최근 수정 시각 : 2024-11-03 18:37:13

제곱근행렬

선형대수학
Linear Algebra
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1. 개요2. 기본 성질3. 여러 행렬에 대한 제곱근행렬
3.1. 단위행렬
3.1.1. 2x2 단위행렬
3.2. 영행렬3.3. 1차 정사각행렬3.4. 2차 정사각행렬
3.4.1. 특수사례3.4.2. 제곱근행렬이 실수여야 할때
3.5. 3차 이상의 정사각행렬
4. n제곱근행렬5. 여담

1. 개요

square root matrix
수에 대한 제곱근처럼, 행렬도 제곱근을 정의할 수 있다. 그런데 행렬의 특성상 제곱근이 되는 행렬이 상당히 많다[1]. 다만 원래 행렬이 양의 준정부호 행렬이라면 제곱근 중 양의 준정부호 행렬은 유일하다는 것이 알려져 있으므로 이를 principal square root라 해서 기준으로 삼을 수 있다.

2. 기본 성질

  • [math(A^2=B)]일 때 [math(A)]를 [math(B)]의 제곱근행렬이라고 하므로, 제곱근행렬인 [math(A)]와 원래 행렬 [math(B)]는 모두 서로 같은 차수의 정사각행렬이다. 즉, 제곱근행렬은 정사각행렬에 대해서만 정의된다.
  • [math(B)]의 제곱근행렬이 [math(A)]일 때,
    • [math(-A)] 역시 [math(B)]의 제곱근행렬이다. [math(A^2=B)]이므로, [math((-A)^2=A^2=B)], 즉 [math((-A)^2=B)]가 성립하기 때문이다.
    • 실수 [math(k)]에 대해 [math(kB)]의 제곱근행렬은 [math(\sqrt kA)]이다. ([math((\sqrt kA)^2=kA^2=kB)]). 이때 [math(k)]가 실수이므로 [math(k\ne0)]이라면 그 역도 성립함을 알 수 있다. 따라서 [math(B)]와 [math(kB)]의 제곱근행렬의 각 형태는 서로 간에 일대일 대응시킬 수 있다.
    • [math(B)]의 역행렬 [math(B^{-1})]가 존재하면 [math(A)]의 역행렬 [math(A^{-1})]가 존재하며, 이때 [math(B^{-1})]의 제곱근행렬은 [math(A^{-1})]이다.
      • 증명 : [math(A^2=B)]이므로 양변에 [math(B^{-1})]을 곱하면 [math(B^{-1}A^2=B^{-1}B=I)]이고, 따라서 [math(A)]의 역행렬 [math(A^{-1})]이 존재함을 알 수 있다. 한편, [math(B^{-1}A^2=I)]의 양변에 [math(A^{-1})]을 두 번 곱하면 [math(B^{-1}A^2(A^{-1})^2=(A^{-1})^2)], 즉 [math(B^{-1}=(A^{-1})^2)]가 된다.
    • [math(B)]의 전치행렬 [math(B^T)]의 제곱근행렬 중 하나는 [math(A)]의 전치행렬 [math(A^T)]이다. 증명은 다음과 같다.
[math(B=A^2)]가 성립할 때 [math(A)]를 다음과 같이 정의하자.
[math(A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
이때 다음이 성립한다.
[math(B=A^2=\begin{pmatrix}\sum\limits_k a_{1k}a_{k1} & \sum\limits_k a_{1k}a_{k2} & \cdots & \sum\limits_k a_{1k}a_{kn} \\ \sum\limits_k a_{2k}a_{k1} & \sum\limits_k a_{2k}a_{k2} & \cdots & \sum\limits_k a_{2k}a_{kn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_k a_{nk}a_{k1} & \sum\limits_k a_{nk}a_{k2} & \cdots & \sum\limits_k a_{nk}a_{kn}\end{pmatrix})] (단, [math(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)])
따라서 다음이 성립한다.
[math(B^T=\begin{pmatrix}\sum\limits_k a_{1k}a_{k1} & \sum\limits_k a_{2k}a_{k1} & \cdots & \sum\limits_k a_{nk}a_{k1} \\ \sum\limits_k a_{1k}a_{k2} & \sum\limits_k a_{2k}a_{k2} & \cdots & \sum\limits_k a_{nk}a_{k2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_k a_{1k}a_{kn} & \sum\limits_k a_{2k}a_{kn} & \cdots & \sum\limits_k a_{nk}a_{kn}\end{pmatrix})] (단, [math(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)])
한편,
[math(A^T=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
이므로
[math((A^T)^2=\begin{pmatrix}\sum\limits_k a_{k1}a_{1k} & \sum\limits_k a_{k1}a_{2k} & \cdots & \sum\limits_k a_{k1}a_{nk} \\ \sum\limits_k a_{k2}a_{1k} & \sum\limits_k a_{k2}a_{2k} & \cdots & \sum\limits_k a_{k2}a_{nk} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_k a_{kn}a_{1k} & \sum\limits_k a_{kn}a_{2k} & \cdots & \sum\limits_k a_{kn}a_{nk}\end{pmatrix}=B^T)] (단, [math(k=1,\,2,\,\cdots,\,n)])
가 성립한다. 따라서 [math(B^T = (A^T)^2)]이므로 [math(A^T)]는 [math(B^T)]의 제곱근행렬이다.

3. 여러 행렬에 대한 제곱근행렬

3.1. 단위행렬

단위행렬은 양의 준정부호 행렬이며 그 principal square root는 단위행렬이다.

[math(n)]차 단위행렬의 제곱근행렬이 되는 경우의 수를 따져 보면 다음과 같다.
  • [math(n)]차정사각행렬
    [math(\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
    에 대해서 모든 [math(a_{kk} (k=1,\,2,\,\cdots,\,n))]의 값이 [math(1)] 또는 [math(-1)]인 경우 이 행렬은 [math(n)]차 단위행렬의 제곱근행렬이며, 경우의 수는 총 [math(2^n)]가지이다.
  • [math(n)]차정사각행렬
    [math(\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & x_1 \\ 0 & \cdots & x_2 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_n & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix})]
    의 제곱은
    [math(\begin{pmatrix} x_1x_n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x_2x_{n-1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_nx_1\end{pmatrix})]
    이므로 이 행렬이 [math(n)]차 단위행렬의 제곱근행렬이 되려면 [math(x_1x_n=x_2x_{n-1}=...=x_{\frac n2}x_{\frac n2+1}=1)] ([math(n)]은 짝수), [math(x_1x_n=x_2x_{n-1}=...=x_{\frac{n+1}2}x_{\frac{n+1}2}=1)] ([math(n)]은 홀수) 이어야 한다.

3.1.1. 2x2 단위행렬

[math(2\times2)] 단위행렬만 해도 아래와 같이 제곱근행렬이 10가지 경우로 매우 많다.
[math(\sqrt{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}} = \begin{cases}\pm\cfrac1h\begin{bmatrix} b & a \\ a & -b \end{bmatrix} \\ \pm\cfrac1h\begin{bmatrix} -b & a \\ a & b \end{bmatrix} \\ \pm\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \pm\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \pm\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\end{cases})]

여기서 [math(a)], [math(b)], [math(h)] 는 [math(a^2 + b^2 = h^2)]를 만족시키는 자연수이다.

간단히 쓰면
1. [math(\sqrt{I_2} = \pm I_2)]
2. [math(\sqrt{I_2} = \vec\sigma \cdot \vec u)]
이렇게 쓸 수 있다.([math(\sigma)]는 파울리 행렬들, [math(u)]는 성분이 실수나 복소수 값을 가지며, (복소켤레 없이 그냥) 제곱하면 1이 되는 벡터)

2차원 평면상에서의 여러 가지 대칭변환 및 180° 회전변환(=원점 대칭변환)의 행렬표현은 선형 변환과 그 행렬표현의 관계에 의하여 [math(2\times2)] 단위행렬의 제곱근행렬이며 위의 10가지 중 하나에 속한다.
  • [math(y=mx)]에 대한 대칭변환의 행렬표현 [math(\cfrac1{1+m^2}\begin{pmatrix}1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1\end{pmatrix})]에서 [math(b=1-m^2, a=2m, h^2=a^2+b^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2)]이면 1번째와 같아진다.
  • 복부호 순서대로 각각 세 번째는 항등변환 및 원점 대칭변환, 네 번째는 [math(y)]축 및 [math(x)]축 대칭변환, 다섯 번째는 직선 [math(y=x)], [math(y=-x)]에 대한 대칭변환의 행렬표현이다.

3.2. 영행렬

[math(n)]차 정사각행렬인 영행렬 [math(O_n)]에 대해서 영행렬 그 자체는 영행렬의 제곱근행렬이다. 영행렬의 제곱근행렬은 제곱했을 때 영행렬이 되므로 멱영행렬에 속한다.

3.3. 1차 정사각행렬

일차정사각행렬 [math(A=\begin{pmatrix}a\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(a\ge0)]일 때만 존재하며, [math(\begin{pmatrix}\pm\sqrt a\end{pmatrix})]이 유일하다.

3.4. 2차 정사각행렬

일반적인 공식은 이렇다.
[math(\sqrt{a_0+\vec\sigma \cdot \vec a}=\dfrac A2 +\dfrac{\vec\sigma \cdot \vec a}A)]
[math(\left(~※~A=\pm_{1}\sqrt{a_0+|\vec a|}\pm_{2}\sqrt{a_0-|\vec a|}~\right))]
여기서 [math(\sigma)]는 파울리 행렬이며, [math(\pm)]는 같은 첨자끼리 복호동순이다.

그리고 [math(a)]가 복소수라 해도 켤레를 취하지 않고
[math(|\vec a|=\sqrt{\vec a \cdot \vec a})]
이렇게 그대로 계산한다.

3.4.1. 특수사례

선형변환의 행렬 표현과 같이 사용 사례로서의 의미가 있거나, 문자로 표시되는 변수를 제외한 모든 성분이 [math(-1)], [math(0)], [math(1)] 중 하나인 경우에 한해서, 몇 가지 2차 정사각행렬의 제곱근행렬은 다음과 같다.
  • 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix})]와 [math(\begin{pmatrix} \cos(\pi+\theta/2) & -\sin(\pi+\theta/2) \\ \sin(\pi+\theta/2) & \cos(\pi+\theta/2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\cos(\theta/2) & \sin(\theta/2) \\ -\sin(\theta/2) & -\cos(\theta/2) \end{pmatrix})]이다.
  • [math(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a & 1\end{pmatrix})] 꼴의 행렬의 제곱근행렬은 [math(\pm\begin{pmatrix}1 & 0 \\ a/2 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • [math(\begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix})] 꼴의 행렬의 제곱근행렬은 [math(\pm\begin{pmatrix}1 & a/2 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • [math(\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\pm\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix})]이다.
  • [math(\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\pm\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix})]이다.
  • 원점 대칭 선형변환의 행렬표현인 [math(-I=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix})]의 제곱근행렬은 [math(\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a\end{pmatrix})] (단, [math(a^2=-1-bc)]) 꼴로, 예를 들어 다음과 같다.
90°, 270° 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix})]
기타 [math(\pm\begin{pmatrix}1 & a \\ -2/a & -1\end{pmatrix})] (단, [math(a\ne0)])

3.4.2. 제곱근행렬이 실수여야 할때

어떤 2차 정사각행렬의 제곱근행렬이 존재하는지 판정하고 그것들이 어떤 형태인지 알려면 다음의 방법을 이용하면 된다.
1. 2차 정사각행렬의 제곱근행렬을 [math(A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix})]로 놓는다.
2. 이 행렬을 제곱하면 [math(A^2 = \begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix})]이다.
3. [math(A^2)]가 제곱근행렬을 구하려는 2차 정사각행렬과 같다고 놓고 [math(a, b, c, d)]에 대해서 방정식을 푼다.
4. 이 방정식의 해가 제곱근행렬이다. 즉 이 방정식의 해가 존재하면 제곱근행렬이 존재하는 것이고, 해가 없으면 제곱근행렬이 존재하지 않는 것이다.
실제로 이 방법을 사용했을 때 변수가 4개나 있어서 해가 있을 것 같지만 실제로 풀어 보면 해가 없어서 제곱근행렬이 존재하지 않는다고 판정되는 경우가 꽤 있다.
  • 2차 단위행렬의 제곱근행렬 중 하나이자 y=x에 대한 대칭변환의 행렬표현인 [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]의 제곱근행렬을 구하기 위해 이 방법을 사용하면 [math(\begin{pmatrix}a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]이라는 식을 [math(a, b, c, d)]에 대해 풀어야 하는데, 이때 다음과 같이 모순이 생긴다. 따라서 이 행렬의 제곱근행렬은 존재하지 않는다.
    • [math(a^2+bc=0, d^2+bc=0)]에 의해 [math(a^2=d^2=-bc)]이어야 한다.
    • [math(b(a+d)=1, c(a+d)=1)]에 의해 [math(b=c=\cfrac1{a+d})]이어야 한다.
    • 위 두 식을 연립하면 [math(a^2=d^2=-b^2=-c^2)]라는 결론이 도출되는데, 이것을 만족시키는 유일한 해는 [math(a=b=c=d=0)]뿐이고, 이때 영행렬이 되므로 제곱해도 [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix})]이 아니라 영행렬이 된다.
  • 마찬가지로 [math(\begin{pmatrix} 0 & x_1 \\ x_2 & 0\end{pmatrix})] (단, [math(x_1, x_2)] 중 하나 이상이 0이 아님)의 제곱근행렬도 존재하지 않는다.

3.5. 3차 이상의 정사각행렬

n차 정사각행렬
[math(S_n=\begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix})]
에 대해서
[math({S_n}^2=\begin{pmatrix}{a_{11}}^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & {a_{22}}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & {a_{nn}}^2\end{pmatrix})]
이므로, 모든 [math(a_{kk} (k=1,2,...,n))]의 값이 0 또는 1인 경우 [math(S_n)]은 자기 자신의 제곱근행렬이다.

성분이 모두 a인 n차 정사각행렬
[math(A_n=\begin{pmatrix}a & \cdots & a \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a & \cdots & a\end{pmatrix})]
의 제곱근행렬은 성분이 모두 [math(\pm\sqrt{\cfrac an})]인 [math(n)]차 정사각행렬
[math(\pm\sqrt{\cfrac1{an}}A_n = \pm\begin{pmatrix}\sqrt{\cfrac an} & \cdots & \sqrt{\cfrac an} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sqrt{\cfrac an} & \cdots & \sqrt{\cfrac an}\end{pmatrix})]
이다.

4. n제곱근행렬

제곱근행렬과 마찬가지의 방법으로 n제곱근행렬, 즉 행렬의 n제곱근을 생각할 수 있다. 즉 [math(A)]가 [math(B)]의 n제곱근이라는 것은 [math(A^n=B)]임을 의미한다. 마찬가지로 정사각행렬에 대해서만 정의된다.
  • n차 정사각행렬에 대해서 영행렬 [math(O)], 단위행렬 [math(I)]는 k가 1 이상의 자연수일 때 자기 자신의 k제곱근행렬이다.
  • 2차 정사각행렬 중 원점을 중심으로 [math(\theta)]만큼 회전시키는 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix})]의 n제곱근은 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다.
    [math(\begin{pmatrix}\cos\cfrac{\theta+2\pi k}n & -\sin\cfrac{\theta+2\pi k}n \\ \sin\cfrac{\theta+2\pi k}n & \cos\cfrac{\theta+2\pi k}n\end{pmatrix})] (단, [math(k=0,\,1,\,\cdots,\,n-1)])
  • 예를 들어 원점을 중심으로 60°만큼 회전시키는 회전변환의 행렬표현 [math(\begin{pmatrix}\cos\cfrac\pi3 & -\sin\cfrac\pi3 \\ \sin\cfrac\pi3 & \cos\cfrac\pi3 \end{pmatrix})]의 4제곱근은 다음과 같다.
    [math(\begin{pmatrix}\cos\cfrac{\pi/3+2\pi k}4 & -\sin\cfrac{\pi/3+2\pi k}4 \\ \sin\cfrac{\pi/3+2\pi k}4 & \cos\cfrac{\pi/3+2\pi k}4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\cfrac{6k+1}{12}\pi & -\sin\cfrac{6k+1}{12}\pi \\ \sin\cfrac{6k+1}{12}\pi & \cos\cfrac{6k+1}{12}\pi\end{pmatrix})] (단, [math(k=0,1,2,3)])

5. 여담

Aluthge transform이라는 개념에서도 행렬의 유리수승을 정의한다고 한다.

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[1] [math(A^2 = B)]라면 [math(A)]와 상사인 임의의 행렬 [math(C)]에 대해 [math(C^2 = B)]이다. 물론 [math(\begin{bmatrix} 0 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \end{bmatrix})] 같이 제곱근행렬이 존재하지 않는 행렬도 있다.

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