최근 수정 시각 : 2024-05-20 11:39:36

재규격화

양자역학
Quantum Mechanics
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1. 개요2. 원인
2.1. 재규격화 가능성2.2. 파인만 매개변수화
3. 조절
3.1. 파울리-빌라르 조절3.2. 차원 조절3.3. 제타 함수 조절
4. 참고문헌

1. 개요

재규격화란 양자화의 여러 항들의 범위를 되맞추는 방법론들을 총칭한다. 주로 발산하는 변수항의 범위를 맞추거나 상수항을 형식화해서 해석적 연속하게 만드는데 사용된다. 이는 양자화로부터 의미있는 물리량들을 계산하는데 목적이 있다. 이러한 방법론들을 체계화하여 공리처럼 나타낸것을 재규격화 방식(Renormalization Scheme)이라고 한다.

2. 원인

경로적분, 2차 양자화의 델타 함수꼴 복소 액션항은 아래의 소코트스키-플레멜 정리를 따라 표현된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \dfrac{1}{(x \pm i\epsilon)} = \frac{1}{x} \pm i\pi\delta(x)
\end{aligned})]
적분 영역을 운동량 항으로 변환한다면, 이는 전파인자의 수학적 표현과 동일하다. 우선 전파인자로부터 페르미온의 전파인자를 가정해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \int \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{e^{ip(x-y)}}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)} \to \lim\limits_{\epsilon \to 0} \int \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{ip\!\!\!/+m}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)}
\end{aligned})]
하지만, 전파인자에서 유의미한 물리량들을 계산하기 위해 그대로 부정적분을 하면, 무한대로 발산된다는 사실은 자명하다.

[math(k+p)]의 운동량을 가진, 하나의 페르미온 입자 운동을 추가로 가정해서 간단한 루프 산란 행렬을 써본다면,[1]
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim\limits_{\epsilon \to 0} \int g^2 \dfrac{d^n p}{(2 \pi)^n}\dfrac{(ip\!\!\!/+m)\gamma_{\mu}(i(k\!\!\!/+p\!\!\!/)+m)\gamma_{\nu}}{(p^2+m^2 \pm i\epsilon)((k+p)^2+m^2 \pm i\epsilon)}
\end{aligned})]
이 산란행렬에서도 마찬가지로 유의미한 값을 그대로 구하기 위해 적분을 시도한다면, 무한대로 여전히 발산된다.

여기서 발산의 원인이 될만한 두가지 특징을 확인할수 있다. 첫번째는 적분의 영역이고, 두번째는 적분을 완료한뒤 결과 함수는 로그 함수꼴이라는 점이다. 우선 위의 적분 영역은 일반적인 적분의 영역보다 극값을 쉽게 도출할수 있다. 그러므로, 영역의 차수와 정의역에 관한 1차원적 범위의 변형이 있지 않는 한 수렴하는 부분을 조사하기가 힘들다. 적분했을때 로그 함수가 되도록 하는 적분내 함수도 마찬가지로 값이 발산되도록 하는 특이점이 존재해서 수렴하는 영역을 찾고자 할 경우에는 복소해석학을 써야한다. 위와 같은 두가지 특징을 해결하기 위해 복소해석적인 방법과 대수적인 방법으로 해석적으로 연속하게 만드는 방법인 재규격화가 고안되게 되었다.

2.1. 재규격화 가능성

재규격화도 발산이 어떻게 정의되어지는가에 따라 가능성이 달라진다. 이를 나타내고자 한것이 바로 재규격화 가능성(Renormalizability)이다. 재규격화 가능성을 조사하기 위한 방법은 크게 2가지가 있는데, 산란행렬의 분모에 들어가는 항(전파인자)의 개수, 분자에 들어가는 항의 개수(디랙 자유 입자 행렬, 상호작용점등)의 차로 판단하는 방법과 장의 차원과 산란행렬 혹은 라그랑지언의 차원을 대수적으로 계산해서 판단하는 방법이 존재한다. 두가지 방법중 어떤 방법을 선택하는 것과는 상관없이 재규격화 가능성을 계산했을때 값이 양수 혹은 0이 나오면, 재규격화가 가능하고 음수가 나온다면 재규격화가 불가능하다.

2.2. 파인만 매개변수화

리처드 파인만은 경로적분을 활용하여 표현한 전자기 상호작용의 산란행렬의 계산을 연구하던도중, 산란행렬의 발산을 보다 더 쉽게 다루기 위해 전파인자의 해석학적 특징을 활용하여 매개변수화를 고안했다.

전파인자의 해석적인 특징은 완비성을 지닌 힐베르트 공간의 적분으로써, 전파인자의 분모는 체 [math(\mathbb{K})]위의 부분공간인 임의의 선형다양체 [math(M)]으로 변형가능하다. 그러므로, [math(\alpha, \beta \in \mathbb{K})]와 [math(A, B = M)]라고 하면, [math(\alpha A + \beta B \in M)]일때, [math(\alpha, \beta)]를 각각 매개변수인 [math(x)], [math(1-x)] 혹은 [math(y)]로 두는것이 가능해진다.[2]

산란 행렬에서의 매개변수화의 과정은 아래와 같이 이루어진다. 먼저 2개의 입자가 상호작용하는 산란행렬의 매개변수화를 보기위해 전파인자 분모를 각각 [math(A)], [math(B)]라고 하자.

분모를 각각 분리하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\times\dfrac{(B-A)}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)
\end{aligned})]
분수 분리된 맨 우변 항을 적분으로 변형하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\left(\dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\right)= \int_{B}^{A} -\dfrac{1}{z^2} dz
\end{aligned})]
즉, 다음을 함양한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{(B-A)}\left(\int_{B}^{A} -\dfrac{1}{z^2} dz\right)
\end{aligned})]

그러므로, [math(z=xA+(1-x)B)]로 둔다면, 매개변수 [math(x)]로 치환한 [math(z)]는 [math(x=\frac{z-B}{A-B})]로 고쳐쓸수 있다. 최종적으로는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{AB}=\int_{0}^{1} \dfrac{1}{(xA+(1-x)B)^2} dx
\end{aligned})]

위 식에서 [math(A)] 혹은 [math(B)]에 대한 미분을 하면, 3개 이상의 입자가 상호작용하는 산란행렬과 같다. 즉 [math(A)]에 대해 미분하면 다음과 같이 변한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{A^{2}B}=\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{(xA+(1-x)B)^3} dx
\end{aligned})]
[math(B \subset A_{n})]이라 두고 n번 미분했을때 매개변수화는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{1}{A_{1} A_{2} \cdots A_{n}} =\int_{0}^{1} \delta(\sum x_{i}-1) \dfrac{(n-1)!}{(\sum x_{n} A_{n})} dx_{1} \cdots dx_{n}
\end{aligned})]
이외에도 [math(A)]와 [math(B)]의 일반화 과정에 따라 달라지는 매개변수화를 표로 정리할수 있다.
<colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\dfrac{1}{AB^{n}})] [math(\displaystyle \int_{0}^{1} \delta(x+y-1)\dfrac {ny^{n-1}}{(xA+yB)^{n+1}} dxdy)]
[math(\dfrac{1}{ABC})] [math(\displaystyle \begin{aligned} 2 \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} dy \dfrac{1}{(ax+(b-a)x+(c-a)y)^3}
\end{aligned})]
[math(\dfrac{1}{A^n B^m})] [math(\displaystyle \begin{aligned} \dfrac {\Gamma(n+m)}{\Gamma(n)\Gamma(m)} \int_{0}^{1} \dfrac {x^{n-1}(1-x)^{m-1}}{(Ax+(1-x)B)^{n+m}} dx \end{aligned})]
[math(\dfrac{1}{A_{1}^{m_{1}} A_{2}^{m_{2}} \cdots A_{n}^{m_{n}}})] [math(\displaystyle \begin{aligned}
\dfrac{\Gamma(m_{1} + \cdots + m_{n})}{\Gamma(m_{1}) \cdots \Gamma(m_{n})}\int_{0}^{1} \delta(\sum x_{i}-1) \dfrac{\prod x_{i}^{m_{i}-1}}{(\sum x_{n} A_{n})^{\sum m_{i}}} dx_{1} \cdots dx_{n}
\end{aligned})]

3. 조절

발산하는 항의 영역을 제거하거나 재배치하는 기법들의 총칭을 조절(regularization)이라고 한다. 크게 발산항을 대수적으로 쪼개서 0으로 유도하는 기법과 발산항의 적분 정의역을 함수해석적으로 재배치하는 기법으로 나뉜다.

3.1. 파울리-빌라르 조절

Pauli-Villars Regularization
무한히 큰 질량항으로 가정되는 발산항을 대수적으로 분리해낸뒤 발산항에 조절인자를 끼워넣어서 발산항을 제거하는 기법으로 1949년 볼프강 파울리와 펠릭스 빌라르가 고안했다.

양자화의 임의의 복소 적분을 [math(\Delta)]라고 가정하고, 아래와 같이 삼각함수로 각각 분리하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \displaystyle \Delta^{(1)}(x) = -\dfrac{m^2}{2\pi^2} \int_{0}^{\infty} d\alpha \operatorname{sin} \left(-(x_{\mu})^{2}m^{2} \alpha + \dfrac{1}{4\alpha} \right) \\ \displaystyle \Delta(x) = \dfrac{m^2}{4\pi^2} \int_{0}^{\infty} d\alpha \operatorname{cos} \left(-(x_{\mu})^{2}m^{2} \alpha + \dfrac{1}{4\alpha} \right)
\end{aligned})]
복소해석학을 사용하면, 특이점은 [math(m^2)]에 비례하는데, 이를 제거하기 위한 조절인자(regulator)는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Delta_{R}^{(1)}(x) = \sum_{i} c_{i} \Delta^{(1)}(M_{i}) \\ \Delta_{R}(x) = \sum_{i} c_{i} \Delta(M_{i})
\end{aligned})]
상수 [math(c_{i})]는 아래를 만족한다.
[math(\begin{aligned}
\sum_{i} c_{i} = 0 \\ \sum_{i} c_{i} M_{i} = 0
\end{aligned})]

3.2. 차원 조절

Dimensional Regularization
발산하는 적분에서 정의역의 차원을 분리한뒤 비교적 낮은 차수의 정의역에서 복소해석적인 방법으로 해석적 연속을 보이는 부분을 조사하는 방법으로써, 1972년 헤라르뒤스 엇호프트, 마르티뉘스 펠트만, 카를로스 볼리니, 후안 지암비아지가 고안했다.

차원이 n인 전파인자를 [math(f(p,m))]으로 가정한다면, 양자화는 다음과 같이 분리될수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int d^n p\, f(p,m) \to \int d^4 p \int d^{n-4} p_{i}\, f(p,m)
\end{aligned})]
여기서, [math(p_{i})]를 차원 길이인 [math(\omega)]로 치환하면, 다음과 같이 바뀐다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int d^{n-4} p_{i}\, f(p,m) \to \int_{0}^{\infty} d\omega\, \omega^{n-5} \dfrac{2\pi^{\frac{1}{2}(n-4)}}{\Gamma(\frac{1}{2}(n-4))} f(p, \omega^2, m) \\ = -\dfrac{2}{(n-4)}\int_{0}^{\infty} d\omega\, \omega^{n-3} \dfrac{2\pi^{\frac{1}{2}(n-4)}}{\Gamma(\frac{1}{2}(n-4))} \dfrac{\partial}{\partial \omega^2} f(p, \omega^2, m) \\
\end{aligned})]

[math(\epsilon=n-4)]일때, 전파인자 [math(f(\omega^2, p, m))]는 [math(\frac{1}{(\omega^2+p+m)^{\alpha}})]이라고 하자. [math(f(\omega^2, p, m))]의 인수가 각각 매개 변수 [math(x)], [math(1-x)]로 곱해지고, x에 대한 공식으로 다음과 같이 치환된다면, [math(\int_{0}^{\infty} d^{\epsilon})]꼴 적분도 아래와 같이 바뀐다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
&x=\dfrac{(p+m)}{(\omega^2+p+m)} \\
&\int_{0}^{\infty} d\omega\, \omega^{\epsilon-1} f(\omega^2,p,m)
=\dfrac{i\pi^{\frac{\epsilon}{2}}\Gamma(\alpha-\frac{\epsilon}{2})}{(p+m)^{\alpha-\frac{\epsilon}{2}}\Gamma(\alpha)}
\end{aligned})]

[math(\phi^4)] 스칼라 장론[3]의 라그랑지언 포멀리즘 형태가 다음과 같을때,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathcal{L}_{\phi^4} = \dfrac{|\partial \phi(x)|^2}{2} - \dfrac{\mu^{2}(\phi(x))^{2}}{2} - \dfrac{\lambda (\phi(x))^4}{4!}
\end{aligned})]
라그랑지언이 n차원이라고 하면 차원 조절이 진행될 각 원소의 차원의 크기는 아래 표와 같다.
<colbgcolor=#efefef,#555555> [math(\mu)] [math(1)]
[math(\partial)] [math(1)]
[math(\phi(x))] [math(\dfrac{n-2}{2})]
[math(\lambda)] [math(n-4\left(\dfrac{n-2}{2}\right))]
여기서 [math(\lambda)]의 재규격화를 다음과 같이 대수적으로 전개시키고자 할때, 단위 질량 [math(\mu_{U})]로 [math(\lambda)]의 차원을 아래와 같이 세분할때의 방식을 최소뺄셈방식(Minimum Subtraction Scheme)이라고 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lambda = \mu_{U}^{4-n}\left(\lambda_{R} + \sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{a_{mn}\lambda_{R}^{n}}{(n-4)^{m}}\right)
\end{aligned})]
이것이 [math(d^4 p \to \mu_{U}^{4-n} d^n p)]와 같이 차원조절에 적용될때, [math(\overline{\rm{MS}})] Scheme이라고 축약한다.

3.3. 제타 함수 조절

Zeta Function Regularization
드 지터 공간과 같은 곡면 시공간의 국소적인 유클리드 공간에서의 발산되는 적분에 차원 조절을 적용한 것으로, 이때의 조절자는 제타 함수이다. 주로 슈바르트실트 해를 다루기 위해 사용되며, 1977년 스티븐 호킹이 고안했다.

중력으로 인한 곡면 시공간을 고려하는 힐베르트 액션 성분을 적분했을때 발산하는 원인인 리치 스칼라 곡률의 고유값을 [math(\lambda_{R})]라고 했을때, 제타 함수는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\zeta(s)=\dfrac{2V}{(2\pi)^3} \sum_{R}^{\infty} \int d^3 k\, \lambda_{R}^{-s}=\dfrac{4\pi\,V}{(2\pi)^3} \left(\int d k \, k^{2-2s} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \int dk\,k^2 \lambda_{R}^{-s} \right)
\end{aligned})]

여기서 [math(\frac{2V}{(2\pi)^3} \int d^3 k)]는 고유값의 밀도이다. 이때 분배함수에서 역온도인 [math(T=\beta^{-1})]임을 따른다면, 고유값 [math(\lambda_{R})]은 [math((2\pi\,\beta^{-1}n)^{2}+k^{2})]이다.

4. 참고문헌

  • M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction of Quantum Field Theory, CRC Press
  • J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics
  • R. P. Feynman, Space-time Approach to Quantumelectrodynamics, Phys. Rev. 76, 769(1949)
  • W. Pauli and F. Villars, On the invariant regularization in Relativistic Quantum Theory, Rev. Mod. Phys. 21, 434(1949)
  • C. Quigg and J.D. Jackson, UCRL-18487 (1968)
  • G. ‘t Hooft, Renormalization of Massless Yang-Mills Field, Nucl. Phys. B 33, (1971) 173
  • G. ‘t Hooft and M. Veltman, Regularization and Renormalization of Gauge Fields, Nucl. Phys. B 44, (1972) 189
  • G. ‘t Hooft, Dimensional Regularization and The Renormalization Group, Nucl. Phys. B 61, (1973) 455
  • S. W. Hawking, Zeta Function Regularization of Path Integrals in Curved Spacetime, Commun. Math. Phys. 55, 133(1977)


[1] g는 커플링 상수. [2] [math(A_{n} \in M)]으로 연속적으로 곱해지는 경우, 매개변수는 [math(x_{n})]으로 통일된다. [3] 로런츠 변환할때 불변인 장의 형태를 다룬다.