다. 즉, 두 수열 [math(\{(1+n)^{1/n}\})], [math(\{( 1+n^{-1} )^{n}\})]에 대하여
[math(\displaystyle \lim_{n \to 0}{(1+n)^{1/n}}=\lim_{n \to \infty}{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}} )]

3.1.2. 정적분을 이용한 정의

파일:namu_자연로그_3.svg

위 그림과 같이 자연로그의 밑을 유리함수의 하나인 [math(f(x)=x^{-1})]의 그래프에서 [math(x=1)], [math(x=e)], [math(y)]축, [math(y=f(x))]로 둘러싸인 영역의 넓이가 1이 되도록 하는 상수 [math(e)]로 정의할 수도 있다. 즉,
[math(\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,{\rm d}x =1 )]
를 만족시키는 상수 [math(e)]를 자연로그의 밑으로 정의한다.

일반화로, [math(e)] 대신 임의의 양수를 넣으면 해당 양수의 자연로그값을 얻을 수 있다.[3]
[math(\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{1}{x}\,{\rm d}x =\ln a \quad (a >0))]

3.2. 용어 논란

특히 유독 대한민국에서는 '자연상수'란 용어가 퍼져 있지만 자연상수는 표준 용어가 아니다. 공식 수학 용어를 채택하는 대한수학회에서도 [math(e)]는 자연로그의 밑으로 등재했으며, 표준국어대사전이나 기타 백과사전에서도 '자연상수'라는 말은 찾아볼 수가 없다. 보통 마땅한 용어가 없으면 해외에서 수입하는 경우가 있으나, 자연상수는 이런 연유조차 발견할 수 없다. 일단 영어권에서 natural constant란 용어는 존재하지 않으며 오히려 natural constant라고 하면 물리 상수로 알아듣는다. 또 한국 수학 교육과정의 용어에 큰 영향을 끼친 일본에서조차 自然定数라고 하지 않는다.

자연상수는 언제 누가 어디서 처음으로 썼는진 알려지지 않았으나 구글 검색으로 나오는 가장 오래된 기록은 1999년 10월 8일경 작성된 한 경제학 칼럼 개인 사이트로 보인다. 또한 서울대학교의 기초교육 강의 교수로 지내는 정 모 교수가[4]가 '자연상수'란 용어를 독자연구로 밀고 있다고 알려져 있다. 반대로, 같은 서울대학교 교수인 계 모 교수는 이 용어 사용에 대해 회의적이라고 알려져 있다. 논란에 불을 지핀 격인 서울대학교 측에서도 이 일을 아는 모양이었는지, 이후 미적분학 1+ · 2+ (김홍종 저) 머리말에 '자연상수'는 공식 용어가 아니고 이 책에 한해서 그렇게 부르겠다는 문구를 수정판 머리말에 넣어 공식 용어가 아님을 확인하였다.[5]

이렇듯이 '자연상수' 사용을 따로 금지해야 한다는 법은 없으나, 객관적인 정보를 전달해야 하는 논문 저자, 교육자, 전공자 등 수학계에 있는 사람들은 이러한 불확실한 용어 사용을 가급적 피해야 할 것이다.

'네이피어 상수(Napier's Constant, ネイピア数, 纳皮尔常数, constante de Napier 등)'로 부르자는 움직임이 있지만, 이 마저도 하자가 있다. 네이피어는 자연로그의 값을 처음으로 기록한 사람이지 [math(e)]를 연구한 사람이 아니며, 이 값을 계산하는 방법은 오히려 야코프 베르누이가 창안해냈다. 굳이 이 사안에 인명을 기려내려면 네이피어가 아니라 야코프 베르누이의 이름을 담아내야 할 것이다. 하지만 베르누이의 수([math(B_n)])가 이미 존재하는 문제가 있어서 신중을 가해야 한다.[6]

'오일러의 수(Euler's Number; オイラー数, 欧拉数, número de Euler 등)'라는 명칭도 있다.

보통 다른 나라에서 자연로그의 밑을 따로 지칭하려는 움직임은 극소수이며, 대한민국에서만 왜 이런 현상이 발생하는지에 대한 여러 추측이 있다. 가장 유력한 가설은 교육과정 서술상의 순서의 문제점이라는 게 중론이다. 외국 교육과정에선 대한민국 교육과정과 반대로 자연로그를 먼저 서술한 뒤 그 다음 밑을 알려주는 순서를 따르는데[7] 대한민국에서는 [math(e)]를 먼저 서술하는 성격 탓에 이런 현상이 발생했다는 것. 그래서 대부분의 국내 교과서에선 '무리수 [math(e)]'라고 부르고 있다. 하지만 이 경우는 국내 교육과정 하에 승인된 용어일 뿐, 국제에서 범용화된 용어는 아니다. 해외에선 Irrational number [math(e)]라고 하는 경우가 드물다. 정작 교육과정에서 [math(e)]가 무리수임을 증명하는 과정은 서술하고 있지 않다. 차라리 교과서 정의에서 채택하고 있는 극한의 방식을 따라 '극한값 [math(e)]'로 쓰는 게 더 적절할 수도 있다. 2015 개정 교육과정 일부 교과서에선 이 점에 근거해 '극한값 [math(e)]' 혹은 '수 [math(e)]'로 바뀌었다.

4. 활용

4.1. 역함수

자연로그를 취하는 함수의 역함수는 로그함수 지수함수의 관계에 의해 [math(e^x)]이다.

4.2. 자연로그의 극한

4.2.1. 소수 정리

[math(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{\left(\dfrac x{\ln x}\right)}=1)]

가우스 르장드르의 추측을 시작으로 리만 가설에 이르기까지 소수의 구조를 밝혀낼 열쇠가 되는 극한값이다. 자세한 내용은 문서 참조.

4.2.2. 오일러-마스케로니 상수

[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right)}=\gamma)]

반비례 관계 그래프와 자연로그와의 차를 나타내는 극한값. 자세한 내용은 해당 문서 참고.

4.2.3. 특수한 함수의 극한

다음 극한을 고려해보자.
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} )]
식을 변형하면, 아래와 같은 극한 값을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} &=\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x}}\ln{(x+1)} \\&=\lim_{x\to 0}{\ln{(x+1)^{1/x}}} \\ &=\ln{\left[ \lim_{x\to 0}{(x+1)^{1/x}} \right]} \\ &=\ln{e} \\&=1 \end{aligned} )]
식의 전개에서 로그의 성질 및 [math(e)]의 극한을 사용한 정의를 사용하였다.

또 다른 극한
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}} )]
의 경우 위 결과에서 로그의 밑이 [math(e)]에서 [math(a)]로 바뀐 형태이므로 따로 계산해보지 않더라도 그 결과를 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}}&=\log_{a}{e} \\&=\frac{1}{\ln{a}} \end{aligned})]

위 결과를 사용하여
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} )]
를 구해보자. [math(e^{x}-1=t)]로 치환하면 [math(x \to 0)]일 때, [math(t \to 0)]이고, [math(x=\ln{(t+1)})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} &=\lim_{t\to 0}{\frac{t}{\ln{(t+1)}}} \\ &=\frac{1}{\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln{(t+1)}}{t}} \\ &=1 \end{aligned} )]
임을 얻을 수 있다. 더 나아가 이 극한 식이 의미하는 바가 무엇인지 살펴보자 극한 식을
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}} )]
형태로 쓰면, 곧 이것은 함수 [math(y=e^{x})]의 [math(x=0)]에서의 미분 계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같은 것임을 알 수 있다.

같은 방법으로 [math(a^{x}-1=t)]의 치환을 통해
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}=\ln{a} )]
임을 얻을 수 있고, 이 또한 함수 [math(y=a^{x})]의 [math(x=0)]에서의 미분 계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같다.

이상의 문단을 정리하면 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} &=1 \\ \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}} &=\frac{1}{\ln{a}} \\ \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}&=1 \\ \lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}&=\ln{a} \end{aligned} )]

4.3. 미적분

4.3.1. 도함수

자연로그 함수 [math(\ln{x})]의 도함수를 구하여보자. 도함수의 정의에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\ln{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{(x+h)}-\ln{x}}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)}}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \frac{x}{h} \cdot {\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)}} \\&= \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} {\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)^{x/h}}} \\&= \frac{1}{x} \ln{\left [ \lim_{h \to 0} \left( 1+\dfrac{h}{x} \right)^{x/h} \right] }\\&= \frac{1}{x} \ln{e } \\&= \frac{1}{x} \end{aligned})]
임을 알 수 있다.

4.3.2. 역도함수

자연로그 함수 [math(\ln{x})]의 역도함수를 구하여보자. 이것을 구할 때는 부분적분을 사용하여야 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\,{\rm d}x &=\int 1\cdot \ln{x}\,{\rm d}x \\&=\left( \int 1\,{\rm d}x \right) \ln x-\int \left( \int 1\,{\rm d}x \right) \left\{ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\ln{x}) \right\} \,{{\rm d} x} \\&=x\ln{x}-\int x\cdot \frac{1}{x} \,{\rm d}x \\&=x\ln{x}-\int 1\,{\rm d}x \\&= x\ln{x}-x+\textsf{const.} \end{aligned})]
[math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.

4.3.3. 로그 적분 함수

[math(\displaystyle \begin{aligned}{\rm li}(x)&=\int_0^x\frac{{\rm d}t}{\ln t}\\ &=\int_{\ln x}^\infty\frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t = {\rm Ei}(\ln x)\end{aligned})][8]

자연로그로 유도할 수 있는 특수함수이다. 자세한 내용은 로그 적분 함수 문서 참조.

4.4. 무한급수

[math(e^x)]을 테일러 전개한 식에 [math(x=1)]를 대입해 유도할 수도 있고, 위의 극한을 이용한 정의에서의 극한식을 이항정리를 이용해 정리해서 이 식을 유도할 수도 있다. 표현 자체만 다를 뿐 극한식과 급수식은 서로 동치 관계에 있다. 오일러가 이 방식으로 무한급수식을 도출한 바 있다.

[math(t\to0)]인 극한식에서 [math(t=n^{-1})]으로 치환해주면 [math(n\to\infty)]이며 지수가 [math(n)]으로 간단하게 표현되기에 이항 정리를 용이하게 적용할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to0}\,(1+t)^{1/t}&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n \\
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\binom nr\frac1{n^r}\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\frac{n!}{r!{\cdot}(n-r)!}\frac1{n^r} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n!}{0!{\cdot}n!}\frac1{n^0}+\sum_{r=1}^n\frac{n!}{r!{\cdot}(n-r)!}\frac1{n^r}\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}\frac1{n^r}\right\} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}{\left(1-\dfrac2n\right)}\cdots{\left(1-\dfrac{r-1}n\right)}}{r!}\right\} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}}{2!}+\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}{\left(1-\dfrac2n\right)}}{3!}+\cdots+\frac{\displaystyle \prod_{r=1}^n{\left(1-\frac{r-1}n\right)}}{n!}\right\} \\
&=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots \\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} \end{aligned})]

한편, 자연로그에 관한 무한급수는 다음과 같이 전개된다. 로그 안에 들어가는 수가 [math(x)]가 아닌 [math(x+1)]임에 주의.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \ln\left(x+1\right) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n \\ &= x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots \quad (-1<x \leq 1) \end{aligned})]

변형으로 다음 급수가 있다.
[math(\displaystyle \ln x-\ln \left ( x-1 \right )=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{nx^n} \quad (x >1))]

4.5. 경제학

기간 [math(t)] 동안에 이자율(증가율) [math(i)]로 연속 성장(continuously compounded)할 때 그 극한이 지수함수로 나타나는데 밑이 [math(e)]가 된다. 다음과 같이 유도할 수 있다. 의미는 연이자율 100 % 일때 무한히 짧은 기간으로 이자율을 쪼개 적용함으로서 복리효과를 누릴 수 있는 최대값이다. 이자율이 [math(n00\,\%)]일때에는 [math(e)]의 [math(n)]제곱이 적용된다.

연속 성장의 횟수가 [math(n)]이라고 하면 [math(1)]회 성장 기간은 [math(t/n)]이며 증가율은 [math({it}/n)]가 된다.

지난 성장 결과를 [math(a_k)]라고 하면 다음 성장 결과
[math(a_{k+1} = {\left(1+\dfrac{it}n\right)}a_k)]
이며 [math(a_0 = 1)]이라고 하면 이 점화식은 등비급수의 꼴이므로
[math(a_k = {\left(1+\dfrac{it}n\right)}^k)]
로 풀린다. [math(k=n)]일 때, [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n \to \infty}{\left(1+ \frac{it}n \right)}^n \\&= \lim_{n\to\infty}\biggl\{{\left(1+\frac{it}n\right)}^{n/it}\biggr\}^{it} \\&= e^{it} \end{aligned})]

[math(\ln(1+x)\approx x)] 로 근사하여 변화율을 구할 때도 쓴다.

4.6. 기타

  • [math(\lim\limits_{n \to \infty} {(1-n^{-1} )}^n = e^{-1})]이다. 고등학교 교육과정에선 등장하지 않지만 극한에 대한 이해를 평가하는 문제로서 간간히 출제되기도 한다.
    • 이 값은 가챠처럼 카드 뽑기 게임에서도 활용되는 수이다. 확률이 [math(n^{-1})]인 카드를 [math(n)]번 뽑았다고 했을 때, 단 한 번도 안 나올 확률은 [math(e^{-1}=0.36787944117144\cdots)]가 된다. 이 식은 [math(n=100)] 정도만 돼도 충분히 [math(e^{-1})]값에 근접하기에, 만약 확률이 1 %인 뽑기를 100번 한다고 해도 36.79 %정도의 확률로 1번도 안 뜰 수 있다. 참값은 약 36.60 %으로 거의 일치함을 알 수 있다.
  • [math(x>0)] 구간에서 [math(y = x^x)]의 최솟값은 [math(x = e^{-1})]에서, [math(y = x^{1/x})]의 최댓값은 [math(x=e)]일 때 나온다. 또한 [math(a^x)]와 그 역함수가 접할 조건은 [math(a = e^{1/e})]일 때이며 접점은 [math((e,\,e))]이다.
  • 자연로그에 1부터 10까지의 자연수 및 [math(e)], [math(\pi)]를 대입한 값은 다음과 같다. 소수점 아래 [math(32)]번째 자리수까지 확실한 값이며, 해당 자리수까지 반올림할 시엔 [math(33)]번째 자리의 숫자를 보고 판단하면 된다. 33번째 자리수는 반올림이 적용되어있지 않으며 [math(34)]번째 자리수 이후의 값을 생략한 것에 불과하니 주의할 것. 한자 문화권에선 단위로 끊어 쓰므로 편의를 위해서 4자리씩 끊었다.
    [math(\begin{matrix}\begin{aligned}\ln 1 &= 0\ \\ \ln 2 &= 0.6931\,4718\,0559\,9453\,0941\,7232\,1214\,5817\,6\cdots \\ \ln e &= 1 \\ \ln 3 &= 1.0986\,1228\,8668\,1096\,9139\,5245\,2369\,2252\,5\cdots \\ \ln \pi &= 1.1447\,2988\,5849\,4001\,7414\,3427\,3513\,5305\,8\cdots \\ \ln 4 &= 1.3862\,9436\,1119\,8906\,1883\,4464\,2429\,1635\,3\cdots \\ \ln 5 &= 1.6094\,3791\,2434\,1003\,7460\,0759\,3332\,2618\,7\cdots \\ \ln 6 &= 1.7917\,5946\,9228\,0550\,0081\,2477\,3583\,8070\,2\cdots \\ \ln 7 &= 1.9459\,1014\,9055\,3133\,0510\,5352\,7434\,4317\,9\cdots \\ \ln 8 &= 2.0794\,4154\,1679\,8359\,2825\,1696\,3643\,7452\,9\cdots \\ \ln 9 &= 2.1972\,2457\,7336\,2193\,8279\,0490\,4738\,4505\,1\cdots \\ \ln 10 &= 2.3025\,8509\,2994\,0456\,8401\,7991\,4546\,8436\,4\cdots \end{aligned}\end{matrix})]
  • [math(xe^x = 1)]를 만족하는 오메가 상수란 게 있다. 지수함수의 특수한 역함수인 람베르트 [math(W)] 함수에 1을 대입하면 얻을 수 있다.
  • 서로 무관한 수처럼 보이는 [math(e)]와 원주율 [math(\pi)], 허수단위 [math(i)]를 합치면 [math(e^{pi i} + 1 = 0)]이란 굉장히 깔끔한 결과가 나온다. 자세한 것은 오일러 공식 문서를 참조할 것.
  • 해석적 정수론에선 자연로그가 다수 합성된 꼴의 함수([math(\ln\ln\ln\ln x)] 같은 꼴)가 꽤 자주 나온다.
  • [math(e)]를 [math(pi)]만큼 거듭 제곱한 수 [math(e^\pi)]은 겔폰트-슈나이더 정리에 해당하는 예시 중 하나로서 거론된 초월수[9]이며 증명자 겔폰트의 이름을 따 겔폰트 상수라고 한다.
  • 완전순열의 일반항에 자연로그의 밑이 들어간다([math(!n = \operatorname{round}(n!/e))]).

5. 복소로그함수

파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 복소로그함수 문서
번 문단을
부분을
참고하십시오.

6. 여담

  • 고등학교에서 [math(e)]를 배울 때는 '무리수 [math(e)]'(혹은 극한값 [math(e)] 또는 수 [math(e)]) 란 명칭으로 배우게 된다. 하지만 고등학교에선 로그함수의 미분에 대해 배우기도 전에 [math(e)]의 극한식 정의부터 배운다. 실제 미적분학을 비롯한 수학 전반에서 [math(e)]를 사용하면 표기법이 놀랍도록 간단해진다. 현재 자연로그의 경우 고교과정에서 경제수학을 제외하면 자연계열에만 편성되어 있다.
  • [math(e)]가 무리수임을 보이는 것은 쉬우나[10], 정수 다항식의 근이 될 수 없는 초월수임을 보이는 건 훨씬 어렵다.[11] 여러 [math(e^e)] 등의 숫자들은, 심지어 [math(e+\pi)] 마저도 유리수인지 무리수인지조차 확인이 되지 않고 있다. 참고로 [math(e)]가 초월수라는 것을 가장 쉽게 보이는 방법은 린데만-바이어슈트라스 정리[12]를 이용하는 방법.

초월수는 대수적 다항식의 근이 될 수 없으므로 [math(e)]가 대수적 수라 가정하자. 즉, [math(e)]는 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0)]의 근이 되므로 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=0)]가 된다. 이 식의 각 항에 [math(e)]를 곱하면,

[math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e\cdot a_{k}e^{k}=0 \quad \cdots \, (\ast))]

이제 [math(a_{k}\cdot e=\alpha_{k})]라고 두자. [math(k)]는 0부터 [math(n)]까지의 서로 다른 대수적 수인 정수다. 또한 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=0)]가 대수적 다항식이므로 적어도 1개 이상의 [math(a_{k}\neq0)]인 [math(k)]가 존재한다. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여

[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e^{k}=\sum_{k=1}^{n}e\cdot a_{k}e^{k}\neq 0)]

이어야 한다. 그런데 [math((\ast))]는 그 값이 0이어야 한다. 이는 모순이므로 [math(e)]가 대수적 수라고 가정한 전제가 틀렸다는 결론이 나온다. 따라서 귀류법에 의하여 전제가 된 [math(e)]는 대수적 수라는 것이 거짓이므로 [math(\boldsymbol{e})]는 초월수라는게 증명되었다.||
  • [math(e)]는 [math(e^{\pi i} + 1 = 0)]이란 세상에서 가장 아름답다고 하는 식에 나오기도 한다.
  • 원주율 [math(3.141592\cdots)]를 [math(pi)]로 간단하게 쓰는 것처럼 [math(e)] 역시 비순환소수, 즉 무리수이다. 유의미한 수학 상수 중에선 초월수로서 처음으로 증명된 수이기도 하다. 사족으로, 의미가 큰 건 아니지만, 초월수로 증명된 첫 번째 수는
    {{{#!wiki style="text-align: center"

    [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty10^{-k!}=0.110001\cdots)]}}}
    으로 정의되는 리우빌 상수(Liouville's Number)로, 이 수는 초월수의 존재를 증명하기 위해 만들어진 숫자다. 발견 자체는 원주율이 훨씬 빨랐지만, 원주율이 초월수로 증명된 건 [math(e)]가 초월수로 증명된지 9년 후이다.
  • 문서에도 적혀있지만 '자연로그의 밑'과 관련해선 발음에 유의해야 한다. '자연로그의 밑으로 갖는…'과 같은 구절에서 [미츠로]라고 읽는 사람이 많으나 [미트로]라고 읽는 게 올바르다. '밑을' 역시 [미츨]이 아니라 [미틀]로 발음해야 한다.
  • 실제로는 수지만 쓸 때는 그냥 [math(e)]라고 쓰는 것을 이용해 문과 놀리기를 하기도 한다.[13]
  • 울프럼 알파에선 Log[x]를 입력하면 자연로그로 처리한 뒤 10을 밑으로 갖는 로그를 찾은 경우를 대비해 짧은 설명과 링크를 달아준다. 문과와 연관된 금융공학에서도 [math(\ln x)]로 통일했다. 왜냐하면 자연로그와 상용로그를 쓰는 곳은 파생상품인데, 서로 쓰는 분야가 달라서 [math(\log x)]로 통일을 할 수가 없기 때문이다. 이 자연로그는 고교 및 대학 과정 이상의 미적분에서 빠질 수 없는 필수 요소다.
  • 소수점 아래 열 번째 자리까진 매우 쉽게 외울 수 있다. [math(2.7)] [math(mathbf{18},)] [math(mathbf{28},)] [math(mathbf{18},)] [math(mathbf{28},)] [math(mathbf{4})][math(\cdots)] [math(9)]번째 자리까지만 본다면 유리수 같이 보이는 착각이 일어난다.[14] 사실 소수점 아래 열다섯 번째 자리까지도 그리 어렵지 않다. [math(2.7)] [math(mathbf{18},)] [math(mathbf{28},)] [math(mathbf{18},)] [math(mathbf{28},)] [math(mathbf{45},)] [math(mathbf{90},)] [math(mathbf{45})][math(\cdots)] 45와 90이 깔끔하게 배수 관계라 기억하기 쉽다.
  • 한편, [math(2^2)], [math(2^e)], [math(e^2)], [math(e^e)]이 동남 방언에선 완벽히 구분되는데 표준 한국어에선 전혀 구분되지 않는다는 이야기가 인터넷에 돌았고[15], 각 방언 사용자들이 서로에게 그게 진짜냐고 묻는 떡밥이 돌기도 했다. 해당 방언 사용자는 2e와 ee를 각각 발음해 보면 감이 온다. 사실 전국적으로 그렇게 발음하는 사람이 많은데, 표준어 사용자라고 그렇지 않다는 건 없다. 그러므로 구분이 안 된다는 말은 어떻게 보면 틀린다. 자음은 묵음이고 /i/만 달랑 발음되는 숫자 2와는 달리 e 앞에 자기도 모르는 새 /ʔ/음가가 들어가기 때문. 참고로 이 발음은 엄연히 성조나 강세가 아닌 하나의 음가다. 성문음 참조.(여담이지만, 중세 국어엔 /ʔ/에 해당하는 음가가 있었다. 그게 바로 ㆆ(여린히읗). 지금도 한국어 구사자들은 이 발음을 무의식적으로 발음한다. 쉽게 말해 명치를 맞을 때 내는 "윽!"소리의 "ㅇ"의 실제 발음이다. 일(一)을 발음할 때도 나오는 발음이다.)
  • 원주율에 비해 떡밥이 적다. 모두 동그라미를 그릴 줄 알기에 원주율에 대해선 직감적이지만(애초에 원의 지름과 원의 둘레의 비를 원주율 [math(\pi)]로 정의한 것이니, 당연히 직관적으로 이해할 수 있다.) 무리수 [math(e)]는 적용된 도형이 거의 없으니... 굳이 찾아본다면 삼각함수 물결 모양[16], 정규 분포의 종 모양 곡선, 현수선, 앵무조개 껍데기가 그리는 나선 정도.
  • 한 연구에 따르면, 개의 실제 연령을 [math(A)], 개 나이를 [math(a)]라 하면 다음이 성립한다고 한다.
    {{{#!wiki style="text-align: center"

    [math(\displaystyle A=16\ln{a}+31 )] }}}
    즉, 개 나이가 2~7세라면 사람으로 치면 25~50세에 해당한다.

7. 관련 문서




[1] '자연로그'를 뜻하는 라틴어 'logarithmus naturalis'에서 따왔다. '인(In; in)'이 아님에 주의. 그래서 손으로 쓸 때에는 l을 필기체처럼([math(\ell n)]) 쓰는 경우도 많다. [2] 오일러(Euler)의 첫 글자를 땄다는 설이 있는데 이는 사실무근이며, 자연로그의 밑은 지수함수에서도 밑이므로 지수함수(exponential function)의 앞글자에서 따온 거란 이야기가 지배적이다. 지수 부분에 복잡한 함수가 포함되는 경우 지수 표기로 나타내면 알아보기 어렵기 때문에 Exponential의 앞 세글자들 따 삼각함수나 로그함수처럼 [math(\exp)]로 쓰는 경우가 많다.([math(e^{x}=\exp{x})] 형태로 쓴다.) 또한 오일러 이전에 극한식으로 정의되는 값을 찾기 위한 연구 기록을 베르누이가 남긴 바 있고, 나중에 라이프니츠와 하위헌스가 이 값을 [math(b)]라고 쓴 전례(정황상 베르누이의 이름에서 따온 듯하다)가 있다. [3] 그래서 자연로그는 정적분으로 정의된 함수로도 볼 수 있다. [4] 네이버캐스트 수학 산책에 '자연 상수 [math(e)]'를 작성한 사람이다. 참고로 네이버 관련 자료에 모두 이의 신청을 받아들여 '자연로그의 밑', '네이피어의 수', '극한값 [math(e)]'로 모두 수정된 상태인데 이 분만 고집을 부리고 있다고 한다. [5] 참고로 해당 서적엔 자연로그의 밑 외에도 이 책에서만 이렇게 부르기로 약속된 독자적인 기호나 용어가 여럿 있다. [6] 정확히 말하면, 수가 아니라 수열이지만 이미 이쪽도 입말이 되어버리는 바람에, 혼동할 가능성이 있다. 비슷한 케이스로 피타고라스 수가 있는데 이쪽도 엄밀히 말하면 수가 아니고, 집합족이라고 하는 수하고는 다른 대상이다. [7] 일각에선 자연로그의 정의 자체보단 값([math(2.71828\cdots\cdots)])만 외우게 되는 주입식 교육을 우려해 이 방식이 채택됐다고 해석한다. [8] 두 번째 식은 지수 적분 함수를 이용해서 나타낸 식이다. [9] [math(e^\pi = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i})]이며 [math(-1)]은 [math(0)], [math(1)]이 아닌 대수적인 수, [math(-i)]는 유리수가 아닌 대수적인 수이기 때문에 겔폰트-슈나이더 정리에 따라 [math(e^\pi)]는 초월수이다. [10] 귀류법으로 [math(e = m/n)]이라 하고, [math(n!e)]를 생각해보자. [11] 그래도 정수 계수 이차방정식의 근이 될 수 없다는 것은 무리수 증명보단 어렵지만 초월수 증명에 비해 쉽게 보일 수 있다. 귀류법으로 [math(ae+b/e = c)], [math(a\neq 0)]을 만족시키는 정수해 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 있다고 가정한 후 [math(e)]와 [math(e^{-1})]의 테일러 전개를 잘 이용해주면 된다. [12] 선형독립된 유한개의 대수적 수는 [math(e)]의 거듭제곱을 하더라도 선형독립이라는 정리. 즉 모두 0이 아닌 대수적 수 [math(\alpha_{k})]에 대하여 서로 다른 대수적 수 [math(\beta_{k})]가 존재할 때 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\beta_{k}\neq 0)]과 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e^{\beta_{k}}\neq 0)]는 동치다 라는 정리다. [13] 현행 교육과정(2015 개정)에선 무리수 [math(e)] 관련 내용이 미적분 초반 부분에 있다. 따라서 문과는 배우지 않는다. 그리고 과거에도 문과는 이 내용을 배운 적이 없었다. [14] '2. 친일파 이시팔 시팔 이시팔'로 외울 수 있다. 이과 고등학생이라면 적어도 [math(2.718)] 정도까진 외워두는 게 좋다. 값의 크기를 비교할 때 써먹어야 하기 때문. 이를테면 3, [math(e)], 2의 대소를 비교하라 할 때. [15] 예를 들어 정승제 강사의 강의 중. [16] 삼각함수는 [math(e)]를 밑으로 하는 지수함수의 꼴로 바꿀 수 있다. 다만 이렇게 바꾸려면 오일러 공식을 활용하는 복소함수적 접근을 해야 하지만.



파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 문서의 r143에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기
파일:CC-white.svg 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 다른 문서에서 가져왔습니다.
[ 펼치기 · 접기 ]
문서의 r143 ( 이전 역사)
문서의 r ( 이전 역사)
[17]
  • 문서 삭제식 이동 (자연상수 → 자연로그)
  • 사유 1: 대한수학회 수학용어에서 자연상수란 용어는 존재하지 않음.
  • 사유 2: 정식적인 번역 용어는 자연로그의 밑이므로 자연로그의 하위 문단으로 구성하는 게 바람직함.

[17] 문서 역사가 있는 위치를 명기함.