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자연로그

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1. 개요2. 성질3. 자연로그의 밑4. 활용5. 복소로그함수6. 기타7. 관련 문서

[clearfix]

1. 개요

natural logarithm영어 / logarithmus naturalis라틴어 /

자연로그는 기호 [math(e)]로 표기되는 특정 상수를 밑으로 하는 로그다. 여기서 자연(naturalis)이란 수식어는 자연로그의 도함수를 도출하는 과정에서 밑이 동시에 '자연'스럽게 정의된다는 점이나, 자연로그의 밑을 지수의 밑으로 하는 지수함수의 미분 등에서 아주 깔끔한 결과가 얻어지는 데서 유래했다.

기호로 나타낼 때는 [math(\ln)][1]으로 쓰거나, 상용로그를 쓸 일이 거의 없는 곳에서는 [math(\log)]로 쓴다. 이렇게 사용하는 경우에는 상용로그가 나올 것 같으면 [math(\log_{10}a)]처럼 밑을 10으로 명시하거나 [math({\log a}/{\log 10})]와 같이 표기해 상용로그를 아예 없는 것처럼 취급한다. pH 계산이나 음향학 분야 및 고등학교 수학에서는 주로 전자, 대학 미적분학 분야에서는 주로 후자의 표기법을 사용한다.

2. 성질

자연로그 또한 로그의 일종이므로 로그에서 성립했던 성질들이 모두 성립한다. 단, [math(a)], [math(b)]는 양의 실수, [math(c)]는 1이 아닌 양의 실수, [math(m)], [math(n)]은 실수이다.
  • [math(\ln{a}+\ln{b}=\ln{ab})]
  • [math(\ln{a}-\ln{b}=\ln{\left(\dfrac{a}{b} \right)})]
  • [math(\ln{a}=\dfrac{\log_{c}{a}}{\log_{c}{e}})]
  • [math(\ln{a}=\dfrac{1}{\log_{a}{e}})] (단, [math(a \neq 1)])
  • [math(\ln{a^{m}}=m\ln{a})]
  • [math(\dfrac{n}{m}\ln{a}=\log_{e^{m}}{a^{n}})] (단, [math(m \neq 0)])
  • [math(e^{\ln{a}}=a)]

아래의 성질은 자연로그일 경우에만 성립한다.
  • [math(\displaystyle \ln{a} =\int_{1}^{a} \frac{1}{x}\,{\rm d}x \quad (a >0))]
  • [math(\displaystyle \ln{a} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}(a-1)^n}n \quad (a \in (-1,\,1] ))]

3. 자연로그의 밑

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4. 활용

4.1. 역함수

자연로그를 취하는 함수의 역함수는 로그함수 지수함수의 관계에 의해 [math(e^x)]이다.

4.2. 자연로그의 극한

4.2.1. 소수 정리

[math(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\pi(x)}{\left(\dfrac x{\ln x}\right)}=1)]

가우스 르장드르의 추측을 시작으로 리만 가설에 이르기까지 소수의 구조를 밝혀낼 열쇠가 되는 극한값이다. 자세한 내용은 문서 참고.

4.2.2. 오일러-마스케로니 상수

[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\left(\sum_{k=1}^n\frac1k-\ln n\right)}=\gamma)]

반비례 관계 그래프와 자연로그와의 차를 나타내는 극한값. 자세한 내용은 해당 문서 참고.

4.2.3. 특수한 함수의 극한

다음 극한을 고려해보자.
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} )]
식을 변형하면, 아래와 같은 극한 값을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} &=\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x}}\ln{(x+1)} \\&=\lim_{x\to 0}{\ln{(x+1)^{1/x}}} \\ &=\ln{\left[ \lim_{x\to 0}{(x+1)^{1/x}} \right]} \\ &=\ln{e} \\&=1 \end{aligned} )]
식의 전개에서 로그의 성질 및 [math(e)]의 극한을 사용한 정의를 사용했다.

또 다른 극한
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}} )]
의 경우 위 결과에서 로그의 밑이 [math(e)]에서 [math(a)]로 바뀐 형태이므로 따로 계산해보지 않더라도 그 결과를 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}}&=\log_{a}{e} \\&=\frac{1}{\ln{a}} \end{aligned})]

위 결과를 사용하여
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} )]
를 구해보자. [math(e^{x}-1=t)]로 치환하면 [math(x \to 0)]일 때, [math(t \to 0)]이고, [math(x=\ln{(t+1)})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}} &=\lim_{t\to 0}{\frac{t}{\ln{(t+1)}}} \\ &=\frac{1}{\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\ln{(t+1)}}{t}} \\ &=1 \end{aligned} )]
임을 얻을 수 있다. 더 나아가 이 극한 식이 의미하는 바가 무엇인지 살펴보자 극한 식을
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}} )]
형태로 쓰면, 곧 이것은 함수 [math(y=e^{x})]의 [math(x=0)]에서의 미분 계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같은 것임을 알 수 있다.

같은 방법으로 [math(a^{x}-1=t)]의 치환을 통해
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}=\ln{a} )]
임을 얻을 수 있고, 이 또한 함수 [math(y=a^{x})]의 [math(x=0)]에서의 미분 계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같다.

이상의 문단을 정리하면 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x+1)}}{x}} &=1 \\ \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{a}{(x+1)}}{x}} &=\frac{1}{\ln{a}} \\ \lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}&=1 \\ \lim_{x\to 0}{\frac{a^{x}-1}{x}}&=\ln{a} \end{aligned} )]

4.3. 미적분

4.3.1. 도함수

자연로그 함수 [math(\ln{x})]의 도함수를 구해보자. 도함수의 정의에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\ln{x})&=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{(x+h)}-\ln{x}}{h} \\&=\lim_{h \to 0} \frac{\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)}}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \frac{x}{h} \cdot {\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)}} \\&= \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} {\ln{\left( 1+\dfrac{h}{x} \right)^{x/h}}} \\&= \frac{1}{x} \ln{\left [ \lim_{h \to 0} \left( 1+\dfrac{h}{x} \right)^{x/h} \right] }\\&= \frac{1}{x} \ln{e } \\&= \frac{1}{x} \end{aligned})]
임을 알 수 있다.

4.3.2. 역도함수

자연로그 함수 [math(\ln{x})]의 역도함수를 구해보자. 이것을 구할 때는 부분적분을 사용해야 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int \ln{x}\,{\rm d}x &=\int 1\cdot \ln{x}\,{\rm d}x \\&=\left( \int 1\,{\rm d}x \right) \ln x-\int \left( \int 1\,{\rm d}x \right) \left\{ \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(\ln{x}) \right\} \,{{\rm d} x} \\&=x\ln{x}-\int x\cdot \frac{1}{x} \,{\rm d}x \\&=x\ln{x}-\int 1\,{\rm d}x \\&= x\ln{x}-x+\textsf{const.} \end{aligned})]
[math(\textsf{const.})]는 적분 상수이다.

4.3.3. 로그 적분 함수

[math(\displaystyle \begin{aligned}{\rm li}(x)&=\int_0^x\frac{{\rm d}t}{\ln t}\\ &=\int_{\ln x}^\infty\frac{e^{-t}}{t}\,{\rm d}t = {\rm Ei}(\ln x)\end{aligned})][2]

자연로그로 유도할 수 있는 특수함수이다. 자세한 내용은 로그 적분 함수 문서 참고.

4.4. 무한급수

[math(e^x)]을 테일러 전개한 식에 [math(x=1)]를 대입해 유도할 수도 있고, 위의 극한을 이용한 정의에서의 극한식을 이항정리를 이용해 정리해서 이 식을 유도할 수도 있다. 표현 자체만 다를 뿐 극한식과 급수식은 서로 동치 관계에 있다. 오일러가 이 방식으로 무한급수식을 도출한 바 있다.

[math(t\to0)]인 극한식에서 [math(t=n^{-1})]으로 치환해주면 [math(n\to\infty)]이며 지수가 [math(n)]으로 간단하게 표현되기에 이항 정리를 용이하게 적용할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{t\to0}\,(1+t)^{1/t}&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n \\
&=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\binom nr\frac1{n^r}\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\frac{n!}{r!{\cdot}(n-r)!}\frac1{n^r} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n!}{0!{\cdot}n!}\frac1{n^0}+\sum_{r=1}^n\frac{n!}{r!{\cdot}(n-r)!}\frac1{n^r}\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}\frac1{n^r}\right\} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\sum_{r=1}^n\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}{\left(1-\dfrac2n\right)}\cdots{\left(1-\dfrac{r-1}n\right)}}{r!}\right\} \\
&=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}}{2!}+\frac{1{\cdot}{\left(1-\dfrac1n\right)}{\left(1-\dfrac2n\right)}}{3!}+\cdots+\frac{\displaystyle \prod_{r=1}^n{\left(1-\frac{r-1}n\right)}}{n!}\right\} \\
&=\frac1{0!}+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots \\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} \end{aligned})]

한편, 자연로그에 관한 무한급수는 다음과 같이 전개된다. 로그 안에 들어가는 수가 [math(x)]가 아닌 [math(x+1)]임에 주의.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \ln\left(x+1\right) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^{n+1}x^n}n \\ &= x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \frac{x^4}4 + \cdots \quad (-1<x \leq 1) \end{aligned})]

변형으로 다음 급수가 있다.
[math(\displaystyle \ln x-\ln \left ( x-1 \right )=\sum_{n=1}^\infty \frac 1{nx^n} \quad (x >1))]

4.5. 경제학

기간 [math(t)] 동안에 이자율(증가율) [math(i)]로 연속 성장(continuously compounded)할 때 그 극한이 지수함수로 나타나는데 밑이 [math(e)]가 된다. 다음과 같이 유도할 수 있다. 의미는 연이자율 100 % 일때 무한히 짧은 기간으로 이자율을 쪼개 적용함으로서 복리효과를 누릴 수 있는 최대값이다. 이자율이 [math(n00\,\%)]일때에는 [math(e)]의 [math(n)]제곱이 적용된다.

연속 성장의 횟수가 [math(n)]이라고 하면 [math(1)]회 성장 기간은 [math(t/n)]이며 증가율은 [math({it}/n)]가 된다.

지난 성장 결과를 [math(a_k)]라고 하면 다음 성장 결과
[math(a_{k+1} = {\left(1+\dfrac{it}n\right)}a_k)]
이며 [math(a_0 = 1)]이라고 하면 이 점화식은 등비급수의 꼴이므로
[math(a_k = {\left(1+\dfrac{it}n\right)}^k)]
로 풀린다. [math(k=n)]일 때, [math(n\to\infty)]의 극한을 취하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n \to \infty}{\left(1+ \frac{it}n \right)}^n \\&= \lim_{n\to\infty}\biggl\{{\left(1+\frac{it}n\right)}^{n/it}\biggr\}^{it} \\&= e^{it} \end{aligned})]

[math(\ln(1+x)\approx x)] 로 근사하여 변화율을 구할 때도 쓴다.

5. 복소로그함수

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6. 기타

  • 모든 로그가 그렇듯 존 네이피어가 만들었다. 속도를 비교하는 미분방정식을 푸는 과정에서 나온다.
  • 자연로그에 1부터 10까지의 자연수 및 [math(e)], [math(\pi)]를 대입한 값은 다음과 같다. 소수점 아래 [math(32)]번째 자리수까지 확실한 값이며, 해당 자리수까지 반올림할 시엔 [math(33)]번째 자리의 숫자를 보고 판단하면 된다. 33번째 자리수는 반올림이 적용되어있지 않으며 [math(34)]번째 자리수 이후의 값을 생략한 것에 불과하니 주의할 것. 한자 문화권에선 단위로 끊어 쓰므로 편의를 위해서 4자리씩 끊었다.
    [math(\begin{matrix}\begin{aligned}\ln 1 &= 0\ \\ \ln 2 &= 0.6931\,4718\,0559\,9453\,0941\,7232\,1214\,5817\,6\cdots \\ \ln e &= 1 \\ \ln 3 &= 1.0986\,1228\,8668\,1096\,9139\,5245\,2369\,2252\,5\cdots \\ \ln \pi &= 1.1447\,2988\,5849\,4001\,7414\,3427\,3513\,5305\,8\cdots \\ \ln 4 &= 1.3862\,9436\,1119\,8906\,1883\,4464\,2429\,1635\,3\cdots \\ \ln 5 &= 1.6094\,3791\,2434\,1003\,7460\,0759\,3332\,2618\,7\cdots \\ \ln 6 &= 1.7917\,5946\,9228\,0550\,0081\,2477\,3583\,8070\,2\cdots \\ \ln 7 &= 1.9459\,1014\,9055\,3133\,0510\,5352\,7434\,4317\,9\cdots \\ \ln 8 &= 2.0794\,4154\,1679\,8359\,2825\,1696\,3643\,7452\,9\cdots \\ \ln 9 &= 2.1972\,2457\,7336\,2193\,8279\,0490\,4738\,4505\,1\cdots \\ \ln 10 &= 2.3025\,8509\,2994\,0456\,8401\,7991\,4546\,8436\,4\cdots \end{aligned}\end{matrix})]
  • 해석적 정수론에선 자연로그가 다수 합성된 꼴의 함수([math(\ln\ln\ln\ln x)] 같은 꼴)가 꽤 자주 나온다.
  • 울프럼 알파에선 Log[x]를 입력하면 자연로그로 처리한 뒤 10을 밑으로 갖는 로그를 찾은 경우를 대비해 짧은 설명과 링크를 달아준다. 문과와 연관된 금융공학에서도 [math(\ln x)]로 통일했다. 왜냐하면 자연로그와 상용로그를 쓰는 곳은 파생상품인데, 서로 쓰는 분야가 달라서 [math(\log x)]로 통일을 할 수가 없기 때문이다. 이 자연로그는 고교 및 대학 과정 이상의 미적분에서 빠질 수 없는 필수 요소다.

7. 관련 문서




[1] [math(\ln)]은 '자연로그'를 뜻하는 라틴어 'logarithmus naturalis'에서 유래했다. LN(엘엔)의 소문자 표기이며 '인(In; in)'이 아님에 주의. 그래서 손으로 쓸 때에는 [math(\ell\rm n)]처럼 쓰는 경우도 많다. [2] 두 번째 식은 지수 적분 함수를 이용해서 나타낸 식이다.



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[3]
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  • 사유 1: 대한수학회 수학용어에서 자연상수란 용어는 존재하지 않음.
  • 사유 2: 정식적인 번역 용어는 자연로그의 밑이므로 자연로그의 하위 문단으로 구성하는 게 바람직함.

[3] 문서 역사가 있는 위치를 명기함.