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선형대수학 Linear Algebra |
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triangularization
1. 개요
어떤 행렬이 삼각행렬이 되는 기저를 찾는 것. 대각행렬은 삼각행렬의 일종이므로, 삼각화는 대각화의 느슨한 형태라고 볼 수 있다.상삼각행렬을 사용하는 관습이 보통이나, 하삼각행렬은 어차피 기저의 순서를 역순으로 바꾸면 상삼각행렬과 상사가 되므로 수학적으로는 동치이다.
삼각화된 행렬의 주대각성분은 고윳값들로 이루어져 있다. 따라서 삼각화는 반드시 특성방정식이 일차식으로 완전히 인수분해되는 수 범위(즉 체) 내에서만 이루어져야 한다. 역으로 행렬의 특성방정식이 완전히 인수분해되면 삼각화가 항상 존재한다. 즉 복소수체 등의 대수적으로 닫힌 체에서는 항상 삼각화가 가능하다.
2. 증명
삼각화의 증명 자체는 의외로 블록대각행렬을 사용하면 쉽게 가능한데, 고유벡터를 하나 잡고 첫번째 벡터로 놓고, 우하단의 (n-1)*(n-1) 행렬을 삼각화시켜주면 된다(크기에 대한 수학적 귀납법을 사용). 삼각화의 활용만을 생각한다면 보통은 이 정도로 충분하다.다만 대수학 입장에서는 행렬이 아니라 선형사상의 삼각화를 '자연스럽게' 이해하는 방법을 생각해야 하므로, 몫공간(quotient space)의 개념을 사용해 삼각화를 해석한다. [math(T)]가 기저 [math(\{v_1,v_2,\cdots,v_n\} )]이 삼각화되기 위한 필요충분조건은 모든 i에 대해 [math(Tv_i)]가 [math(v_1,\cdots,v_i)]로 나타나지는 것이다. 즉 [math(V_i = \text{span}(v_1,\cdots,v_i))]로 잡으면, 삼각화 문제는 [math(T)]-불변공간 중 [math( V_{i+1}/V_i \simeq k)]을 만족하는 열 [math(\{0\}= V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_n = V )] 을 잡는 것과 동치이다.
이렇게 보면 위의 증명은 우선 고유공간 [math(V_1)]을 잡고 [math(V/V_1)]에 대해 귀납법을 쓰는 것으로 해석할 수 있다. 이 때 우하단 (n-1)*(n-1) 행렬은 [math(V/V_1)]에 작용하는 [math(T)]의 좌표로 해석된다. 따라서 몫공간을 다루지 않는 대다수의 선형대수 입문 교재에서는 위 증명의 의미를 자세히 다루기는 힘들다.
3. 활용
삼각화를 이용하여 간단히 케일리-해밀턴 정리를 증명할 수 있다. 삼각행렬에 대해 특성다항식을 계산하면 0이 되고 상사인 행렬들의 특성다항식이 같으므로 끝.실수체나 복소수체 한정으로 성립하는 슈르 삼각화(Schur triangularization)는 대각화의 기저를 직교기저로 잡을 수 있다는 내용이다. 내적공간을 먼저 배웠다면 몫공간이니 뭐니를 언급하지 않아도 슈르 삼각화를 그람-슈미트 과정을 써서 증명할 수 있으므로, 몇몇 응용 선형대수 교재에서는 이 방식으로 삼각화를 설명하기도 한다. 물론 복소수체가 아니면 그런 거 없기 때문에 유한체 같은 일반적인 경우를 다룰 때는 이렇게 할 수 없다.