최근 수정 시각 : 2024-06-10 16:48:15

연립방정식

선형대수학
Linear Algebra
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1. 개요2. 연립일차방정식
2.1. 미지수가 2개인 연립일차방정식(이원일차연립방정식)2.2. 일반적인 풀이
2.2.1. 계산 예시
2.3. 절댓값이 있는 연립방정식2.4. 3개 이상의 미지수가 있는 연립방정식
2.4.1. 풀이 I2.4.2. 풀이 II2.4.3. 풀이 III
3. 2차 이상의 연립방정식
3.1. 중등교육과정
3.1.1. 연립이차방정식
3.1.1.1. 이차식 & 일차식 꼴3.1.1.2. 이차식 & 이차식 꼴
3.2. 고등교육과정
4. 연립미분방정식5. 연립적분방정식


[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} &= 0 \\
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \\
\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \\
\end{aligned} \end{cases} )]

대표적인 연립방정식인 맥스웰 방정식.

1. 개요

(연립방정식) / simultaneous equations
(방정식계) / system of equations

방정식계라고도 한다. 방정식 중에서 복수의 방정식이 세트로 묶여 있는 것을 일컫는다.

미지수가 2~3개 정도인 1차 연립방정식 정도는 여러 가지의 초보적인 계산법이 있긴 하지만, 가장 확실하고 보편적인 방법은 행렬을 이용하는 것이다.

미지수의 개수에 따라 n원 연립방정식으로 정의한다.[1] 경제학과 학생들의 주적. (구조 공학도에게도 주적이다)

가장 널리 알려진 연립방정식으로는 맥스웰 방정식이 있다.

1차 연립방정식에 대해 처음 배울 때 실생활에 비유해서 흔히 나오는 설명이 바로 '동물의 마리 수와 다리 수 계산하기'이다. 가령 토끼가 총 a마리가 있고 다리 수를 모두 더하면 b개가 될 때 닭과 토끼는 각각 몇 마리인지 계산하는 것.

2. 연립일차방정식[2]

2.1. 미지수가 2개인 연립일차방정식(이원일차연립방정식)

[math(\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases})]
위의 꼴로 정리되는 방정식을 뜻한다. 중학교 2학년 때 배우며, 일차함수, 직선의 방정식하고도 연결된다. [3] 선형 연립 방정식이라고도 한다. 선형을 수식의 형태로 나타내면 일차가 되므로 같은 말이다. 선형대수학에서는 벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 함수[4]로써 다루게 된다.

역사적으로 본다면 행렬은 '연립 일차 방정식의 풀이를 어떻게 하면 될까'라는 고민을 한데서 시작했다. 아서 케일리가 연구하던 중에 [math( ad - bc )] 의 값에 따라 연립 방정식의 해가 다르게 나오는 것을 보고 얘네가 해를 판별한다는 관점에서 determinant라고 부른데서 행렬식이 탄생했고, 윌리엄 로원 해밀턴이 '야, 그러면 연립 방정식의 계수랑 변수를 따로 떼어내서 쓰면 어떨까?'라는 생각에서 행렬이 탄생했다(그래서 역사적으로 따지고 보면 행렬식이 먼저 나오고 행렬은 나중에 나온 것이다).

연립 방정식의 풀이는 크게 두가지 관점으로 나뉘는데, '해가 존재 하는가? 존재하지 않는가?'라는 관점이 있고, '해가 존재하는가? 그러면 한 쌍만 나오는가? 아니면 여러개 나오는가?'라는 관점이 있다.
연립방정식 중에서 가장 만만한 녀석이므로 해법이 다양한 편이다.
  • 대입법: 연립방정식의 한 식을 한 문자에 관해서 푼 후 다른 식에 대입해서 푼다.
  • 가감법: 위 식에서 [math( (a - c)x + (b - d)y = (p - q) )] 꼴로 변환한다. 이 때 [math( a - c = 0 )] 또는 [math( b - d = 0 )] 이면 쉽게 풀 수 있다. 둘 다 0이 아니면 한 식의 양변의 일정한 실수를 곱해서 한 쪽을 0으로 만들어야 한다.[5]
    • 가우스 소거법: 위의 가감법을 행렬에 기반한 기계적인 알고리즘으로 바꾼 것. 가감법이랑 기본 원리는 같으며, 미지수가 3개 이상이 되어도 계산 순서가 바뀌지 않아 프로그래밍에 유리하다는 장점이 있다.
  • 함수로 변형: 두 식을 [math( y = ax + b )] 꼴로 변형한다. 여기서 공통되는 유일한 y 값을 구하고 x 값을 구한다. 하지만 유일한 y 값이 없다면 답이 없다. 정확히는 해가 무수히 많거나(두 함수의 그래프가 일치), 아예 없거나(두 함수의 그래프가 평행 혹은 만나지 않음). 아니면 식 하나를 똑같이 [math( y = ax + b )] 꼴로 변형하고 다른 식의 y를 저걸로 치환해 버리든가.[6]
  • 행렬 사용: [math(\begin{pmatrix}a \quad b\\c \quad d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix})] 꼴로 바꿔서 역행렬을 구한다.[7]
  • 크라메르 공식: [math(x=\displaystyle\frac{{\begin{vmatrix}
p & b\\
q & d
\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}}}=\frac{pd-bq}{ad-bc})], [math(y=\displaystyle\frac{{\begin{vmatrix}
a & p\\
c & q
\end{vmatrix}}}{{\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}}}=\frac{aq-pc}{ad-bc})]
  • 미지수가 2개라면 간단한 근의 공식이 생긴다.
    [math(\begin{cases} ax+by=p \\ cx+dy=q \end{cases})]가 주어졌을 때
    • 위쪽 식을 이항해서 정리하면 [math(\displaystyle x=\frac{p-by}{a})]
    • 이 식을 아래 식 [math(cx+dy=q)]에 넣고 [math(y)]에 대해서 풀면 [math(\displaystyle y=\frac{aq-cp}{ad-bc})]가 된다.
    • 여기서 [math(x)]를 구하는 식에 [math(y)]의 값을 넣어서 풀면 [math(\displaystyle x=\frac{dp-bq}{ad-bc})]가 된다.
    • 이 근의 공식을 행렬로 표현하면 위에서 말한 '역행렬'과 동치가 된다: [math(\dfrac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix})]
  • 예상과 확인: 그냥 시행착오법이다. 일일이 아무거나 넣어보는(...) 방식으로서, 그다지 수학적인 방법은 아니지만 연립일차방정식의 대수적인 해법을 배우기 이전인 초등학교 때 이렇게 풀도록 교육한다. 예상과 확인 문서로.
  • 고1 수학 나머지정리 때도 쓰이며 이차함수 풀 때도 쓰이는 녀석이다.
  • 비교법[8]: 두 방정식의 [math(x)] 혹은 [math(y)]가 같다는 점을 이용해, 좌/우변에 부호가 같고, 계수가 같은 항을 모아서 미지수가 하나만 있는 방정식을 만든다.

2.2. 일반적인 풀이

연립일차방정식을 푸는 것은 생각 이상으로 중요한데, 대부분의 컴퓨터 시뮬레이션이 복잡한 방정식들을 연립일차방정식으로 바꿔[9] 이를 푸는 방식을 갖고 있기 때문이다. 기계공학에서의 FEM(Finite Element Method; 유한요소해석)이 대표적인 예. 다만, 이러한 방정식들은 미지수가 기본적으로 몇백 개가 넘어가기 때문에[10] 손으로 푸는 것은 불가능에 가깝고, 위에서 언급한 방법 중 가우스 소거법이나 역행렬을 사용하는 방법을 n차 정사각행렬의 경우로 일반화하여 이용하게 된다. 실제로, 연립방정식을 일정 이상의 정확도로 빠르게 푸는 것은 초기 선형대수학의 중요한 과제 중 하나였고 이 학문이 발전하는 중요한 계기였다.

2.2.1. 계산 예시

웹사이트에서도 이를 사용해볼 수 있는 기초적인 연립 선형 방정식 계산기가 공개되있다.[11]
[math( 2a +3b = 5 )]
[math( 1a +5b = 4 )]
[math( a=\dfrac{13}{7} , b = \dfrac{3}{7} )]

2.3. 절댓값이 있는 연립방정식

식을 풀기에 앞서 미지수의 을 정의해야 한다. 왜냐하면 미지수의 범위가 실수인지, 복소수인지[12], 벡터인지[13], 행렬인지[14] 등에 따라 절댓값의 정의가 달라지기 때문이다. 이에 대한 자세한 내용은 노름 문서에 나온다.

2.4. 3개 이상의 미지수가 있는 연립방정식

다음 연립방정식의 해를 구하시오.

[math(\begin{cases}x+2y=41 \\ 3y+2z=53 \\ 2x+3z=17 \end{cases})]

고등학교 올라가면[15] 간혹 시험문제에 이런 연립방정식이 나온다. 푸는 방법은 먼저 미지수 하나를 없앤다. 그리고 두 개의 미지수를 구한 다음에 마지막으로 소거한 미지수를 얻는다. 대입법이나 가감법으로 어떤 미지수를 먼저 없애느냐, 행렬을 이용해 한 번에 처리하는 식으로 푸느냐에 따라 풀이 방법이 다양하게 나올 수 있다. 여기에서는 3가지 풀이 방법만 소개한다. 이 외에도 무수히 많다.

2.4.1. 풀이 I

[math(x=41-2y)] 이므로 [math(x)]대신 [math(41-2y)]를 대입해주면 된다. 그러면
[math(3y+2z=53)], [math(2(41-2y)+3z=17)]이 나온다. 정리해주면

[math(\begin{cases} 3y+2z=53 \\ -4y+3z=-65 \end{cases})]

[math(y=17)], [math(z=1)]이 나오고, [math(x=41-2y)]에 대입해주면 [math(x=7)]임을 알 수 있다.

2.4.2. 풀이 II

[math(\begin{cases} 3y+2z=53 \\ 2x+3z=17 \end{cases})]에서

[math(\begin{cases} 9y+6z=159 & \cdots \text{㉠} \\ 4x+6z=34 & \cdots \text{㉡} \end{cases})]
㉠-㉡에서 [math(9y-4x=125)]

이때 [math(2y+x=41)]이므로

[math(x=7)], [math(y=17)], [math(z=1)]

2.4.3. 풀이 III

[math(x=41-2y)]를 세번째 방정식에 대입하면

[math(82-4y+3z=17)]
[math(4y-3z=65 \qquad \cdots \text{㉡})]

두번째 방정식을 ㉠라 할 때 3×㉠+2×㉡을 하면
[math(17y=289)], [math(y=17)]

[math(x=7)], [math(z=1 )]

3. 2차 이상의 연립방정식

[math(\displaystyle \begin{cases}
ax^2+by^2+cx+dy+p=0 \\
a' x^2 + b' y^2 + c' x + d' y + q=0
\end{cases} )]

또는
[math(\displaystyle \begin{cases}
ax^2+by^2+cx+dy+p=0 \\
mx + ny + q=0
\end{cases} )]


여러 다항방정식을 연립하였을 때, 연립방정식의 차수를 말하려면 원칙적으로는 모든 방정식의 차수가 같아야 하나, 통상 가장 높은 방정식의 차수를 기준으로 말하기도 한다.[16]

차수가 2 이상인 연립방정식은 1차 연립방정식에 비해 풀이가 많이 복잡한 편이다. 보통 인수분해를 이용하거나, 미지수 하나를 상수취급하여 근의 공식을 사용하여 대입하는 방법도 있다[17]. 하지만 근의 공식을 사용하게 된다면 근호 안에 들어있는 값들 때문에 연립방정식을 풀려다 무리방정식을 풀게 될 수도 있다. 참고로 무리방정식은 교육과정 개편이 되면서 사라졌다.

고급 테크닉으로는 이 식에 미분(!!)을 해서 해를 구하는 경우가 있는데, 길을 잘못 들면 혹 떼려다 혹 붙이는 꼴이 되니 주의.

연립일차방정식과 비슷하게 이차형식이나 삼차형식 등으로 선형 변환한 뒤, 대각화를 이용해서 빠르게 풀 수 있다.

고교 과정에서는 미지수 두 개가 엉겨붙어 있는 식(xy 등)의 형태는 가르치지 않는다. 그래서 고교과정에서는 평면좌표를 이용해서 풀 수도 있다.근데 평면좌표로는 웬만해서는 안 풀린다 두 미지수의 합과 곱으로 이루어진 연립방정식은 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 풀 수 있다.

여담으로 위의 식은 그래프로 나타내면 두 원뿔곡선의 교점, 원뿔곡선과 직선의 교점이 근이 된다.

3.1. 중등교육과정

여기서 중등교육과정이란 중학교 고등학교 교육과정을 말한다. 대학교는 고등 교육과정.

3.1.1. 연립이차방정식

3.1.1.1. 이차식 & 일차식 꼴
일차식을 [math(x)]나 [math(y)]에 대하여 정리한 뒤 이차식에 대입한다. 그리고 그 방정식의 근을 구하여 푼다.

예를 들어 아래와 같은 연립방정식이 있다고 치면,
[math(\displaystyle \begin{cases}
x^2 + y^2 = 5 \\ x+y=1
\end{cases} )]

[math(x+y=1)]을 [math(y=1-x)]로 정리하여 [math(x^2 + y^2 = 5)]에 대입하면
[math(x^2 + (1-x)^2 = 5 \,\, \Leftrightarrow \,\, 2x^2 - 2x - 4 = 0 \, \, 2(x+1)(x-2)=0)]가 되어
[math(x_1=-1)], [math(x_2=2)]가 나오고[18] 이들을 각각 [math(y=1-x)]에 대입하여 [math((x_1, y_1) = (-1, 2))] 또는 [math((x_2, y_2) = (2, -1))]이라고 풀게 된다.

만약 대입해서 인수분해가 안 될 경우에는 울며 겨자먹기로 근의 공식을 쓰면 ( 복소수 범위에서) 무조건 해가 나온다.
3.1.1.2. 이차식 & 이차식 꼴
  1. 인수분해가 되는 이차식이 하나라도 있으면 그걸 인수분해해서 이차식 & 일차식 꼴로 바꾸어 푼다.
  2. 인수분해가 되는 게 없으면 두 식에 적당한 수를 곱하거나 나누어서 서로 더했을 때 이차항[19]이 소거되는지 확인한다.
    만약 가능하다면 위 1번의 인수분해가 되는 꼴로 바뀐다.
  3. 그래도 안 되면 상수항을 적당히 소거할 수 있는지 확인한다.
    만약 가능하다면 위 1번의 인수분해가 되는 꼴로 바뀐다.
  4. 그래도 안 되면 근의 공식을 사용한다.

3.2. 고등교육과정


[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac x{y+z} +\dfrac y{z+x} +\dfrac z{x+y} = 4 \quad (x, y, z \in \mathbb{N})
\end{aligned} )][20][21][22]


고등수학에서는 생각보다 많이 볼 수 있다. 특히 해의 범위가 정수 혹은 유리수 제한되는 경우 문제의 난도가 매우 높아진다.

3차 이상의 정수해/유리수해를 구하는 경우 보통 타원곡선을 이용한다.

4. 연립미분방정식

[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}t} &= x(\alpha-\beta y) \\
\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}t} &= - y(\gamma-\delta x)
\end{aligned} \end{cases} )]


뭇 수학자와 물리학 전공자들을 멘탈 붕괴로 이끄는 진 최종보스. 위의 방정식은 두 종류의 생물 간의 관계를 선형화하여 나타낸 로지스틱 방정식의 일종인 로트카-볼테라 방정식.

식 한 개만으로도 푸는 사람을 괴롭게 만드는 미분방정식[23]이 둘 이상 있다고 보면 되는데, 이것이 얼마나 무시무시하고 끔찍한(...) 상황인 지는 더 이상 말할 필요가 없다. 그나마 위의 식은 상미분방정식이라서 그나마 낫지만, 편미분방정식이 연립방정식으로 묶여 있다면... 더 이상의 자세한 설명은 생략한다..

단, 위에 언급된 로지스틱 방정식과 같이 1차 상미분방정식으로만 이루어진 연립미분방정식은 선형대수학의 이론을 사용하여 행렬을 이렇게 저렇게 만지작거려 일반해를 구할 수 있다. 보통 학부 수준의 선형대수학이나 미분방정식을 공부하면서 이를 배운다. 다만 이를 푸는 방법을 제대로 이해하려면 고윳값(Eigenvalue)이나 ' 함수 벡터로 바라보는' 선형대수학적 개념을 반드시 알아야 하기에 궁금한 분들은 여기서 답을 찾지 말고 본인들의 전공책에서 해법을 찾는 것을 추천한다. 애초에 위의 과목들에서도 이에 대한 내용만 한 단원 전체에 걸쳐 다루기 때문에 여기다 서술하기에는 여백이 남아나지 않을 정도다. 공업수학 수리물리학 등에서 넘어야 할 산 중 하나.

[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\dfrac{\partial {\bf j}_s}{\partial t} &= \dfrac{n_s e^2}m {\bf E} \\
\boldsymbol{\nabla} \!\times {\bf j}_s &= \dfrac{n_s e^2}{mc} {\bf B}
\end{aligned} \end{cases} )]


편미분으로 이뤄진 연립미분방정식 중 하나인 런던 방정식으로, 초전도체에 관련되어 있다. 익히 잘 알려져 있는 맥스웰 방정식도 편미분 연립미분방정식이다.

참고로 위와 같은 편미분 연립방정식은 전자기학 양자역학에서 많이 출현한다. 그래서 전공자들은 매일 죽어나간다...

혼돈의 대표적인 예시로 드는 이중 진자 역시 연립미분방정식의 일종이다. 비선형 미분방정식 두 개만으로도 어디까지 복잡해지는 지를 단적으로 보여준다.

5. 연립적분방정식

[math(\displaystyle \begin{cases} \begin{aligned}
\int_0^\infty w_1(x) J_\mu(xy) \psi(x) {\rm d}x &= f(y) \quad (y \in I_1) \\
\int_0^\infty w_2(x) J_\nu(xy) \psi(x) {\rm d}x &= g(y) \quad (y \in I_2)
\end{aligned} \end{cases} )]

출처

바늘 가는 데 실 간다고, 적분방정식에도 연립방정식이 있다. 이쯤 되면 무섭다...

미적분의 특성상 연립미분방정식은 발산 정리 스토크스 정리를 통해 연립적분방정식으로 상호 변환이 가능하다.


[1] 이에 비추어 미지수가 하나인 방정식을 '일원방정식'이라고 한다. [2] 聯立線刑方程式(연립선형방정식)이라고도 부른다. 선형방정식과 일차방정식은 동의어이다. [3] 단, a, b, c, d는 수, !=0 [4] 이를 선형사상이라고 한다 [5] 이를 기본행연산이라고 한다. [6] 그런데 이 때 [math( nxy )] 꼴의 항이 있으면 이차방정식이 돼서 풀기가 더 어려워진다(...). 항을 잘 보고 판단하자. [7] 이 때 가우스 소거법을 쓸 수 있다. [8] 엄밀한 명칭은 등치법이다. [9] 이렇게 할 수 없는 방정식도 있는데 이를 '비선형 방정식'이라고 한다. 단진자 운동의 해석이 가장 대표적으로 알려진 예. [10] 복잡한 방정식들을 선형으로 '근사'하는 과정에서 미지수가 다량으로 발생한다. 따라서 미지수가 많아질수록 시뮬레이션의 정확도가 높아진다. 다만 계산 시간도 한참 늘어나겠지만... [11] \[Matrix calculator\]연립 선형 방정식 풀기 https://matrixcalc.org/ko/slu.html [12] [math(|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2})] [13] [math(|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}})] [14] [math(\left|(a_{ij})_{n\times n}\right|={\displaystyle \sum_{\sigma\in S_{n}}}\text{sgn}\left(\sigma\right){\displaystyle \prod_{i=1}^{n}}a_{i\sigma\left(i\right)})] [15] 2015 개정 교육과정에서는 공간벡터가 삭제되면서 같이 삭제되어 현재는 다루지 않는다. [16] 즉, 연립이차방정식은 이차방정식만을 연립한 방정식을 뜻하지만, 통상 일차방정식과 이차방정식을 연립한 연립방정식 또한 연립이차방정식이라고 말하기도 한다. [17] 1차 연립방정식의 대입법과 비슷하다. [18] 편의상 이차식의 첫 번째 근을 [math(x_1)], 두 번째 근을 [math(x_2)]라고 하자. 그러면 이에 대응하는 [math(y_1)], [math(y_2)]도 각각 찾아낼 수 있다. [19] 여기서 이차항은 [math(x^2, y^2, \boldsymbol{xy})]항을 말한다. [20] 이 문제는 [math(X = \dfrac{-28(x+y+2z)}{6x+6y-z}, Y = \dfrac{364(x-y)}{6x+6y-z})]로 치환해서 [math(Y^2 = X^3 + 109X^2 + 224X)]의 타원곡선 꼴로 바꿀 수 있다. [21] 한때 인터넷에서 ' MIT 졸업생의 95%는 못 푸는 문제'라는 이름으로 유행했던 방정식. 에르되시 번호 2인 Alon Amit이 무려 79, 80, 81자리나 되는 해를 제시했다. 이 문제는 95%는커녕 99.999995%는 못 풀고, 이중에는 정수론을 전공하지 않은 대학교 수학 교수도 포함될 것이라는 단언과 함께. [22] 여담으로 저 식에서 집합 표기를 [math(\mathbb{N})]에서 [math(\mathbb{Z})]로 바꾸게 되면 훨씬 간단한 수에서도 해가 나온다. 대표적인 해는 [math((x, y, z)=(-1, 11, 4))]. [23] 당장 밀레니엄 문제 중 하나인 나비에-스톡스 방정식만 해도 1개짜리 식이다!