1. 개요
19세기의 과학자들은 수소의 선 스펙트럼의 불연속적임을 온전히 설명하기 어려웠다. 특히 1888년 및 1890년에 뤼드베리 공식을 발표한 뤼드베리(Rydberg) 조차 이를 완전히 설명하려 시도한바있다. 1913년에 닐스 보어(Niels Bohr)는 수소의 선스펙트럼을 효과적으로 설명하기 위해, 원자모형을 다시 제창했는데 이때 1910년과 1912년의 막스 플랑크의 양자역학과 1890년의 뤼드베리 공식을 기초로 이를 제안하였다. 닐스 보어는 전자의 궤도나 에너지가 연속적이지 않고, 정수로 떨어지는 불연속적임을 가정하여 수소의 선 스펙트럼을 설명했다.[가][2][3] 닐스 보어는 여기서 몇 가지의 이론을 정리하거나 가정을 제안한바 있다. 보어의 원자 모형은 간단히 보어 모델(Bohr model)이라고 곧 잘 불리운다.1913년 닐스 보어(Niels Bohr)가 재계산한 뤼드베리 공식
[math(W_{r2}-W_{r1} = \dfrac{2\pi^2 me^4}{h^2}\left(\dfrac{1}{\tau_2^2}-\dfrac{1}{\tau_1^2} \right) )]
1913년 닐스 보어(Niels Bohr)가 계산한 환산 플랑크 상수(reduced Planck constant,디랙 상수)값
[math(M_0 = \dfrac{h}{2\pi} = 1.04\times 10^{-27} )]
2. 양자화
양자화의 정의는 어떤 물리적인 양이 연속적으로 변하지 않고, 불연속적인 값들만 가지는 것을 의미한다.예시를 들자면, 책 1.5436권, 우산 0.314개가 아닌 책 2권, 우산 1개처럼 일정한 정수비로 떨어진다고 가정했다. 그리고 원자 속의 전자가 불연속적인 에너지를 갖는 특정한 궤도에 있을 때, 에너지를 방출하지 않고 안정한 상태로 존재한다는 것을 알아냈다. 또한, 전자가 안정한 궤도 사이를 이동할 때만 두 궤도의 에너지 차이에 해당하는 에너지를 빛의 형태로 방출하거나, 흡수한다.
즉, 전자가 전자껍질 안쪽으로 이동하면 에너지를 빛의 형태로 방출하고, 전자가 전자껍질 바깥쪽으로 이동하면 에너지를 빛의 형태로 흡수한다는 의미다.
또한 에너지의 양자화를 알아야 한다. 에너지의 양자화라는 것은 양자 조건(원자 속의 전자가 불연속적인 에너지를 갖는 특정한 궤도에 있을 때, 에너지를 방출하지 않고 안정한 상태로 존재하는 것)을 만족하는 양자수 n에 따라, 원자 내의 전자가 특정한 에너지를 갖는 것을 에너지의 양자화라고 정의한다.
흔히 화학이나, 물리에서 말하는 바닥 상태라는 것은 원자가 가장 낮은 에너지를 가진 상태이고, 들뜬 상태라는 것은 원자가 바닥 상태보다 큰 에너지를 가진 상태를 의미한다. 또한 아까전에 말했다시피, 전자는 에너지를 흡수하거나 방출해서 에너지 준위를 이동한다.
여기서 흡수하거나 방출하는 에너지는 전자기파. 즉, 빛을 의미한다. 그리고, 전이하는 두 에너지의 준위 차는 서로 같다.
에너지를 흡수 할 때는 낮은 에너지 준위에 있는 전자가 높은 에너지 준위가 있는 쪽으로 전이하고, 에너지를 방출 할 때는 높은 에너지 준위에 있는 전자가 낮은 에너지 준위가 있는 쪽으로 전이한다.
진동수가 f, 광자의 에너지가 E라고 가정한다면 다음과 같다. [math(E=hf=hc/\lambda)] ([math(h=)] 플랑크 상수, [math(c=)] 진공에서의 광속)
위 식에서 hf는 광자의 에너지를 입자적 관점에서 해석한 것이고, [math(hc/\lambda )]는 광자의 에너지를 파동적으로 해석한 것이다. 이 둘의 차이로 인해 바로 빛이 입자적, 파동적 성질 모두를 띄고 있다는 이중 상태설이 제시 되었다.
2.1. 한계점
하지만 닐스 보어의 원자 모형은 아주 크나큰 한계점을 지니고 있었다.바로, 수소 이외의 원자들의 선 스펙트럼을 설명 할 수 없었다. 이 덕분에 보어의 원자모형에 오비탈이라는 가설이 더해졌다.
또한 새롭게 발견된 미세 구조(fine structure) 현상을 설명할 수 없다는 문제도 있고, 보어의 원자 모형에 적용된 가정에 따라 모든 전자는 에너지가 가장 낮은 바닥 상태에 몰린 상태로 존재해야 한다는 문제도 있다.
물리학자 조머펠트는 나트륨 증기에서 나타나는 선 중 하나를 정밀히 분석한 결과, 사실 그 선은 매우 가깝게 붙어있는 두 개의 선임을 알게 된다. 이런 현상을 미세 구조(finen structure)라고 한다. 보어의 원자 모형은 이를 설명하지 못했다. [4] [출처1] [출처2]
보어는 원자 내에서 전자가 가속하여 붕괴되는 고전 이론의 오류를 해결하기 위해 바닥 상태 개념을 도입했다. 하지만 이는 모든 전자가 안정적이기 위해 바닥 상태에서만 존재해야 한다는 문제가 있다. 따라서 껍질은 모두 채워질 수 없고, 최외각 전자가 존재하지 않을 수 있기 때문에 원소의 화학적 성질을 설명하기 힘들어진다. [7] [출처1] [출처2]
3. 보어의 수소 원자 모형
3.1. 뉴턴 역학
뉴턴 운동방정식 [math(F = m_{e}a \quad)] -(1)만유인력의 법칙 [math(\displaystyle F = G \dfrac{q_{1}q_{2} }{r^{2}} \quad)] -(2)
(2) 대신 쿨롱 법칙 [math(\displaystyle F = k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r^{2}} \quad)]을 사용할 수도 있다. 일반적으로 전자기학의 쿨롱법칙을 다룬다.
3.2. 구심 가속도
등속 원운동으로부터 (원)선속도 [math( \displaystyle{{v}\over{r}} = \omega)]에서 회전가속도 [math(r\omega^2 = \dfrac{v^2}r)]을 얻을수있다.그리고 이것을 원(구)심가속도(a) 로 사용하면
[math( a = \dfrac{v^2}r \quad)] -(3) 을 얻을수있다.
(1)에 (2)와(3)을 대입하면
[math( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r^{2}} = m_{e} \dfrac{v^2}r )]
[math( {v^2} = k \dfrac{q_{1}q_{2} r }{r^{2} m_{e} } )]
[math( v = \sqrt{ k \dfrac{q_{1}q_{2} r }{r^{2} m_{e} } } )]
[math( v = \sqrt{ k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r m_{e} } } \quad)] -(4)
속도항([math( v)])를 얻을수있다.
3.3. 보어 반지름
회전하는 물체가 갖는 운동량을 벡터 물리량으로 다루고 이를 선운동량 [math(\mathbf{p})]를 갖는 위치 [math({r})]의 질점이 갖는 각운동량으로 다음과 같이 표현해볼수있다.[math(\displaystyle {L} = r \times \mathbf{p} )]
이때 질량 [math(m)]의 질점이 속도 [math(\mathbf{v})]를 가질 때 선운동량 [math(\mathbf{p}=m v)]임을 이용하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math( L= rmv \quad)] -(5)
수소 원자의 전자를 각운동량으로 가정하고 (5)에 (4)를 대입하면
[math( L= \sqrt{ k \dfrac{q_{1}q_{2} r^2 m_{e}^{2} }{r m_{e} } } )]
[math( L= \sqrt{ k q_{1}q_{2} r m_{e} } \quad)] -(6) 를 조사할수있다.
보어는 [math( L= n\hbar \quad)] -(7) 를 콤프턴 파장(Compton wavelength) [math( \Delta \lambda =\lambda '-\lambda )]으로부터 도입하고
(6)과 (7)을 관계식으로 하는
[math( \sqrt{ k q_{1}q_{2} r m_{e} } = n\hbar )]
[math( r_{n} = \dfrac{(n\hbar)^2}{kq_{1}q_{2} m_{e}} = )] [math(\dfrac{\hbar^2}{kq_{1}q_{2} m_{e}})][math(n^2)]
전자의 궤도반지름(궤도 껍질,n)을 나타내는 수소원자모델로 제안하였다.
결론적으로 수식화하면,
[math(r_{n} = a_{0}n^2)]
여기서 [math(a_{0})] 가 보어 반지름[10]이다.
3.4. 전자 에너지
뉴턴의 제2운동법칙[math( F= ma )] 운동 방정식으로 부터
[math( a = {v^2} = k \dfrac{q_{1}q_{2} r }{r^{2} m_{e} } )]이고
(1)과 (2)에 대입하면 전자의 운동에너지
[math( F = m_e k \dfrac{q_{1}q_{2} r }{r^{2} m_{e} } = k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r } )] 포텐셜에너지를 조사할수있다. 이를 비리얼 정리를 가정하고 n번째 궤도의 전자의 운동에너지를 [math( E_1 = F= \dfrac{1}{2}ma )]로 놓으면 전자의 운동에너지[math( (E_1) )]와 포텐셜에너지[math( (E_2) )]의 합으로 총에너지(E)를 다루어 볼수있다.
[math( E= E_1 + E_2 = \dfrac{1}{2}ma + \left( -k \dfrac{q_1 q_2}{r_n} \right) )]
(4)를 대입하면
[math( E = \dfrac{1}{2}m_e \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} r }{r^{2} m_{e} } \right) -\left( k \dfrac{q_1 q_2}{r_n} \right) )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r} \right) -\left( k \dfrac{q_1 q_2}{r_n} \right) )]이므로
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r} \right) )]로 포텐셜에너지의 [math( \dfrac{1}{2} )]에서 운동에너지와 같다는 사실을 조사할수있다.
4. 뤼드베리 상수 계산
1888년 및 1890년 뤼드베리 공식으로부터 1913년 보어의 계산으로 뤼드베리 상수(Rydberg constant)를 조사할수있다.보어가 수소원자모델로 제안한 보어 모델에서 전자 에너지 값
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r_n} \right) )] -(1)
역시 보어가 수소원자모델로 제안한 보어 모델에서 전자의 궤도반지름(궤도 껍질,n)을 나타내는 보어반지름 [math( (r_{n}) )]
[math( r_{n} = \dfrac{(n\hbar)^2}{kq_{1}q_{2} m_{e}} )] -(2)
(1)에 (2)를 대입하면
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{\dfrac{(n\hbar)^2}{kq_{1}q_{2} m_{e}} } \right) )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{kq_{1}q_{2} kq_{1}q_{2} m_{e} }{(n\hbar)^2} \right) )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{n\hbar}\right)^2 m_{e} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{n\hbar}\right)^2 m_{e}\dfrac{c^2}{c^2} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 m_{e}\dfrac{c^2}{n^2} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} )]-(3)
콤프턴 파장(Compton wavelength) [math( \Delta \lambda =\lambda '-\lambda )]으로부터
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = E )]이므로
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = E' - E )] - (4) 보어의 양자궤도 조건을 얻을수있다.
(3)을 (4)에 대입하면
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} \right)' - \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} \right) )]
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 {m_{e}c^2} \right) \left( \dfrac{1}{n'^{2}} - \dfrac{1}{n^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\dfrac{\left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 {m_{e}c^2} \right)}{ch} \left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{2\pi}{2\pi}\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{2\pi2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 2\pi}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
뤼드베리 공식(역파장함수) [math( \dfrac{1}{\lambda} = R \left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]을 얻을수있다.
따라서 뤼드베리 상수항(constant term)[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right) )]을 조사할수있다.
5. 좀머펠트 미세구조상수
뤼드베리 공식의 뤼드베리 상수항(Rydberg constant term)[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \left( \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right) \right) )][math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left(\text{좀머펠트 미세구조항} \right) \left(\text{콤프턴 파장항}\right) \right) )]
콤프턴 파장(Compton wavelength)항과 좀머펠트 미세구조상수(Sommerfeld fine structure constant)항의 공통분모인 플랑크-콤프턴 상수[math( (\hbar c ) )]의 맥락(context)에서 본다면 콤프턴 파장항의 [math(mc^2 = E)]이므로 좀머펠트 미세구조항은 수소(H)기준에서 다루어 볼때 양성자와 전자와의 양자역학적 구조를 이해할수있도록 접근하게 해주는 미세구조(fine structure)를 시사한다고 볼수 있다.
6. 관련문서
[가]
Bohr, Niels (1913). "On the Constitution of Atoms and Molecules, Part I". Philosophical Magazine. 26 (151): 1–24. doi:10.1080/14786441308634955.
https://uni-tuebingen.de/fileadmin/Uni_Tuebingen/Fakultaeten/MathePhysik/Institute/IAP/Forschung/MOettel/Geburt_QM/bohr_PhilMag_26_1_1913.pdf
[2]
Bohr, Niels (1913). "On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II Systems Containing Only a Single Nucleus". Philosophical Magazine. 26 (153): 476–502. doi:10.1080/14786441308634993.
[3]
Bohr, N.; Kramers, H. A.; Slater, J. C. 1924 "The Quantum Theory of Radiation" . Philosophical Magazine. 6. 76 (287): 785–802. doi:10.1080/14786442408565262. Archived
[4]
조머펠트는 이후 추가적인 양자수 개념인 스핀 양자수를 도입하여 이 문제를 해결했다. 스핀 양자수는
오비탈 문서 3.4. 스핀 양자수 참고.
[출처1]
마이클 워커, <양자역학이란 무엇인가>, 60-61p
[출처2]
Serway, Vuille <일반물리학> 11판 개정판, 694p
[7]
하지만 1925년, 물리학자 볼프강 파울리가 어떤 두 개의 전자도 같은 양자수 집합을 가지지 않는다는
파울리 배타 원리(Pauli exclusion principle)을 발표하며 해결되었다.
[출처1]
마이클 워커, <양자역학이란 무엇인가>, 66p
[출처2]
Serway, Vuille <일반물리학> 11판 개정판, 696-697p
[10]
[math(a_{0}=)] 0.053 nm이다.