최근 수정 시각 : 2024-10-29 19:38:39

콜라츠 추측

Collatz conjecture에서 넘어옴
[math({\rm \Large C}\text{ollatz Conjecture})]
콜라츠 추측 관련 둘러보기 틀
[ 펼치기 · 접기 ]
----
이산수학
Discrete Mathematics
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px; word-break: keep-all"
이론
<colbgcolor=#3CC> 기본 대상 수학기초론( 수리논리학 · 집합론) · 수열 · 조합 · 알고리즘 · 확률
다루는 대상과 주요 토픽
수열 등차수열( 뛰어 세기) · 등비수열 · 계차수열 · 조화수열 · 귀납적 정의( 점화식) · 급수 · 규칙과 대응 · 규칙 찾기 · 피보나치 수열 · 읽고 말하기 수열 · 생성함수
조합 경우의 수( /공식) · 순열( 완전 순열 · 염주 순열) · 치환 · 분할( 분할수) · 최단거리 · 제1종 스털링 수 · 제2종 스털링 수 · 카탈랑 수 · 벨 수 · 라흐 수 · 포함·배제의 원리 · 더블 카운팅 · 조합론
그래프 수형도(트리) · 인접행렬 · 마방진 · 마법진 · 한붓그리기( 해밀턴 회로) · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제
기타 P-NP 문제미해결 · 4색정리 · 이항정리( 파스칼의 삼각형) · 이산 푸리에 변환 · 비둘기 집의 원리 · 상트페테르부르크의 역설 · 투표의 역설 · 에르고딕 가설미해결 · 콜라츠 추측미해결 · 시행착오 ( 예상과 확인) · 불 논리 · 브라에스 역설
관련 문서 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 · 컴퓨터 관련 정보 · 틀:수학기초론 · 틀:통계학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 }}}}}}}}}



[[컴퓨터공학|컴퓨터 과학 & 공학
Computer Science & Engineering
]]
[ 펼치기 · 접기 ]
||<tablebgcolor=#fff,#1c1d1f><tablecolor=#373a3c,#ddd><colbgcolor=#0066DC><colcolor=white> 기반 학문 || 수학( 해석학 · 이산수학 · 수리논리학 · 선형대수학 · 미적분학 · 미분방정식 · 대수학( 환론 · 범주론) · 정수론) · 이론 컴퓨터 과학 · 암호학 · 전자공학 · 언어학( 형태론 · 통사론 · 의미론 · 화용론 · 음운론) · 인지과학 ||
하드웨어 구성 SoC · CPU · GPU( 그래픽 카드 · GPGPU) · ROM · RAM · SSD · HDD · 참조: 틀:컴퓨터 부품
기술 기계어 · 어셈블리어 · C/ C++ · C# · Java · Python · BIOS · 절차적 프로그래밍 · 객체 지향 프로그래밍 · 해킹 · ROT13 · 일회용 비밀번호 · 사물인터넷 · 와이파이 · GPS · 임베디드 · 인공신경망 · OpenGL · EXIF · 마이크로아키텍처 · ACPI · UEFI · NERF · gRPC · 리버스 엔지니어링 · HCI · UI · UX · 대역폭 · DBMS · NoSQL · 해시( SHA · 브루트 포스 · 레인보우 테이블 · salt · 암호화폐) · RSA 암호화 · 하드웨어 가속
연구

기타
논리 회로( 보수기 · 가산기 · 논리 연산 · 불 대수 · 플립플롭) · 정보이론 · 임베디드 시스템 · 운영 체제 · 데이터베이스 · 프로그래밍 언어{ 컴파일러( 어셈블러 · JIT) · 인터프리터 · 유형 이론 · 파싱 · 링커 · 난해한 프로그래밍 언어} · 메타데이터 · 기계학습 · 빅데이터 · 폰노이만 구조 · 양자컴퓨터 · 행위자 모델 · 인코딩( 유니코드 · MBCS) · 네트워크 · 컴퓨터 보안 · OCR · 슈퍼컴퓨터 · 튜링 머신 · FPGA · 딥러닝 · 컴퓨터 구조론 · 컴퓨터 비전 · 컴퓨터 그래픽스 · 인공지능 · 시간 복잡도( 최적화) · 소프트웨어 개발 방법론 · 디자인 패턴 · 정보처리이론 · 재귀 이론 · 자연어 처리( 기계 번역 · 음성인식) · 버전 ( 버전 관리 시스템 · Git · GitHub)

''' 이론 컴퓨터 과학
{{{#!wiki style="display: inline-block; font-family:Times New Roman, serif;font-style:italic"'''
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"
<colbgcolor=#a36> 이론
기본 대상 수학기초론{ 수리논리학( 논리 연산) · 계산 가능성 이론 · 범주론 · 집합론} · 이산수학( 그래프 이론) · 수치해석학 · 확률론 통계학 · 선형대수학
다루는 대상과 주요 토픽
계산 가능성 이론 재귀함수 · 튜링 머신 · 람다대수 · 처치-튜링 명제 · 바쁜 비버
오토마타 이론 FSM · 푸시다운 · 튜링 머신( 폰노이만 구조) · 정규 표현식 · 콘웨이의 생명 게임 · 형식언어
계산 복잡도 이론 점근 표기법 · 튜링 기계^ 고전, 양자, 비결정론적, 병렬 임의접근 기계^ · 알고리즘 · 자료구조 · 알고리즘 패러다임( 그리디 알고리즘, 동적 계획법)
정보이론 데이터 압축( 무손실 압축 포맷 · 손실 압축 포맷) · 채널 코딩(채널 용량) · 알고리즘 정보 이론(AIT) · 양자정보과학
프로그래밍 언어이론 프로그래밍 언어( 함수형 언어 · 객체 지향 프로그래밍 · 증명보조기) · 메타 프로그래밍 · 유형 이론 · 프로그래밍 언어 의미론 · 파싱 · 컴파일러 이론
주요 알고리즘 및 자료구조
기초 정렬 알고리즘 · 순서도 · 탐색 알고리즘
추상적 자료형 및 구현 배열^ 벡터^ · 리스트^ 연결 리스트^ · 셋(set)^ 레드-블랙 트리, B-트리^ · 우선순위 큐^, 피보나치 힙^
수학적 최적화 조합 최적화 외판원 순회 문제 · 담금질 기법 · 유전 알고리즘 · 기계학습
볼록 최적화 내부점 방법 · 경사하강법
선형계획법 심플렉스법
계산 수론 및 암호학 밀러-라빈 소수판별법 · Pollard-rho 알고리즘 · 쇼어 알고리즘 · LLL 알고리즘 · 해시( MD5 · 암호화폐 · 사전 공격( 레인보우 테이블) · SHA) · 양자 암호
대칭키 암호화 방식 블록 암호 알고리즘( AES · ARIA · LEA · Camellia) · 스트림 암호 알고리즘(RC4)
공개키 암호화 방식 공개키 암호 알고리즘( 타원 곡선 암호 · RSA) · 신원 기반 암호 알고리즘(SM9)
계산기하학 볼록 껍질 · 들로네 삼각분할 및 보로노이 도형^Fortune의 line-sweeping 알고리즘^ · 범위 탐색^vp-tree, R-tree^ · k-NN
그래프 이론 탐색^ BFS, DFS, 다익스트라 알고리즘, A* 알고리즘^ · 에드몬드-카프 · 크루스칼 알고리즘 · 위상 정렬 · 네트워크 이론
정리
정지 문제 대각선 논법 · 암달의 법칙 · P-NP 문제미해결 · 콜라츠 추측미해결
틀:이산수학 · 틀:수학기초론 · 틀:컴퓨터공학 }}}}}}}}}


해석학· 미적분학
Analysis · Calculus
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"
<colbgcolor=#26455A>실수와 복소수 실수( 실직선 · 아르키메데스 성질) · 복소수( 복소평면 · 극형식 · 편각) · 근방 · 유계 · 콤팩트성 · 완비성
함수 함수 · 조각적 정의 · 항등함수 · 역함수 · 멱함수 · 다변수함수( 동차함수 · 음함수) · 다가 함수 · 함수의 그래프 · 좌표계 · 닮은꼴 함수 · 극값 · 볼록/오목 · 증감표
초등함수( 대수함수 · 초월함수 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수) · 특수함수 · 범함수( 변분법 · 오일러 방정식) · 병리적 함수
극한·연속 함수의 극한 · 수열의 극한 · 연속함수 · ε-δ 논법 · 수렴( 균등수렴) · 발산 · 부정형 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 특이점 · 0.999…=1
중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 스털링 근사 · 선형근사( 어림)
수열· 급수 수열( 규칙과 대응) · 급수( 멱급수 · 테일러 급수( /목록) · 조화급수 · 그란디 급수( 라마누잔합) · 망원급수( 부분분수분해)) · 그물
오일러 수열 · 베르누이 수열 · 월리스 곱
단조 수렴 정리 · 슈톨츠-체사로 정리 · 축소구간정리 · 급수의 수렴 판정 · 리만 재배열 정리 · 바젤 문제 · 파울하버의 공식 · 오일러-매클로린 공식 · 콜라츠 추측미해결
미분 미분 · 도함수( 이계도함수 · 도함수 일람) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 임계점( 변곡점 · 안장점) · 매끄러움
평균값 정리( 롤의 정리) · 테일러 정리 · 역함수 정리 · 다르부 정리 · 로피탈 정리
립시츠 규칙 · 뉴턴-랩슨 방법 · 유율법 · 경사하강법
적분 적분 · 정적분( /예제) · 스틸체스 적분 · 부정적분( 부정적분 일람) · 부분적분( LIATE 법칙 · 도표적분법 · /예제) · 치환적분 · 이상적분( 코시 주요값)
미적분의 기본정리 · 적분의 평균값 정리
리시 방법 · 2학년의 꿈
다변수· 벡터 미적분 편도함수 · 미분형식 · · 중적분( 선적분 · 면적분 · 야코비안) · 야코비 공식
라그랑주 승수법 · 오일러 동차함수 정리 · 선적분의 기본정리 · 스토크스 정리( 발산 정리 · 그린 정리 변분법
미분방정식 미분방정식( /풀이) · 라플라스 변환
측도론 측도 · 가측함수 · 곱측도 · 르베그 적분 · 절대 연속 측도 · 라돈-니코딤 도함수
칸토어 집합 · 비탈리 집합
복소해석 코시-리만 방정식 · 로랑 급수( 주부) · 유수 · 해석적 연속 · 오일러 공식( 오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
함수해석 공간 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 거리공간 · 프레셰 공간 · 노름공간 · 바나흐 공간 · 내적공간 · 힐베르트 공간 · Lp 공간
작용소 수반 작용소 · 에르미트 작용소 · 정규 작용소 · 유니터리 작용소 · 컴팩트 작용소
대수 C*-대수 · 폰 노이만 대수
정리 한-바나흐 정리 · 스펙트럼 정리 · 베르 범주 정리
이론 디랙 델타 함수( 분포이론)
조화해석 푸리에 해석( 푸리에 변환 · 아다마르 변환)
관련 분야 해석 기하학 · 미분 기하학 · 해석적 정수론( 1의 거듭제곱근 · 가우스 정수 · 아이젠슈타인 정수 · 소수 정리 · 리만 가설미해결) · 확률론( 확률 변수 · 중심극한정리) · 수치해석학 · 카오스 이론 · 분수계 미적분학 · 수리물리학( 양-밀스 질량 간극 가설미해결 · 나비에 스토크스 방정식의 해 존재 및 매끄러움미해결) · 수리경제학( 경제수학) · 공업수학
기타 퍼지 논리 · 합성곱
}}}}}}}}} ||

1. 개요2. 어떤 추측인가?3. 해결하기 어려운 이유4. 일반화5. 페르마의 마지막 정리와의 비교6. 테렌스 타오의 접근7. 여담8. 관련 링크

1. 개요

로타르 콜라츠(Lothar Collatz)가 1937년에 제기한 추측. 페르마의 마지막 정리와 같이 수학자들을 고민에 빠트린 전설의 문제이다.

이에 대한 대표적인 권위자로 제프리 라가리어스(Jeffrey C. Lagarias)[1] 교수가 있다. 제프리 교수는 2010년에 이 문제에 대한 알려진 정보만을 토대로 "이것은 현재의 수학에서 완전히 벗어난 매우 어려운 문제입니다"라고 주장했다.

2. 어떤 추측인가?

이른바 "우박수" 또는 "우박 수열"이라는 이름으로 아는 사람이 많을 것이다. 이는 수가 커졌다 작아졌다를 반복하다 결국 1에 수렴하는 걸 비구름에서 빗방울이 오르락내리락하며 우박이 되는 모습에 빗대어 그렇게 부르는 것이다.
[math(T(n) = \left\{\begin{array}{cl} \cfrac n2 & (n\textsf{이 짝수일 때}) \\ 3n+1 & (n\textsf{이 홀수일 때}) \end{array} \right.)]
이 함수 [math(T(n))]을 모든 자연수 [math(n)]에 대해 유한번 재귀 반복하면 1로 간다는 추측이다. 약간 변형된 표현으로
[math(T'(n) = \left\{\begin{array}{cl} \cfrac n2 & (n\textsf{이 짝수일 때}) \\ \cfrac{3n+1}2 & (n\textsf{이 홀수일 때}) \end{array}\right.)]
라고 제시하기도 한다. 홀수에 대해서 [math(3n+1)]을 하면 무조건 짝수가 되는데 그 다음 단계에서 2로 나누게 되므로 한 단계를 생략하고 미리 2로 나눈 것이다. 이 수열의 끝이 1이냐 아니냐만 중요하기에 중간 단계를 간략화하는 것은 별다른 영향을 주지는 않는다. 단, 최대 얼마까지 커지느냐를 따지는 경우라면 원래의 표현을 기준으로 해야 한다.

이를 풀어서 설명하자면 1을 제외한 아무 자연수나 생각한 다음, 그게 홀수라면 3을 곱한 다음 1을 더하고, 짝수라면 2로 나눈다. 그렇게 나온 수를 다시 저 식에 집어 넣고 이하 반복, 이걸 계속하다 보면 1이 나온다는 것이다. 예를 들어 5에서 시작하면 5는 홀수니까 [math(3\times5+1=16)]이 되고 16은 짝수니까 [math(16\div2=8)], 이후 4와 2를 거쳐 1에 도달하게 된다.

이 추측의 반례는 아직 나오지 않았고, 아마도 참일 것으로 추정된다. 반례가 하나라도 나오는 순간 별다른 증명이 필요없이 저 추측은 거짓인 것으로 문제가 끝나기 때문이다. 이미 1980년대에 컴퓨터를 이용해 약 1([math(=10^{20})])까지의 수를 넣어보았지만 모두 1에 도달했다. 2020년, [math(2^{68})]([math(=2.95×10^{20})])까지 참으로 드러났다.

이 추측은 [age(1937-01-01)]년이 넘도록 풀리지 않고 있다. 게다가 상금도 걸려 있다. 1000파운드와 500달러의 상금이 걸려 있는데, 이중 500달러의 상금을 건 사람은 에르되시 팔이다.[2] 또한 1.2억 엔(약 11억)의 상금을 지급한다. #

3. 해결하기 어려운 이유

콜라츠 추측이 풀기 어려운 이유를 알려면 일단 이것부터 알아야 한다. 점근 표기법은 [math(\mathcal O(f(x)))]의 형식으로 표기되며 영어로는 Big O notation이다. [math(\mathcal O(f(x))=g(x))]가 의미하는 바는 [math(f(x))]에 비해 [math(g(x))]의 값이 일정 범위 내에서 항상 같거나 떨어진다는 것이다. 콜라츠 추측은 이 Big O notation에 의한 분류에서 야생 함수로 분류된다.

그리고 원시함수이기 때문에 증가율이 항상 높다. 이것 때문에 심지어 "항상 콜라츠 함수의 값은 감소한다"는 명제도 증명이 안 되고 있다.

4. 일반화

결론부터 말하면 일반화를 해도 진전이 없다. 콘웨이의 생명 게임 창시자로 유명한 존 호튼 콘웨이 1972년 정지 문제를 이용해 일반화한 문제는 결정 불가능하다고 증명했기 때문이다. 콜라츠 추측 자체가 결정 불가능하다는 게 아니다. 콜라츠 추측은 짝수면 [math(\cfrac12)]을 곱하고 홀수면 [math(3n+1)]을 하는 함수 [math(g)]가 주어지고 모든 [math(n)]에 대해 이것이 수렴하는지 묻는 것인데 이제는 자연수 [math(P)]가 주어진 상황에서 다음과 같이 [math(n~(\bmod P))]에 따라서 서로 다른(혹은 일부는 같아도 상관 없다) [math(P)]개의 일차함수를 통해 값을 반환하는 더 일반화된 함수 [math(g)]를 생각하자는 것이다.
[math(g(n) = \left\{ \begin{array}{lcl} g(Pk) &= g_1(k) \\ g(Pk+1) &= g_2(k) \\ \vdots \\ g(Pk+(P-1)) &= g_P(k) \end{array}\right. )]
이때 콘웨이의 증명은 특정한 함수 [math(g)]가 주어졌을 때 임의의 [math(n)]에 대하여 [math(g^m(n)=1)]을 만족하는 [math(m)]이 항상 존재하는지 찾는 알고리즘은 결정 불가능하다는 것이다.[3]

[math(P=1)]인 경우 [math(g)]는 자명하게 계속 증가하거나 감소한다.

콜라츠 추측은 다음과 같이 표현할 수도 있다.
[math(P=2)], 자연수 [math(k)]에 대해
[math(T(n) = \left\{ \begin{aligned} T(2k) &= k \\ T(2k+1) &= 3k+2 \end{aligned} \right.)]
그리고 2007년 Simon과 Kurtz는 이를 [math(n>0)]인 경우로만 한정하는 대신 모든 [math(n>0)] 에 대해 1로 수렴하는지 물어보는 문제로 바꾸어 이 문제 역시 결정 불가능함을 증명했다. 더 놀라운 것은 2015년에는 [math(\bmod P)]에서 [math(P)]를 [math(P=6480)]으로 고정시켜도 그 문제 역시 결정 불가능하다는 것이 증명되었다.

이러한 결과들은 콜라츠 추측을 일반화시켜 연구하는 것이 어려울 것임을 시사한다. 그러나 콜라츠 추측의 참/거짓/증명불가능성과는 직접적인 연관이 없는데 일반화된 알고리즘이 없어도 각 경우를 모두 풀 수 없는 것은 아니기 때문이다.[4]

위의 일반화된 [math(g)]함수와 같은 꼴을 띠는 특정[5] 문제를 콜라츠 추측 유사 문제라고 부르는데, 특히 입출력이 없는 튜링 머신에서 이러한 경향성을 보이는 경우가 있다. 이러한 튜링 머신을 통틀어 Collatz-like Busy Beaver라고 부른다. 이들은 낮은 수의 바쁜 비버 연구에서 핵심적인 역할을 한다. 특히 일부 튜링 머신의 정지 여부를 판단하는 것은 콜라츠 추측과 비슷한 난이도를 가지고 있을 것으로 보인다.[6]

5. 페르마의 마지막 정리와의 비교

증명의 악랄한 난이도에 비해 문제 자체는 초등학생도 이해할 수 있을 정도로 단순하다.[7] 당장 사칙연산 자연수의 개념만 알아도 이해가 되기 때문. 페르마의 마지막 정리는 그래도 지수의 개념은 알아야 되고 리만 가설 복소수와 리만 함수에 대한 이해가 필요하다는 점을 생각해보면 콜라츠 추측이 얼마나 단순한지 알 수 있다.

지금 당장 구글에 The proof of the Collatz conjecture이라고 치면 전문 수학자부터 20살, 심지어 15살이 쓴 논문까지 존재한다. 그리고 아무것도 동료평가를 통과하지 못했다. 이렇게 계속 증명 시도가 좌절되니 괴델의 불완전성 정리에 따른 증명 불가능설이 고개를 들고 있으며 상당한 신빙성을 얻고 있다.[8]

6. 테렌스 타오의 접근

2019년 9월 8일 타오가 콜라츠 추측을 건드렸다. 논문 기사
  • 어떤 함수 [math(f(x))]에서
  • [math(x)]가 무한히 커질 때 [math(f(x))]도 무한이 되면
  • 거의 모든 자연수 [math(N)]에 콜라츠 함수를 반복하면 [math(f(N))] 이하로 언젠가는 떨어진다.
    • '거의 모든'이라는 표현이 언뜻 보기엔 수학적이지 않아 납득이 안 갈 수 있는데, 사실 이는 수학적 표현이다. 조건을 만족시키는 수의 확률이 1에 수렴한다는 것을 의미한다.[9]
  • 이 말은 '거의 모든 자연수에 대하여 콜라츠 추측이 성립한다'와 동치이다. 로그를 여러 번 사용한 함수같이 매우 천천히 무한으로 발산하는 함수가 있기 때문이다.

물론 이 말은 콜라츠 추측 자체를 증명한 것이 아니다.[10] 참고로 "콜라츠 추측은 (거의) 필연적으로 감소한다"는 것은 타오 이전에도 이미 증명되었는데 1976년에 [math(f(x)=x)]인 경우[11][12]가 1979년에 [math(f(x)=x^{0.869})]인 경우가, 1994년에 [math(f(x)=x^{0.7925})]인 경우가 증명되었기 때문이다. 즉 타오의 업적은 이를 엄청나게 일반화 시켜서 '거의 모든 자연수에 대하여 콜라츠 추측이 성립한다'를 증명한 것이다.[13] 2020년 타오 본인이 정리한 프레젠테이션을 보면 관련 내용이 언급된다.

타오가 제시한 방법은 케임브릿지 수학 저널에 게재되었다 저널 논문. 물론 이 증명이 참이라 해도 여전히 반례가 존재할 가능성은 있다. 단적으로 임의의 [math(N\in\N)]이 합성수일 확률은 1에 수렴하지만(즉 거의 모든 자연수는 합성수이지만) 그 반례인 소수는 가산무한히 많음이 잘 알려져 있다.

7. 여담

만약 이 추측이 거짓이라면 1로 가지 않는 반례가 존재한다는 것을 의미한다. 수학자들은 이런 '예상되는 반례'가 만약 진짜 존재한다면, 자기 자신으로 순환하는 루프가 존재할 것으로 생각한다.[14] 예를 들어 콜라츠 추측을 [math(3n+1)] 이 아니라 [math(3n-1)] 로 살짝 변경하면 5의 경우 아래와 같은 루프가 만들어 진다.
counter example of (3n-1) problem
5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5
17의 경우에도 비슷한 루프가 만들어진다.
counter example of (3n-1) problem
17 → 50 → 25 → 74 → 37 → 110 → 55 → 164 → 82 → 41 → 122 → 61 → 182 → 91 → 272 → 136 → 68 → 34 → 17
비록 [math(3n-1)]의 명제의 경우 반례가 있어서 거짓으로 증명되었지만 1억까지 대입했을 때 5 루프와 17 루프 이외의 다른 루프(반례)는 없었다고 한다. 확률적으로 감소한다는 통계가 유한번 재귀했을 때 1로 수렴하는 것을 증명하지 못한다는 걸 보여주는 좋은 예시라고 할 수 있다.

[math(3n-1)] 문제는 [math(3n+1)] 문제를 음수로 확장한 것과 동일하다. 즉, 위의 2개의 루프를 음수로 확장한 [math(3n+1)] 로 생각할 경우 아래와 같이 된다.
-5 → -14 → -7 → -20 → -10 → -5
-17 → -50 → -25 → -74 → -37 → -110 → -55 → -164 → -82 → -41 → -122 → -61 → -182 → -91 → -272 → -136 → -68 → -34 → -17

그리고, 4 → 2 → 1 루프와 마찬가지로 -1 → -2 로 로 반복되는 기본 루프가 또하나 존재한다.

다른 가능성으로는 무한히 발산한다는 것이 있다. 단 이는 반례의 존재 증명이 어렵다는 문제점이 있다. 그래서 허무맹랑해 보이기도 하지만 존재하지 않는 것이 거의 확실해 보이기로는 순환 루프나 발산이나 오십보백보 수준이다.

8. 관련 링크



[1] <The Ultimate challenge: The 3x+1 problem>이라는 관련 서적을 쓰기도 했으며 이 외에도 리만 가설을 조화수열 형태로 정리한 걸로 유명하다. [2] 에르되시가 500달러를 걸었지만 증명이 안 되자 "수학은 아직 이런 문제를 풀 준비가 되어있지 않다"(Mathematics may not be ready for such questions)라는 말을 남겼다. [3] 사실 이 [math(g)]가 튜링 완전하기 때문에 정지 문제가 적용된다. 그래서 이걸로 만든 프로그래밍 언어를 FRACTRAN이라고 한다. 콘웨이가 짠 [math(P=6\,469\,693\,230)]짜리 소수 생성 프로그램은 덤 [4] [math(P=1)], [math(g(x)=2x)]와 같은 경우가 있다. [5] 즉 [math(P)]와 [math(g)]가 정해진 경우 [6] 정작 원본 콜라츠 추측과 동치인 튜링 머신은 아직 발견되지 않았으며, 대신 약한 콜라츠 추측과 동치인 124 상태 바쁜 비버가 있다. [7] 피보나치 수열과 함께 금성출판사의 2024년 푸르넷 초등 4학년 6월달 교재의 규칙 찾기 단원에 언급될 정도다. [8] 상술했듯 이미 일반화한 문제는 결정 불가능함이 증명되었기도 하다. [9] 참고로 '거의 모든'(almost all, almost everywhere 등)은 분야마다 조금씩 다른 의미로 쓰이는데, 해석적 정수론과 확률론 등 해석학 계열 연구분야에서는 이 말을 '해당 조건을 만족하지 못하는 원소의 모임은 측도 0이다'나 '이 성질이 성립할 확률이 1에 수렴한다' 등의 의미로 사용하는 경우가 많다. 해석학적 맥락에서 이들은 사실상 같은 뜻이며, 위상수학 및 동역학계 관련 분야에서 쓰이는 경우에도 제각기 비슷한 맥락의 의미로 쓰인다. [10] 당장 아래 문단에 있는 [math(3n-1)] 문제에 대해서도 같은 논리를 적용할 수 있기 때문이고 이 문제의 경우 1로 끝나지 않는 루프가 발견되었기 때문이다. [11] 즉, 콜라츠 함수를 반복할 경우 초기값보다 작아질 확률은 1이다. [12] 이 버전을 거의 모든 자연수 [math(N)]에서 모든 자연수 [math(N)]으로 바꿔 증명할 수만 있다면 콜라츠 추측도 무한강하법으로 증명할 수 있지만 아직까진 아무도 성공하지 못했다. [13] 참고로 2003년에는 충분히 큰 자연수 [math(N)]에 대해 [math(N)] 이하의 자연수 중 최소 [math(N^{0.84})]만큼은 콜라츠 추측이 성립한다는 것이 증명되었다. [14] 1993년 Eliahou는 반례가 등장할 수 있는 루프의 길이를 구하는 공식을 발견했는데 최소길이가 무려 17,087,915이므로 루프를 찾기가 쉽지는 않다.