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1. 개요
재규격화란 양자화로 규격화된 여러 항들의 범위를 되맞추는 방법론들을 총칭한다. 주로 발산하는 변수항의 범위를 맞추거나 상수항을 형식화해서 해석적으로 이어지게 만드는데 사용된다. 이는 양자화로부터 의미있는 물리량들을 계산하는데 목적이 있다. 이러한 방법론들을 체계화하여 공리처럼 나타낸것을 재규격화 방식(renormalization scheme)이라고 한다.2. 원인
경로적분, 2차 양자화의 델타 함수꼴 복소 액션항은 아래의 소코트스키-플레멜 정리를 따라 표현된다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \dfrac{1}{(x \pm i\epsilon)} = \frac{1}{x} \pm i\pi\delta(x) \end{aligned})] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \int \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{e^{ip(x-y)}}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)} \to \lim\limits_{\epsilon \to 0} \int \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{ip\!\!\!/+m}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)} \end{aligned})] |
[math(k+p)]의 운동량을 가진, 하나의 페르미온 입자 운동을 추가로 가정해서 간단한 루프 산란 행렬을 써본다면,[1]
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \int g^2 \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{(ip\!\!\!/+m)\gamma_{\mu}(i(k\!\!\!/+p\!\!\!/)+m)\gamma_{\nu}}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)((k+p)^2+m^2 \pm i\epsilon)} \end{aligned})] |
여기서 발산의 원인이 될만한 두가지 특징을 확인할수 있다. 첫번째는 적분의 영역이고, 두번째는 적분을 완료한뒤 결과 함수는 로그함수 꼴이라는 점이다. 우선 위의 적분 영역은 일반적인 적분의 영역보다 극값을 쉽게 도출할수 있다. 그러므로, 영역의 차수와 정의역에 관한 1차원적 범위의 변형이 있지 않는 한 수렴하는 부분을 조사하기가 힘들다. 적분했을때 로그 함수가 되도록 하는 적분내 함수도 마찬가지로 값이 발산되도록 하는 특이점이 존재해서 수렴하는 영역을 찾고자 할 경우에는 복소해석학을 써야한다. 위와 같은 두가지 특징을 해결하기 위해 복소해석적인 방법과 대수적인 방법으로 해석적으로 연속하게 만드는 방법인 재규격화가 고안되게 되었다.
2.1. 재규격화 가능성
재규격화도 발산이 어떻게 정의되어지는가에 따라 가능성이 달라진다. 이를 나타내고자 한것이 바로 재규격화 가능성(renormalizability)이다. 재규격화 가능성을 조사하기 위한 방법은 크게 2가지가 있는데, 산란행렬의 분모에 들어가는 항(전파인자)의 개수, 분자에 들어가는 항의 개수(디랙 자유 입자 행렬, 상호작용점등)의 차로 판단하는 방법과 장의 차원과 산란행렬 혹은 라그랑지언의 차원을 대수적으로 계산해서 판단하는 방법이 존재한다. 두가지 방법중 어떤 방법을 선택하는 것과는 상관없이 재규격화 가능성을 계산했을때 값이 양수 혹은 0이 나오면, 재규격화가 가능하고, 양수일 경우 초재규격화가능성이라고 표현한다. 음수가 나온다면 재규격화가 불가능하다.2.1.1. 의문점
1970년대 이전에는 실험값과 얼마나 일치하는지가 이론의 중요한 평가기준이었기에 실험적으로 예측 가능한 결과를 주는 재규격화 가능한 이론들이 크게 주목받았다. 재규격화는 수학적으로도 측정 가능한 범위를 명확하게 재단시키는 역할을 했다.1970년대에는 조절이라는 혁신적인 방법을 통해 재규격화로 표현할수 있는 영역이 더 정교해지자, 재규격화는 가설로만 남아있던 여러 모형을 차례대로 증명해나아가는 혁신을 계속해서 보여주었다. 그에 따라서 재규격화가 불가능한 이론을 조절을 이용해서 문제를 해결할수 있을까? 라는 의문을 가진 학자들도 등장했다. 다만 당시 재규격화 가능성에 의문을 가진 학자들의 태반도 “한 이론에서 재규격화불가능성은 왜 참인가“를 기반을 두고 연구했다.
끈이론으로 대표되는 일반상대성이론과의 통합이라는 21세기 물리학계의 숙제는 재규격화에 대해 더 큰 물음표를 던진다. 재규격화불가능함을 참으로 두는 경향이었던 이전과는 달리 일부 급진적인 가설을 내놓는 학자들을 중심으로 “재규격화불가능한 이론은 항상 재규격화가 불가능한가?“라는 중립적인 의문으로 확장되었다.
2.2. 파인만 매개변수화
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리처드 파인만은 경로적분을 활용하여 표현한 전자기 상호작용의 산란행렬의 계산을 연구하던도중, 산란행렬의 발산을 보다 더 쉽게 다루기 위해 전파인자의 해석학적 특징을 활용하여 매개변수화를 고안했다.
전파인자의 해석적인 특징은 완비성을 지닌 힐베르트 공간의 적분으로써, 전파인자의 분모는 체 [math(\mathbb{K})]위의 부분공간인 임의의 선형다양체 [math(M)]으로 변형가능하다. 그러므로, [math(\alpha, \beta \in \mathbb{K})]와 [math(A, B = M)]라고 하면, [math(\alpha A + \beta B \in M)]일때, [math(\alpha, \beta)]를 각각 매개변수인 [math(x)], [math(1-x)] 혹은 [math(y)]로 두는것이 가능해진다.[2]
산란 행렬에서의 매개변수화의 과정은 아래와 같이 이루어진다. 먼저 2개의 입자가 상호작용하는 산란행렬의 매개변수화를 보기위해 전파인자 분모를 각각 [math(A)], [math(B)]라고 하자.
분모를 각각 분리하면,
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\times\dfrac{(B-A)}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)= \int_{B}^{A} -\dfrac{1}{z^2} dz \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\left(\int_{B}^{A} -\dfrac{1}{z^2} dz\right) \end{aligned})] |
그러므로, [math(z=xA+(1-x)B)]로 둔다면, 매개변수 [math(x)]로 치환한 [math(z)]는 [math(x=\frac{z-B}{A-B})]로 고쳐쓸수 있다. 최종적으로는 아래와 같다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{AB}=\int_{0}^{1} \dfrac{1}{(xA+(1-x)B)^2} dx \end{aligned})] |
위 식에서 [math(A)] 혹은 [math(B)]에 대한 미분을 하면, 3개 이상의 입자가 상호작용하는 산란행렬과 같다. 즉 [math(A)]에 대해 미분하면 다음과 같이 변한다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{A^{2}B}=\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{(xA+(1-x)B)^3} dx \end{aligned})] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{A_{1} A_{2} \cdots A_{n}} =\int_{0}^{1} \delta(\sum x_{i}-1) \dfrac{(n-1)!}{(\sum x_{n} A_{n})} dx_{1} \cdots dx_{n} \end{aligned})] |
| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\dfrac{1}{AB^{n}})] | [math(\displaystyle \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1} \delta(x+y-1)\dfrac {ny^{n-1}}{(xA+yB)^{n+1}} dxdy)] |
| [math(\dfrac{1}{ABC})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} 2 \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} dy \dfrac{1}{(Ax+(B-A)x+(C-A)y)^3} \end{aligned})] |
| [math(\dfrac{1}{A^n B^m})] | [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac {\Gamma(n+m)}{\Gamma(n)\Gamma(m)} \int_{0}^{1} \dfrac {x^{n-1}(1-x)^{m-1}}{(Ax+(1-x)B)^{n+m}} dx \end{aligned})] |
| [math(\dfrac{1}{A_{1}^{m_{1}} A_{2}^{m_{2}} \cdots A_{n}^{m_{n}}})] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac{\Gamma(m_{1} + \cdots + m_{n})}{\Gamma(m_{1}) \cdots \Gamma(m_{n})}\int_{0}^{1} \delta(\sum x_{i}-1) \dfrac{\prod x_{i}^{m_{i}-1}}{(\sum x_{n} A_{n})^{\sum m_{i}}} dx_{1} \cdots dx_{n} \end{aligned})] |
3. 조절
발산하는 항의 영역을 제거하거나 재배치하는 기법들의 총칭을 조절(regularization)이라고 한다. 크게 발산항을 대수적으로 쪼개서 0으로 유도하는 기법과 발산항의 적분 정의역을 함수해석적으로 재배치하는 기법으로 나뉜다.3.1. 파울리-빌라르 조절
Pauli-Villars regularizationPV regularization
무한히 큰 질량항으로 가정되는 발산항을 대수적으로 분리해낸뒤 발산항에 조절인자를 끼워넣어서 발산항을 제거하는 기법으로 1949년 볼프강 파울리와 펠릭스 빌라르가 고안했다.
양자화의 임의의 복소 적분을 [math(\Delta)]라고 가정하고, 아래와 같이 삼각함수로 각각 분리하면,
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[math(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \Delta^{(1)}(x) &= -\dfrac{m^2}{2\pi^2} \int_{0}^{\infty} d\alpha \operatorname{sin} \left(-(x_{\mu})^{2}m^{2} \alpha + \dfrac{1}{4\alpha} \right) \\ \displaystyle \Delta(x) &= \dfrac{m^2}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty} d\alpha \operatorname{cos} \left(-(x_{\mu})^{2}m^{2} \alpha + \dfrac{1}{4\alpha} \right)
\end{aligned})] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Delta_{R}^{(1)}(x) &= \sum_{i} c_{i} \Delta^{(1)}(M_{i}) \\ \Delta_{R}(x) &= \sum_{i} c_{i} \Delta(M_{i}) \end{aligned})] |
[math(\begin{aligned}
\sum_{i} c_{i} = 0 \\ \sum_{i} c_{i} M_{i} = 0
\end{aligned})]
\sum_{i} c_{i} = 0 \\ \sum_{i} c_{i} M_{i} = 0
\end{aligned})]
3.2. 차원 조절
dimensional regularization발산하는 적분에서 정의역의 차원을 분리한뒤 비교적 낮은 차수의 정의역에서 복소해석적인 방법으로 해석적 연속을 보이는 부분을 조사하는 방법으로써, 1972년 헤라르뒤스 엇호프트, 마르티뉘스 펠트만, 카를로스 볼리니, 후안 지암비아지가 고안했다.
차원이 [math(n)]인 전파인자를 [math(f(p,m))]으로 가정한다면, 양자화는 다음과 같이 분리될수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int d^n p\, f(p,m) \to \int d^4 p \int d^{n-4} p_{i}\, f(p,m) \end{aligned})] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int d^{n-4} p_{i}\, f(p,m) \to \int_{0}^{\infty} d\omega\, \omega^{n-5} \dfrac{2\pi^{\frac{1}{2}(n-4)}}{\Gamma(\frac{1}{2}(n-4))} f(p, \omega^2, m) \\ = -\dfrac{2}{(n-4)}\int_{0}^{\infty} d\omega\, \omega^{n-3} \dfrac{2\pi^{\frac{1}{2}(n-4)}}{\Gamma(\frac{1}{2}(n-4))} \dfrac{\partial}{\partial \omega^2} f(p, \omega^2, m) \\ \end{aligned})] |
[math(\epsilon=n-4)]일때, 전파인자 [math(f(\omega^2, p, m))]는 [math(\frac{1}{(\omega^2+p+m)^{\alpha}})]이라고 하자. [math(f(\omega^2, p, m))]의 인수가 각각 매개 변수 [math(x)], [math(1-x)]로 곱해지고, x에 대한 공식으로 다음과 같이 치환된다면, [math(\int_{0}^{\infty} d^{\epsilon})]꼴 적분도 아래와 같이 바뀐다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
&x=\dfrac{(p+m)}{(\omega^2+p+m)} \\ &\int_{0}^{\infty} d\omega\, \omega^{\epsilon-1} f(\omega^2,p,m) =\dfrac{i\pi^{\frac{\epsilon}{2}}\Gamma(\alpha-\frac{\epsilon}{2})}{(p+m)^{\alpha-\frac{\epsilon}{2}}\Gamma(\alpha)} \end{aligned})] |
[math(\phi^4)] 스칼라 장론[3]의 라그랑지언 포멀리즘 형태가 다음과 같을때,
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathcal{L}_{\phi^4} = \dfrac{|\partial \phi(x)|^2}{2} - \dfrac{\mu^{2}(\phi(x))^{2}}{2} - \dfrac{\lambda (\phi(x))^4}{4!} \end{aligned})] |
| <colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\mu)] | [math(1)] |
| [math(\partial)] | [math(1)] |
| [math(\phi(x))] | [math(\dfrac{n-2}{2})] |
| [math(\lambda)] | [math(n-4\left(\dfrac{n-2}{2}\right))] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lambda = \mu_{U}^{4-n}\left(\lambda_{R} + \sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{a_{mn}\lambda_{R}^{n}}{(n-4)^{m}}\right) \end{aligned})] |
3.3. 제타 함수 조절
zeta function regularization드 지터 공간과 같은 곡면 시공간의 국소적인 유클리드 공간에서의 발산되는 적분에 차원 조절을 적용한 것으로, 이때의 조절자는 제타 함수이다. 주로 슈바르트실트 해를 다루기 위해 사용되며, 1977년 스티븐 호킹이 고안했다.
중력으로 인한 곡면 시공간을 고려하는 힐베르트 액션 성분을 적분했을때 발산하는 원인인 리치 스칼라 곡률의 고유값을 [math(\lambda_{R})]라고 했을때, 제타 함수는 다음과 같다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\zeta(s)=\dfrac{2V}{(2\pi)^3} \sum_{R}^{\infty} \int d^3 k\, \lambda_{R}^{-s}=\dfrac{4\pi\,V}{(2\pi)^3} \left(\int d k \, k^{2-2s} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \int dk\,k^2 \lambda_{R}^{-s} \right) \end{aligned})] |
여기서 [math(\frac{2V}{(2\pi)^3} \int d^3 k)]는 고유값의 밀도이다. 이때 분배함수에서 역온도인 [math(T=\beta^{-1})]임을 따른다면, 고유값 [math(\lambda_{R})]은 [math((2\pi\,\beta^{-1}n)^{2}+k^{2})]이다.
4. 재규격화군
재규격화군(Renormalization Group)은 눈금(scale) 변환에 따른 재규격화 영역을 조사하는 수학적 방법이다. 한 매개변수에만 재규격화를 적용시키는 것뿐만 아닌 작용에 있는 여러 상수항[4]에 매개변수의 눈금 변환을 주어 재규격화 영역을 나타내고자 하여서 재규격화군이라는 명칭이 붙었다. 처음으로 명칭과 방법론이 소개된 것은 에른스트 스튀켈베르크의 산란행렬 재규격화 논문이다.눈금 변화를 미분 형태로 구하기 때문에, 재규격화군을 나타내는 수학적 형태는 미분방정식이며, 이를 재규격화군 방정식(RGE)이라고 한다. 다만, 실제로는 전파인자로부터 재규격화군방정식을 유도하는 과정이 해석적으로 비가역이기 때문에, 군이 아니라 모노이드다. 눈금 변화가 재귀성을 띈다면, 일종의 흐름을 그리게 되는데, 이것을 재규격화군 흐름(RG Flow)이라고 한다.
다만, 전체적인 섭동의 소거가 가능한 눈금 변화조차도 특정 지점은 소거를 못하는데, 바로 자유장 라그랑지언이다. 이것이 표기되는 지점은 고정점(fixed point)이라고 부른다. 다만, 눈금 변화로 장이론의 상호작용 상수의 차수가 커져 더이상 변화가 안된다면, 상호작용 상수가 표기되는 지점또한 고정점으로 추가되어 흐름이 바뀐다. 또한 눈금 변화로 상수항의 계수가 달라진다면 영역의 재규격화가능성이 변화되므로, 계수가 커져서 강한 재규격화가능성을 보인다면, 그 계수를 관련 연산자(relevant operator)로 부르고, 반대의 경우로 계수가 소거된다면, 무관 연산자(irrelevant operator)로 부른다.
4.1. 스튀켈베르크
시공간 [math(V)]와 질량, 커플링 상수를 원소로 가진 산란행렬의 재규격화 가능성의 불변함을 조사하기 위해 원소에 대하여 산란행렬을 연속 미분하는 과정에서 도출한 재규격화군으로, 재규격화군을 표현하는 최초의 방법이다. 에른스트 스튀켈베르크(ernst stückelberg)가 1953년에 소개했다.산란행렬이 다음을 내포할때,
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
S^{(n)} = 1+S_{1} + \cdots + S_{n} = S^{(n)}(\mu, m, \lambda, g, e, \epsilon)\\ S_{1} = i(eA_{(1)}^{(v)} + \lambda A_{(1)}^{(pv)} + g A_{(1)}^{(ps)}) \end{aligned})] |
산란행렬의 게이지 불변을 만족시키기 위해, 위 상수 원소들로 미분을 가하면, 다음과 같다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\delta S^{(n)} = \sum_{i} \delta c_i P_i S^{(n)}\\ P_i = \dfrac{\partial}{\partial c} \end{aligned})] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\delta S^{(n)} = \sum_{i} h(\epsilon) \partial_{\epsilon} S^{(n)} \end{aligned})] |
4.2. 겔만-로
전자기상호작용내 전파인자가 다이슨 방정식으로 표현될때, 재규격화 인자와 수렴하는 전파인자를 재분류하는 과정에서 도출한 재규격화군 방정식이다. 전파인자를 복소 해석적으로 각각 분리해서 다이슨 방정식으로 인한 재규격화 인자의 해석적 형태를 나타낼수 있고, 워드 항등식으로 상호작용의 전파인자 함수를 규명하여 전하를 눈금 매개변수로 가진 재규격화 인자로부터 재규격화군 방정식과 [math(\psi)] 함수(베타 함수)를 도출한다. 1954년 머리 겔만과 프랜시스 로가 소개했다.[5]우선 전퍼인자내 해밀토니언 항이 상대론적으로 전개되고, 하이젠베르크 묘사의 해로 가정한다. 로랑 급수를 사용하여 전파인자를 나타낸다면, 다음과 같다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
D(p^2, e_{n}^2)=\dfrac{1}{p^2-i\epsilon}+\int_{0}^{\infty} \frac{f\left(\frac{M^2}{m^2}, e^2\right)}{p^2+M^2-i\epsilon}\dfrac{dM^2}{M^2} \end{aligned})] |
겔만-로 재규격화군 방정식은 발산하는 전파인자 함수를 재규격화 인자와 전파인자로 아래와 같은 다이슨 방정식으로 재분류된다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\bar{D}(k^2, g_{n}^2) = Z_{2}D(p^2, e_{m}^2) \end{aligned})] |
그러므로, 역 재규격화 인자의 해석적 형태는 다음과 같다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
Z_{2}^{-1}=\left(1+\int_{0}^{\infty} f\left(\dfrac{M^2}{m^2}, e^2\right)\dfrac{dM^2}{M^2}\right) \end{aligned})] |
또한 다이슨 방정식은 산란진폭에도 규명되므로, 산란진폭의 재규격화 인자 [math(Z_{2})]와 유한 산란진폭 함수 [math(S_{FC})]도 아래와 같다.
| 산란진폭 |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
S_{FC}(p^2, e_{1}^2)=\dfrac{1}{i\gamma p+m -i\epsilon}&+\int_{m}^{\infty} \frac{g\left(\frac{M}{m}, e^2\right)}{i \gamma p+M-i\epsilon}\dfrac{dM}{M}\\ &+\int_{m}^{\infty} \frac{h\left(\frac{M}{m}, e^2\right)}{i \gamma p-M-i\epsilon}\dfrac{dM}{M} \end{aligned})] |
| 역 재규격화 인자 |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Z_{2}^{-1}=1+\int_{m}^{\infty} g\left(\frac{M}{m}, e^2\right)\dfrac{dM}{M}+\int_{m}^{\infty} h\left(\frac{M}{m}, e^2\right)\dfrac{dM}{M} \end{aligned})] |
이때, 유한 함수를 조사하기 위해 차단이 가능할정도로 큰 질량 변수 [math(\lambda)]을 각각 전파인자와 산란진폭, 재규격화 인자[6]에 가정하면,
| [math(S_{F \lambda})] | [math(\dfrac{\lambda}{(\lambda+i \gamma p-i\epsilon)}S_{F})] |
| [math(D_{F \lambda})] | [math(\dfrac{\lambda^2}{(\lambda^2+p^2-i\epsilon)}D_{F})] |
| [math(z_{2 \lambda})] | [math(\sum e^{2n}(\ln(\frac{\lambda^2}{m^2}))^n)] |
이때 유한 재규격화 인자 [math(z_{2 \lambda})]를 전개하고, 다이슨 방정식에 대입할때 극한값이 m=0일때 PV 조절로 차단하지 않는 이상 여전히 발산한다는 문제점을 지니고 있다. 이를 해결하기 위해서 [math(\lambda^2 > p^2 > m^2)] 점근 영역에서 전파인자와 산란진폭을 아래와 같이 정리한다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
S&=\dfrac{1}{i\gamma p}S_{c}\left(\frac{p^2}{m^2}\right) \\ D&=\dfrac{1}{k^2}D_{c}(k^2) \end{aligned})] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Gamma_{\mu}(p, p)&=\dfrac{1}{i}\dfrac{\partial}{\partial p_{\mu}}(S_{c}(p)^{-1}) \\ W_{\mu}(k)&=\dfrac{1}{i}\dfrac{\partial}{\partial k_{\mu}}(D_{c}(k)^{-1}) \end{aligned})] |
| 유한 함수 | |
| [math(S_{FC})] | [math(\dfrac{1}{(i\gamma p+m)}S_{c}(p))] |
| [math(S_{F \lambda \theta})] | [math(\dfrac{1}{(i \gamma p+m)}S(\lambda, \theta, p))] |
| [math(D_{FC})] | [math(\dfrac{1}{k^2}D_{c}(k))] |
| [math(D_{F \lambda})] | [math(\dfrac{1}{k^2}D(\lambda, k))] |
| 다이슨 방정식 | |
| [math(S_{F}(\lambda, \theta, p ; e^2 ) = z_{2}(\lambda, \theta ; e_{1}^2 )S_{c}(p))] | |
| [math(D_{F}(\lambda, k ; e_{1}^2 ) = z_{3}(\lambda, e^2 )D_{c}(k))] | |
| [math(e_{1}^2 = z_{3}(\lambda, e^2 )e^2 )] | |
5. 참고문헌
- M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction of Quantum Field Theory, CRC Press
- J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics
- R. P. Feynman, Space-time Approach to Quantumelectrodynamics, Phys. Rev. 76, 769(1949)
- W. Pauli and F. Villars, On the invariant regularization in Relativistic Quantum Theory, Rev. Mod. Phys. 21, 434(1949)
- A. Petermann, E. Stueckelberg, La normalisation des constantes dans la theorie des quanta, Helv. Phys. Acta 26 (1953), 499
- M. Gell-Mann, F. Low, Quantum Electrodynamics at Small Distances, Phys. Rev. 95, 1300 (1954)
- C. Quigg and J.D. Jackson, UCRL-18487 (1968)
- G. ‘t Hooft, Renormalization of Massless Yang-Mills Field, Nucl. Phys. B 33, (1971) 173
- G. ‘t Hooft and M. Veltman, Regularization and Renormalization of Gauge Fields, Nucl. Phys. B 44, (1972) 189
- G. ‘t Hooft, Dimensional Regularization and The Renormalization Group, Nucl. Phys. B 61, (1973) 455
- S. W. Hawking, Zeta Function Regularization of Path Integrals in Curved Spacetime, Commun. Math. Phys. 55, 133(1977)
- K. G. Wilson and J. Kogut, The Renormalization Group and the [math(\epsilon)] Expansion, Phys. Rep. 12, (1974) 75