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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)은 프랑스의 수학자 알렉상드르 테오필 방데르몽드(Alexandre-Théophile Vandermonde,1735~1796)의 이름을 따서 지은 행렬이다.[1][2] 오귀스탱루이 코시등이 일반화하여 기술한 바 있다.간단히 말하면 [math(F)]와 [math(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \in F)]에 대해, 각 행이 초항이 1인 등비수열로 주어진 행렬이다. 이를 표현하면 아래와 같다.
[math(V=\begin{pmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots &\alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \cdots & \alpha_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \cdots & \alpha_m^{n-1} \end{pmatrix})]2. 행렬식
처음 몇 개의 [math(n)]에 대해, [math(\det V)]의 값은 다음과 같다.[math(\displaystyle (n=2)\quad\det\begin{pmatrix} 1 & a_1 \\ 1 & a_2 \end{pmatrix} = a_2 - a_ 1 )]
[math(\displaystyle (n=3)\quad\det\begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 \\ 1 & a_2 & a_2^2 \\ 1 & a_3 & a_3^2 \end{pmatrix})]
[math(\displaystyle \qquad\qquad =\det\begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 \\ (1-1) & \left(a_2-a_1 \right) & \left(a_2^2 -a_1^2\right) \\ 1 & a_3 & a_3^2 \end{pmatrix} \quad )] ( 행연산 [math(R_2 \leftarrow R_2-R_1)])
[math(\displaystyle \qquad\qquad =\det\begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 \\ 0 & \left(a_2-a_1 \right) & \left(a_2^2 -a_1^2\right) \\ 0 & \left(a_3-a_1 \right) & \left(a_3^2 -a_1^2\right) \end{pmatrix} \quad)] (행연산 [math(R_3 \leftarrow R_3-R_1 )])
[math(\displaystyle \qquad\qquad = 1 \cdot \left( \left(a_2 -a_1 \right) \left(a_3^2 -a_1^2 \right) - \left(a_2^2 -a_1^2 \right) \left(a_3 -a_1 \right) \right) - 0(0) + 0(0))]
[math(\displaystyle \qquad\qquad= \left(a_2 -a_1 \right) \left(a_3 -a_1 \right) \cdot \left( \left(a_3 + a_1 \right) - \left(a_2 + a_1 \right) \right) )]
[math(\displaystyle \qquad\qquad = \left(a_2 -a_1 \right) \left(a_3 -a_1 \right) \left( a_3 - a_2 \right) )]
일반화하자. 행렬식의 정의로부터 [math(\det V= \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn} \left(\sigma\right) \prod_{i=1}^n (\alpha_{\sigma(i)})^i )]이고, 이는 [math(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)]에 대한 차수가 [math(\frac{n(n+1)}{2})]인 동차다항식이다. 또한 [math(\alpha_i = \alpha_j\ (i\ne j))]라고 가정하면, [math(V)]의 [math(i)]행과 [math(j)]행이 같으므로 [math(\det V = 0)]이다. 따라서, [math(\det V)]는 [math(\alpha_i - \alpha_j)]를 인수로 가진다. 이것이 임의의 서로 다른 [math(i,j)]에 대해 성립하므로,
[math(\displaystyle \det V = Q(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j))]
를 만족하는 다항식 [math(Q(\alpha_1, \cdots, \alpha_n))]이 존재한다. 우변에서 서로 다른 [math(i, j)]를 선택할 수 있는 경우의 수가 [math(\binom n 2=\frac{n(n+1)}{2})]고, 양변의 차수를 비교하면 [math(Q)]는 상수이다. 적당한 항을 하나 선택해서 (e.g. [math(\alpha_1^1 \cdots \alpha_n^n)]) 양변의 계수를 비교해 [math(Q=1)]임을 알 수 있다.따라서, 임의의 [math(n)]에 대해 방데르몽드 행렬의 행렬식은 다음과 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \det V = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j))]
이로부터 [math(V)]가
가역일 필요충분조건은 [math(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)]이 서로 다른 값을 가지는 것임을 알 수 있다. [math(n)]개의 점을 지나는 (n-1)차
보간 다항식을 항상 찾을 수 있는 것도 이 때문이다. 3. 수직 행렬
방데르몽드 행렬식 [math( \left(a_2 -a_1 \right) \left(a_3 -a_1 \right) \left( a_3 - a_2 \right) )] 으로부터[math( V= \begin{pmatrix}a_1^0 & \color{red}{a_1^1} & a_1^2 & \cdots &a_1^{n-1} \\ a_2^0 & \color{red}{a_2^1} & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ a_3^0 & \color{red}{a_3^1} & a_3^2 & \cdots & a_3^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ a_m^0 & \color{red}{a_m^1} & a_m^2 & \cdots & a_m^{n-1} \end{pmatrix} )] 을 조사하고 수직행렬의 성질을 확인할수있다.
4. 방데르몽드 행렬의 변형
방데르몽드 행렬을 등비수열에서 등차수열로 변형하고 다음과 같은 힙 알고리즘 및 군론(group theory)을 만족하는 등차수열 방데르몽드 행렬을 얻을수있다.초항(1st term)및 공차(common difference)가 [math(1)]인 등차수열[math((a+d)_n)]의 [math(n\times n)]행렬.
[math( V= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots \\ \end{pmatrix} )]
5. 관련 문서
[1]
(MacTutor) Alexandre-Théophile Vandermonde
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Vandermonde/
[2]
NOTICE SUR L'ÉLIMINATION.Suite. ( V. t . I , p. 125. ) FONTAINE , VANDERMONDE , LAPLACE
http://www.numdam.org/article/NAM_1846_1_5__153_1.pdf