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이산수학 Discrete Mathematics |
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1. 개요
Bell number집합을 분할하는 방법의 수로, 원소의 개수가 [math(n)]인 집합을 분할하는 방법의 수에 대하여 이를 연구한 1930년대 영국의 수학자 에릭 템플 벨의 이름을 따 [math(n)]번째 벨 수라고 하며 [math(B_n)]으로 나타낸다. 베르누이 수와 표기가 완전히 같기 때문에, 혼동을 피하기 위해 사용시에는 정의를 명확히 해줄 필요가 있다.[1]
제9항까지의 값은 다음과 같다.
| [math(n)] | [math(0)][2] | [math(1)] | [math(2)] | [math(3)] | [math(4)] | [math(5)] | [math(6)] | [math(7)] | [math(8)] | [math(9)] |
| [math(B_n)] | [math(1)] | [math(1)] | [math(2)] | [math(5)] | [math(15)] | [math(52)] | [math(203)] | [math(877)] | [math(4140)] | [math(21147)] |
2. 성질
-
제2종 스털링 수 [math(S(n,\,k))]와는 다음과 같은 관계가 있다.
[math(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n S(n,\,k))]
집합론을 이용한 제2종 스털링 수의 정의가 ‘[math(n)]개의 원소로 구성된 집합을 [math(k)]개로 분할하는 경우의 수’이므로 위의 관계는 자명하다. -
[math(B_n)]은 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.
[math(\displaystyle B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom nk B_k )]
집합 [math(\{1,\,2,\cdots\cdots,\,n+1\})]을 분할한다고 하자. 이때 각각의 분할에서는 [math(1)]을 원소로 갖는 집합이 있을 것이다. [math(1)]을 원소로 갖는 집합의 원소의 개수가 [math(k)]가 되도록 분할하는 경우의 수는 [math(n)]개 중에서 [math(1)]을 제외한 [math((k-1))]개를 고르는 경우의 수 [math(\dbinom n{k-1})]에 나머지 [math(n-(k-1))]개의 원소를 분할하는 경우의 수 [math(B_{n-k+1})]를 곱한 값 [math(\dbinom n{k-1} B_{n-k+1})]임을 알 수 있다. [math(k)]는 [math(1)]부터 [math((n+1))]까지의 값을 취할 수 있고 [math(k)]가 다른 값을 취할 때 중복되는 경우는 없으므로 합의 법칙에 의하여
[math(\displaystyle B_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}B_{n-k+1} = \sum_{k=0}^n \binom nk B_{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom n{n-k}B_k = \sum_{k=0}^n \binom nk B_k)]