최근 수정 시각 : 2021-11-20 09:56:00

제곱근행렬

선형대수학
Linear Algebra
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1. 개요2. 기본 성질3. 여러 가지 행렬의 제곱근행렬
3.1. 단위행렬
3.1.1. 2x2 단위행렬
3.2. 영행렬3.3. 1차 정사각행렬3.4. 2차 정사각행렬3.5. 3차 이상의 정사각행렬
4. n제곱근행렬5. 여담


square root matrix

1. 개요

수의 제곱근처럼, 행렬도 제곱근을 정의할 수 있다. 그런데 행렬의 특성상 제곱근이 되는 행렬이 엄청나게 많다[1]. 다만 원래 행렬이 양의 준정부호 행렬이라면 제곱근 중 양의 준정부호 행렬은 유일하다는 것이 알려져 있으므로 이를 principal square root라 해서 기준으로 삼을 수 있다.

2. 기본 성질

  • [math(A^2=B)]일 때 [math(A)]를 [math(B)]의 제곱근행렬이라고 하므로, 제곱근행렬인 [math(A)]와 원래 행렬 [math(B)]는 모두 서로 같은 차수의 정사각행렬이다. 즉, 제곱근행렬은 정사각행렬에 대해서만 정의된다.
  • [math(B)]의 제곱근행렬이 [math(A)]일 때,
    • [math(-A)] 역시 [math(B)]의 제곱근행렬이다. [math(A^2=B)]이므로, [math((-A)^2=A^2=B)], 즉 [math((-A)^2=B)]가 성립하기 때문이다.
    • 실수 k에 대해 [math(kB)]의 제곱근행렬은 [math(\sqrt kA)]이다. ([math((\sqrt kA)^2=kA^2=kB)]). 이때 k가 실수이므로 k가 0이 아니라면 그 역도 성립함을 알 수 있다. 따라서 [math(B)]와 [math(kB)]의 제곱근행렬의 각 형태는 서로 간에 일대일 대응시킬 수 있다.
    • [math(B)]의 역행렬 [math(B^{-1})]이 존재하면 [math(A)]의 역행렬 [math(A^{-1})]가 존재하며, 이때 [math(B^{-1})]의 제곱근행렬은 [math(A^{-1})]이다.
      • 증명 : [math(A^2=B)]이므로 양변에 [math(B^{-1})]을 곱하면 [math(B^{-1}A^2=B^{-1}B=I)]이고, 따라서 [math(A)]의 역행렬 [math(A^{-1})]이 존재함을 알 수 있다. 한편, [math(B^{-1}A^2=I)]의 양변에 [math(A^{-1})]을 두 번 곱하면 [math(B^{-1}A^2(A^{-1})^2=(A^{-1})^2)], 즉 [math(B^{-1}=(A^{-1})^2)]가 된다.
    • [math(B)]의 전치행렬 [math(B^T)]의 제곱근행렬 중 하나는 [math(A)]의 전치행렬 [math(A^T)]이다. 증명은 다음과 같다.
[math(B=A^2)]가 성립할 때 [math(A)]를 다음과 같이 정의하자.
[math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
이때 다음이 성립한다.
[math(B=A^2=\begin{pmatrix}\sum_k a_{1k}a_{k1} & \sum_k a_{1k}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{1k}a_{kn} \\ \sum_k a_{2k}a_{k1} & \sum_k a_{2k}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{2k}a_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{nk}a_{k1} & \sum_k a_{nk}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{nk}a_{kn}\end{pmatrix})] (단, [math(k=1,2,...,n)])
따라서 다음이 성립한다.
[math(B^T=\begin{pmatrix}\sum_k a_{1k}a_{k1} & \sum_k a_{2k}a_{k1} & \cdots & \sum_k a_{nk}a_{k1} \\ \sum_k a_{1k}a_{k2} & \sum_k a_{2k}a_{k2} & \cdots & \sum_k a_{nk}a_{k2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{1k}a_{kn} & \sum_k a_{2k}a_{kn} & \cdots & \sum_k a_{nk}a_{kn}\end{pmatrix})] (단, [math(k=1,2,...,n)])
한편,
[math(A^T=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
이므로
[math((A^T)^2=\begin{pmatrix}\sum_k a_{k1}a_{1k} & \sum_k a_{k1}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{k1}a_{nk} \\ \sum_k a_{k2}a_{1k} & \sum_k a_{k2}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{k2}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_k a_{kn}a_{1k} & \sum_k a_{kn}a_{2k} & \cdots & \sum_k a_{kn}a_{nk}\end{pmatrix}=B^T)] (단, [math(k=1,2,...,n)])
가 성립한다. 따라서 [math(B^T = (A^T)^2)]이므로 [math(A^T)]는 [math(B^T)]의 제곱근행렬이다.

3. 여러 가지 행렬의 제곱근행렬

3.1. 단위행렬

단위행렬은 양의 준정부호 행렬이며 그 principal square root는 단위행렬이다.

n차 단위행렬의 제곱근행렬이 되는 경우의 수를 따져 보면 다음과 같다.
  • n차정사각행렬
    [math(\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
    에 대해서 모든 [math(a_{kk} (k=1,2,...,n))]의 값이 1 또는 -1인 경우 이 행렬은 n차 단위행렬의 제곱근행렬이며, 경우의 수는 총 [math(2^n)]가지이다.
  • n차정사각행렬
    [math(\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & x_1 \\ 0 & \cdots & x_2 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_n & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix})]
    의 제곱은
    [math(\begin{pmatrix} x_1x_n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x_2x_{n-1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_nx_1\end{pmatrix})]
    이므로 이 행렬이 n차 단위행렬의 제곱근행렬이 되려면 [math(x_1x_n=x_2x_{n-1}=...=x_{\frac{n}{2}}x_{\frac{n}{2}+1}=1)] (n은 짝수), [math(x_1x_n=x_2x_{n-1}=...=x_{\frac{n+1}{2}}x_{\frac{n+1}{2}}=1)] (n은 홀수) 이어야 한다.

3.1.1. 2x2 단위행렬

2×2 단위행렬만 해도 아래와 같이 제곱근행렬이 10가지 경우로 매우 많다.
[1001]=1h[baab],1h[baab],1h[baab],1h[baab],[1001],[1001],[1001],[1001],[0110],[0110]\displaystyle \sqrt{\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}} = {1 \over h} {\begin{bmatrix} b \quad a \\ a \quad -b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} -b \quad -a \\ -a \quad b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} -b \quad a \\ a \quad b \end{bmatrix}}, {1 \over h} {\begin{bmatrix} b \quad -a \\ -a \quad -b \end{bmatrix}}, \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \quad 0 \\ 0 \quad -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 1 \quad 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \quad -1 \\ -1 \quad 0 \end{bmatrix}

여기서 [math(a, b, h)] 는 [math(a^{2} + b^{2} = h^{2})]를 만족시키는 자연수이다.

간단히 쓰면
1. [math(\sqrt{I_2} = ±I_2)]
2. [math(\sqrt{I_2} = \vec σㆍ \vec u)]
이렇게 쓸 수 있다.(σ는 파울리 행렬들, u는 성분이 실수나 복소수 값을 가지며, (복소켤레 없이 그냥) 제곱하면 1이 되는 벡터)

2차원 평면상에서의 여러 가지 대칭변환 및 180º 회전변환(=원점 대칭변환)의 행렬표현 선형 변환과 그 행렬표현의 관계에 의하여 2x2 단위행렬의 제곱근행렬이며 위의 10가지 중 하나에 속한다.
  • y=mx에 대한 대칭변환의 행렬표현 [math(\displaystyle\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]에서 [math(b=1-m^2, a=2m, h^2=a^2+b^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2)]이면 1번째와 같아진다.
  • 6번째는 x축 대칭변환, 7번째는 y축 대칭변환, 8번째는 원점 대칭변환, 9번째와 10번째는 각각 y=x, y=-x에 대한 대칭변환의 행렬표현이다.

3.2. 영행렬

n차정사각행렬인 영행렬 [math(O_n)]에 대해서 영행렬 그 자체는 영행렬의 제곱근행렬이다. 영행렬의 제곱근행렬은 제곱했을 때 영행렬이 되므로 멱영행렬에 속한다.

3.3. 1차 정사각행렬

일차정사각행렬 [math(A=\begin{pmatrix}a\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(a\geq0)]일 때만 존재하며, [math(\begin{pmatrix}\pm\sqrt a\end{pmatrix})]이 유일하다.

3.4. 2차 정사각행렬

선형변환의 행렬 표현과 같이 사용 사례로서의 의미가 있거나, 문자로 표시되는 변수를 제외한 모든 성분이 -1, 0, 1 중 하나인 경우에 한해서, 몇 가지 2차 정사각행렬의 제곱근행렬은 다음과 같다.
  • 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix})]와 [math(\begin{pmatrix} \cos(\pi+\theta/2) & -\sin(\pi+\theta/2) \\ \sin(\pi+\theta/2) & \cos(\pi+\theta/2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\cos(\theta/2) & \sin(\theta/2) \\ -\sin(\theta/2) & -\cos(\theta/2) \end{pmatrix})]이다.
  • [math(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix})] 꼴의 행렬의 제곱근행렬은 [math(±\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a/2 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • [math(\begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix})] 꼴의 행렬의 제곱근행렬은 [math(±\begin{pmatrix}1 & a/2 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • [math(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(±\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix})]이다.
  • [math(\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(±\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • 원점 대칭 선형변환의 행렬표현인 [math(-I=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a\end{pmatrix})] (단, [math(a^2=-1-bc)]) 꼴로, 예를 들어 다음과 같다.
90º, 270º 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix})]
기타 [math(±\begin{pmatrix}1 & a \\ -2/a & -1\end{pmatrix})] (단, [math(a\ne0)])

어떤 2차 정사각행렬의 제곱근행렬이 존재하는지 판정하고 그것들이 어떤 형태인지 알려면 다음의 방법을 이용하면 된다.
1. 2차 정사각행렬의 제곱근행렬을 [math(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix})]로 놓는다.
2. 이 행렬을 제곱하면 [math(A^2 = \begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix})]이다.
3. [math(A^2)]가 제곱근행렬을 구하려는 2차 정사각행렬과 같다고 놓고 [math(a, b, c, d)]에 대해서 방정식을 푼다.
4. 이 방정식의 해가 제곱근행렬이다. 즉 이 방정식의 해가 존재하면 제곱근행렬이 존재하는 것이고, 해가 없으면 제곱근행렬이 존재하지 않는 것이다.
실제로 이 방법을 사용했을 때 변수가 4개나 있어서 해가 있을 것 같지만 실제로 풀어 보면 해가 없어서 제곱근행렬이 존재하지 않는다고 판정되는 경우가 꽤 있다.
  • 2차 단위행렬의 제곱근행렬 중 하나이자 y=x에 대한 대칭변환의 행렬표현인 [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]의 제곱근행렬을 구하기 위해 이 방법을 사용하면 [math(\begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]이라는 식을 [math(a, b, c, d)]에 대해 풀어야 하는데, 이때 다음과 같이 모순이 생긴다. 따라서 이 행렬의 제곱근행렬은 존재하지 않는다.
    • [math(a^2+bc=0, d^2+bc=0)]에 의해 [math(a^2=d^2=-bc)]이어야 한다.
    • [math(b(a+d)=1, c(a+d)=1)]에 의해 [math(\displaystyle b=c=\frac{1}{a+d})]이어야 한다.
    • 위 두 식을 연립하면 [math(a^2=d^2=-b^2=-c^2)]라는 결론이 도출되는데, 이것을 만족시키는 유일한 해는 [math(a=b=c=d=0)]뿐이고, 이때 영행렬이 되므로 제곱해도 [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]이 아니라 영행렬이 된다.
  • 마찬가지로 [math(\begin{pmatrix} 0 & x_1 \\ x_2 & 0\end{pmatrix})] (단, [math(x_1, x_2)] 중 하나 이상이 0이 아님)의 제곱근행렬도 존재하지 않는다.

3.5. 3차 이상의 정사각행렬

n차 정사각행렬
[math(S_n=\begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
에 대해서
[math(S^2_n=\begin{pmatrix}a_{11}^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}^2\end{pmatrix})]
이므로, 모든 [math(a_{kk} (k=1,2,...,n))]의 값이 0 또는 1인 경우 [math(S_n)]은 자기 자신의 제곱근행렬이다.

성분이 모두 a인 n차 정사각행렬
[math(A_n=\begin{pmatrix}a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a & \cdots & a\end{pmatrix})]
의 제곱근행렬은 성분이 모두 [math(\displaystyle\pm\sqrt\frac{a}{n})]인 n차 정사각행렬
[math(\displaystyle\pm\sqrt\frac{1}{an}A_n=\pm\begin{pmatrix}\displaystyle\sqrt\frac{a}{n} & \cdots & \displaystyle\sqrt\frac{a}{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle\sqrt\frac{a}{n} & \cdots & \displaystyle\sqrt\frac{a}{n}\end{pmatrix})]
이다.

4. n제곱근행렬

제곱근행렬과 마찬가지의 방법으로 n제곱근행렬, 즉 행렬의 n제곱근을 생각할 수 있다. 즉 [math(A)]가 [math(B)]의 n제곱근이라는 것은 [math(A^n=B)]임을 의미한다. 마찬가지로 정사각행렬에 대해서만 정의된다.
  • n차 정사각행렬에 대해서 영행렬 [math(O)], 단위행렬 [math(I)]는 k가 1 이상의 자연수일 때 자기 자신의 k제곱근행렬이다.
  • 2차 정사각행렬 중 원점을 중심으로 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix})]의 n제곱근은 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다.
    [math(\begin{pmatrix}\cos\displaystyle\frac{\theta+2\pi k}{n} & -\sin\displaystyle\frac{\theta+2\pi k}{n} \\ \sin\displaystyle\frac{\theta+2\pi k}{n} & \cos\displaystyle\frac{\theta+2\pi k}{n}\end{pmatrix})] (단, [math(k=0,1,...,n-1)])
  • 예를 들어 원점을 중심으로 60º만큼 회전시키는 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix}\cos60º & -\sin60º \\ \sin60º & \cos60º\end{pmatrix})]의 4제곱근은 다음과 같다.
    [math(\begin{pmatrix}\cos\displaystyle\frac{\pi/3+2\pi k}{4} & -\sin\displaystyle\frac{\pi/3+2\pi k}{4} \\ \sin\displaystyle\frac{\pi/3+2\pi k}{4} & \cos\displaystyle\frac{\pi/3+2\pi k}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\displaystyle\frac{(6k+1)}{12}\pi & -\sin\displaystyle\frac{(6k+1)}{12}\pi \\ \sin\displaystyle\frac{(6k+1)}{12}\pi & \cos\displaystyle\frac{(6k+1)}{12}\pi\end{pmatrix})] (단, [math(k=0,1,2,3)])

5. 여담

Aluthge transform이라는 개념에서도 행렬의 유리수승을 정의한다고 한다.


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[1] [math(A^{2} = B)]라면 [math(A)]와 상사인 임의의 행렬 [math(C)]에 대해 [math(C^{2} = B)]이다. 물론 [math({\begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \end{bmatrix}})] 같이 제곱근행렬이 존재하지 않는 행렬도 있다.