삼차방정식

1. 개요2. 비에트 정리3. 카르다노의 공식

1. 개요

cubic equation, 三次方程式
삼차방정식은 미지수의 가장 높은 차수가 3차인 방정식으로 [math(ax^3 + bx^2 + cx+ d = 0 \;(a\neq0))]의 꼴로 표현된다. 자세한 내용은 삼차함수 문서를 참고하도록 하자.

2. 비에트 정리

앞선 삼차방정식의 꼴

[math(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0)]

에 비에트 정리(Viete theorem)를 적용하면 근과 계수와의 관계에 따라 위 방정식의 해 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]에 대하여 다음 관계가 성립한다.

[math(\begin{aligned} -\frac ba &= \alpha+\beta+\gamma \\ \frac ca &= \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha \\ -\frac da &= \alpha\beta\gamma\end{aligned})]

이는 주어진 방정식을 [math(a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = 0)]으로 인수분해할 수 있다는 사실로부터 쉽게 유도할 수 있다.

3. 카르다노의 공식

우선 삼차방정식의 일반적인 꼴

[math(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0)]

에서 양변을 [math(a)]로 나누고 취른하우스 정리에 따라 [math(x = t - \dfrac b{3a})]를 대입하면

[math(\begin{aligned} &{\left(t - \frac b{3a}\right)}^3 + \frac ba{\left(t - \frac b{3a}\right)}^2 + \frac ca{\left(t - \frac b{3a}\right)} + \frac da \\ &= t^3 + {\left\{\frac ca - \frac13{\left(\frac ba\right)}^2\right\}}t + \frac2{27}{\left(\frac ba\right)}^3 - \frac{bc}{3a^2} + \frac da = 0\end{aligned})]

여기서 [math(\dfrac ca - \dfrac13{\left(\dfrac ba\right)}^2 = p)], [math(\dfrac2{27}{\left(\dfrac ba\right)}^3 - \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac da = q)]로 치환하면 위 식은

[math(t^3 + pt + q = 0)]

로 단순화 된다. 이때 [math(q = 0)]이라면 [math(t = 0)]을 근으로 갖는 것을 알 수 있으므로 [math(x = t - \dfrac b{3a})] 관계로부터 원래의 삼차방정식의 나머지 두 근 역시 찾을 수 있게 된다. 한편, [math(q\ne0)]이면 [math(t = 0)]은 해가 될 수 없으므로 [math(t = u + v \ne 0)]을 대입하면

[math(\begin{aligned} &(u+v)^3 + p(u+v) + q \\ &=u^3 + v^3 + 3uv(u+v) + p(u+v) + q \\ &= (u^3 + v^3 + q) + (u+v)(3uv + p) = 0\end{aligned})]

[math(u+v\ne0)]이므로 위 식이 항상 성립하기 위해서는

[math(\begin{cases} u^3 + v^3 + q = 0 \\ 3uv + p = 0 \end{cases})]

의 두 조건을 모두 만족해야 한다. 제2식에서 [math(v = -\dfrac p{3u})]를 제1식에 대입하면 다음과 같이 [math(u^3)]에 관한 이차방정식이 얻어지며

[math(\begin{aligned} &u^3 -{\left(\frac p{3u}\right)}^3 + q = 0 \\ &\Leftrightarrow (u^3)^2 + qu^3 - {\left(\frac p3\right)}^3 = 0 \end{aligned})]

근의 공식을 적용해서

[math(u^3 = -\dfrac q2\pm\sqrt{{\left(\dfrac q2\right)}^2 + {\left(\dfrac p3\right)}^3})]

한편 [math(u = -\dfrac p{3v})]로 치환한 경우에도 똑같은 식의 형태가 얻어지므로 [math(u^3)]과 [math(v^3)]은 서로 켤레근의 관계에 있음을 알 수 있다. 편의상 복부호 부분이 [math(+)]인 해를 [math(\alpha)]라고 하면 [math(u^3 = \alpha \Leftrightarrow u^3 - \alpha = 0)]이며 이 방정식은 다음과 같이 인수분해되며 복소수를 포함한 근이 얻어지는데

[math(u^3 - \alpha = {\left(u - \sqrt[3]\alpha\right)}{\left(u^2 + \sqrt[3]\alpha u + {\sqrt[3]\alpha}^2\right)} = 0 \\ u = \begin{cases} \sqrt[3]\alpha \\ \dfrac{-1+\sqrt3i}2\sqrt[3]\alpha \\ \dfrac{-1-\sqrt3i}2\sqrt[3]\alpha\end{cases})]

각 근의 계수는 [math(u^3 = 1)]의 근과 같으며 편의상 [math(dfrac{-1+sqrt3i}2 = omega)]로 나타내면 [math(u = \begin{cases} \sqrt[3]\alpha \\ \omega\sqrt[3]\alpha \\ \omega^2\sqrt[3]\alpha \end{cases})]로 간단하게 나타낼 수 있다. 한편, [math(v)]에 관하여, [math(3uv = -p)]에서 [math(p)]가 실수이므로 [math(u)]의 복소 계수 근은 [math(v)]와의 곱에 의해 실수화 되어야 한다. [math(\alpha)]의 켤레근을 [math(\beta)]라고 하면 [math(u)]의 각 경우에 관하여 [math(v = \begin{cases} \sqrt[3]\beta \\ \omega^2\sqrt[3]\beta \\ \omega\sqrt[3]\beta \end{cases})]가 되며 이를 종합하여 정리하면 [math(t)]의 근은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\begin{aligned} t &= u + v \\ &= {\left(\frac{-1+\sqrt3i}2\right)}^k\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{{\left(\frac q2\right)}^2+{\left(\frac p3\right)}^3}} + {\left(\frac{-1+\sqrt3i}2\right)}^{3-k}\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{{\left(\frac q2\right)}^2+{\left(\frac p3\right)}^3}} \quad (k=0,\,1,\,2) \end{aligned})]

위 식에 [math(p = \dfrac ca - \dfrac13{\left(\dfrac ba\right)}^2)], [math(q = \dfrac2{27}{\left(\dfrac ba\right)}^3 - \dfrac{bc}{3a^2} + \dfrac da)]를 대입하고 [math(t = x + \dfrac b{3a})]이므로 위 식에서 [math(\dfrac b{3a})]를 빼면 삼차방정식의 근의 공식이 얻어진다.

3.1. 환원 불능

[math(u^3)]과 [math(v^3)]에 관한 이차방정식에서 판별식 [math(D)]가

[math(\begin{aligned} D &= {\left(\frac q2\right)}^2 + {\left(\frac p3\right)}^3 \\ &= {\left\{\frac c{3a}-\frac19{\left(\frac ba\right)}^2\right\}}^3 + {\left\{\frac1{27}{\left(\frac ba\right)}^3-\frac{bc}{6a^2}+\frac d{2a}\right\}}^2 \\ &= {\left(\frac{c^3}{27a^3} - \frac1{27}\frac{b^2c^2}{a^4}\mathbin{\color{red}+}{\color{red}\cancel{\frac1{81}\frac{b^4c}{a^5}}}\mathbin{\color{blue}-}{\color{blue}\cancel{\frac1{729}\frac{b^6}{a^6}}}\right)}+{\left({\color{blue}\cancel{\frac1{729}\frac{b^6}{a^6}}}+\frac1{36}\frac{b^2c^2}{a^4}+\frac14\frac{d^2}{a^2}\mathbin{\color{red}-}{\color{red}\cancel{\frac1{81}\frac{b^4c}{a^5}}}+\frac1{27}\frac{b^3d}{a^4}-\frac16\frac{bcd}{a^3}\right)} \\ &= \frac{27a^2d^2-b^2c^2+4ac^3+4b^3d-18abcd}{108a^4}<0 \end{aligned})]

일 경우 해의 형태는 복소수의 세제곱근을 포함하는 복잡한 식이 되는데, 이 경우가 세 근이 실근인 경우[1]이고, 실수만을 이용해서 어떻게 표현되는지는 카르다노의 공식만으로는 알 수가 없다.[2] 이미 근 하나를 알고 있지 않는 한 실근으로 나타낼 수 있는 방법이 없으며[3] 이를 환원 불능(casus irreducibilis)이라고 한다. 이를테면 다음과 같은 방정식

[math(x^3 - 15x - 4 = 0)]

은 [math(x = 4)]를 근으로 가지므로 위 방정식은 [math((x - 4)(x + 2+\sqrt3)(x + 2-\sqrt3) = 0)]으로 인수분해가 되는데, 위의 카르다노의 공식을 적용하면 [math(D = (-2)^2 + (-5)^3 = -121<0)]이 되기 때문에

[math(x = {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^k\sqrt[3]{2+11i} + {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^{3-k}\sqrt[3]{2-11i} \quad (k=0,\,1,\,2))]

로 ~~쓸데없이~~ 너저분한 식이 된다.
이 경우엔 다음과 같이 해결이 된다. 우선 [math(k=0)]이면 두 세제곱근 항의 계수가 [math(1)]이 되므로 근은 세제곱근의 합임을 알 수 있는데 앞서 [math(u^3)]과 [math(v^3)]이 켤레근의 관계에 있다는 점에 착안하여, 두 세제곱근 역시 각각 켤레복소수의 관계에 있다고 가정하면 [math(\sqrt[3]{2\pm11i} = a\pm bi)]이며 두 세제곱근의 합이 [math(x = 4)]를 나타내는 것이라고 할 수 있으므로 [math(a = 2)]이고, 양변을 세제곱해서 [math(b)]를 구하면 [math(b = 1)]이 된다. 즉 위의 해는

[math(x = {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^k(2 + i) + {\left(\dfrac{-1+\sqrt3i}2\right)}^{3-k}(2 - i) \quad (k=0,\,1,\,2))]

로 고쳐쓸 수 있고, [math(x = -2-\sqrt3)]은 [math(k = 1)]일 때, [math(x = -2+\sqrt3)]은 [math(k = 2)]일 때의 근임을 알 수 있다. 그런데 이렇게 실근 하나를 모르고 있는 상태라면 복소수의 세제곱근이 [math(a + bi)]의 꼴로 나타내어진다고 식을 세우고 실수부와 허수부의 관계를 비교하여 방정식을 풀어야하는데, 결과적으로 또 다른 삼차방정식을 푸는 상황으로 귀결되며 이는 나중에 갈루아 이론에서 어떤 한 유리근의 존재를 모른다면 실수로 환원할 수 없음이 증명되었다.

4. 삼차 디오판토스 방정식

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한때 화제가 되었던 과일 문제[4]

정수론에서는 삼차 부정방정식이 등장하는데, 정수론에 걸맞게 구해야 하는 해가 정수 또는 유리수여야 하는 제약이 가해진다. 여기서 활용할 수 있는 강력한 도구가 타원곡선으로, 당장 위 문제도 타원곡선을 이용해 간신히[5] 풀렸다. 한국어 해설

저 문제를 푼 Alon Amit이 심오한 이론의 거대한 바다와 수백만 가지의 미해결 문제(a vast ocean of deep theory and a million open problems)라고 할 정도로 정수론의 주요하면서도 쉽사리 볼 수 없는 대상이다.

[1] 아울러 [math(D = 0)]이면 중근 혹은 삼중근, [math(D>0)]이면 실근 한 개와 두 허근을 갖는다. 전술한 것처럼 해의 형태가 [math(\omega^k\sqrt[3]\alpha+\omega^{3-k}\sqrt[3]\beta)]로서 서로 켤레복소수 관계에 있는 [math(\omega^k)], [math(\omega^{3-k})]이 곱해진 세제곱근의 합으로 나타나기 때문에, [math(D>0)]이면 실근이 하나([math(k=0 \Rightarrow \omega^3 = \omega^0 = 1)]이 되는 경우)라는 점은 자명하게 알 수 있다. [2] 유리수로 된 해가 있는지를 알아내려면 유리근 정리와 가우스의 다항식 보조정리를 이용해야 한다. 그러나 저 두 이론도 유리근의 후보를 제시하는 것 뿐이라 하나하나 대입해봐야 근인지 아닌지 알 수 있다. [3] 식 하나에 실수부와 허수부의 계수 2개가 들어간 삼차방정식을 또 풀어야 하기 때문에 풀리지 않는다. [4] 에르되시 번호가 2인 Alon Amit이 풀었는데, 해의 자릿수가 무려 79~81자리나 되었다. [5] Alon Amit의 풀이를 보면 알겠지만 타원곡선 교점을 찍어 푸는 노가다를 9번이나 해야 한다.