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베르너 하이젠베르크 관련 문서 |
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<colbgcolor=#000><colcolor=#fff> 연구 업적 | <colcolor=#000,#fff> 양자역학( 양자역학의 공리 · 코펜하겐 해석 · 행렬역학 · 불확정성 원리 · 하이젠베르크 묘사) | |
| 프로젝트 | 우란프로옉트 | ||
| 생애 | 생애 | ||
| 소속 |
뮌헨 대학교 괴팅겐 대학교 |
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| 관련 학자 | 닐스 보어 · 막스 보른 · 알베르트 아인슈타인 · 막스 플랑크 · 아르놀트 조머펠트 | ||
| 저서 | 부분과 전체 |
1. 개요
코펜하겐 해석(Copenhagen interpretation)은 양자역학의 해석 중 하나로, 1925년에서 1929년 코펜하겐 대학교에서 닐스 보어와 베르너 하이젠베르크를 중심으로 제안한, 양자역학에서 지켜야 할 수학적인 공리들이다. 실제 이 용어는 1930~50년대 사이에 쓰이지 않고 있다가, 1955년경 하이젠베르크가 논리적 기반이 부족한 다른 양자역학 해석들을 비판할 때 처음으로 사용한 이후에 하나의 관용어로 쓰이고 있다.슈뢰딩거 방정식 등을 풀면 나오는 파동함수는 복소수꼴인데, 이게 대체 뭐냐에 대한 의문에 대한 가설들 중 하나로, 학부 교과서들은 이것을 표준으로 사용한다. 그러나 알베르트 아인슈타인 등은 이 해석에 계속해서 의문을 제기했다.
이 해석은 확률로 중첩된 상태로 존재한다는 언뜻 보기에는 비상식적인 주장 때문에 많은 논란을 일으켰는데 대표적인 사례가 슈뢰딩거의 고양이다. 코펜하겐 해석에 따르면 고양이는 죽은 상태와 산 상태가 중첩되어 있다는 기이한 결론이 나오는데 에르빈 슈뢰딩거는 이를 통해 코펜하겐 해석에 의문을 제기했다. 알베르트 아인슈타인도 코펜하겐 해석에 부정적이었다. 아인슈타인은 측정해야 의미가 있어진다는 점에 의문을 가졌고 양자역학이 불완전하기 때문에 이런 불완전한 결과를 낳는다고 생각하여 숨은 변수 이론을 펼쳤다.
아인슈타인은 다양한 역설을 발표하며 코펜하겐 해석에 의문을 제기했지만[1] 전부 닐스 보어 등에게 논파되었다. 그리고 숨은 변수가 정말로 존재한다고 가정하여 풀어낸 벨의 부등식과 그것을 실제로 관측한 실험을 통해 벨의 부등식처럼 입자가 움직이지 않고, 공간의 크기와 시간의 차이를 넘어 정보가 전달될 수 있다는 것이 증명되었다.
그렇게 코펜하겐 해석은 그 이후로 오랫동안 양자역학( 양자장론도 포함된다)을 설명하는 데 있어 반드시 만족해야할 표준적인 기준으로 자리잡게 된다.
현재 엄밀한 검증을 위해 거리를 늘려가며 양자 얽힘(Entanglement state) 실험을 하고 있다. TED-ed 영상으로 양자얽힘에 대해 설명하고 있다.
2. 코펜하겐 해석의 내용
코펜하겐 해석의 내용에서 가장 유명한 상보성의 원리와 불확정성 원리는 처음으로 만들어진 1930년대 이후로 꾸준히 받아들여져 왔지만, 최근 코펜하겐 해석에 따른다라 쓰고 세부적으로 다르게 쓴 논문들이 등장하기 시작하면서 다시 다듬어졌다. 고유명사로써 코펜하겐 해석이 등장한지 오랜 시간이 지났는데도 불구하고, 코펜하겐 해석은 아직도 명확하게 정리되지 못했다.각 분야별[2]로 그리고 학자 개개인 별로 양자역학을 바라보는 시각이 다르고, 모든 분야를 아우러서 양자역학을 이루기 위한 대명제를 정리하기도 쉽지 않다.[3] 모든 내용들을 나열하면 끊임없이 이어지겠으나, 가장 많이 언급되고 가장 주된 내용만을 열거하면 다음과 같다.
2.1. 파동함수
파동함수는 지정한(혹은 알고자하는) 물리계의 모든 물리량의 정보를 갖는다. 파동함수의 자세한 특징은 파동함수 문서 참조.2.2. 확률밀도(보른 규칙)
파동함수는 확률적이어야 한다.학부과정에서 배우게 되는 양자역학의 파동함수 크기의 제곱은 확률밀도로 다룬다. 따라서 파동함수 그 자체는 확률 진폭이라고 부른다. 이 항목은 어디까지나 일(1)차 양자화(1st Quantization)에서 대체적으로 올바르게 성립하는 공리[4]다.
이(2)차 양자화(2nd Quantization)에서는 파동함수 자체가 연산자인 관계로, 둘을 곱한다고 해서 확률이 나오는 것이 아니다.[5] 그래서 양자장론까지 포함하여 설명하는 표준적인 공리라고 하기에는 일반적이지 못해서 보통 제외하고 다른 것으로 표현하기도 한다.
하지만 역으로 이차양자화를 사용하는 양자장론의 시각에서, 해당 공리가 올바르게 설정되었다는 것을 확인해 볼 수 있다. 어떤 양자장이 만족하는 방정식을 오일러-라그랑주 방정식으로 선택하여 라그랑지안 밀도를 찾아, 뇌터 흐름(Noether current)을 뇌터 정리에 따라 구할 수 있다. 여기서 뇌터 흐름의 시간 성분은 임의의 물리량(전하밀도와 연결할 수 있다)의 밀도이고, 나머지 성분은 그 물리량이 움질일때의 흐름밀도이다. 라그랑지안이 설명하는 공간이 무한하고 양자장이 무한한 크기의 공간 표면 밖으로 나가지 않는다는 가정하에 뇌터 흐름의 시간 성분을 전체 공간에 대해서 적분하면 공간에 놓인 물리량을 구할 수 있으며, 이 물리량은 시간에 대해서 불변하다는 것을 알 수 있다.
이러한 사실에 입각해 오일러-라그랑주 방정식을 슈뢰딩거 방정식으로 설정하여 라그랑지안 밀도를 찾아, 뇌터 흐름(Noether current)의 시간 성분을 구해 보면 파동함수의 크기 제곱(양자역학에서의 확률밀도)을 구할 수 있으며, 공간에 대해 적분해 보면 양자역학에서 언급한 확률이라는 것을 알 수 있다. 또한 파동함수가 놓인 공간에 따라서 각기 다른 길이의 역수차원[6]을 가지게 된다.
이 풀이는 파동함수의 제곱값에 대해서 공간 적분한 값이 불변값이라는 것을 보장을 해 주기는 한다. 하지만 라그랑지안의 물리량이 에너지와 같은 단위(J, eV)를 가져야하는지, 더 나아가 Action이라는 물리량이 각운동량의 단위(J s, eVs)을 가져야만 확률밀도의 단위를 정확하게 표현해주기 때문에, 라그랑지안의 단위는 에너지와 같으며 액션의 단위는 각운동량과 같다란 새로운 가정을 필요로 한다.
2.3. 하이젠베르크의 불확정성 원리
파동함수로 표현된 물리계의 특징은, 양립 불가의 원리(Principle of incompatibility)를 가진다. 같은 시간과 같은 장소에서 동시에 관측 불가능한 물리량이 존재한다. 이를 불확정성 원리라 한다.대표적인 예가 바로, 운동량(속도, 스핀)과 위치 간의 관계다. 계 안에 존재하는 입자가 가지는 파동 덩어리의 위치를 정확하게 측정할수록 입자의 정확한 운동량을 측정할 수 없고, 반대로 파동 덩어리의 운동량을 정확하게 측정할수록 어느 지점에 있었는지 정확한 위치를 표현할 수 없다.
2.4. 관측
관측을 할 때, 계는 반드시 관측장치와 상호작용을 한다. 어떤 특정 물리량을 측정할 때, 파동함수는 해당 물리량을 기준으로 고유 상태로 정렬되며, 불확정적 관계를 지니는 물리량의 정보는 파괴되는 비가역적 변화가 일어난다.첫 번째 관측자가 운동량을 정확하게 측정한 직후, 두 번째 관측자가 위치를 정확하게 측정하면 첫 번째 관측자가 얻은 운동량에 대한 정보가 파괴된다. 두 번째 관측 직후에 세 번째 관측자가 다시 운동량을 측정하면 이미 파동함수가 가지고 있던 고유한 운동량의 정보가 파괴되어 첫 번째 관측자와 다른 운동량을 얻는다. 그리고 운동량의 정보를 얻었으니, 이번에는 두 번째 관측자가 측정한 위치에 대한 정보가 파괴된다.
다만 두 번째 관측자가 위치가 아니라 운동량을 측정하면 첫 번째 측정과 똑같은 운동량을 얻을 수 있고, 세 번째 관측자도 운동량을 측정하면 첫 번째와 두 번째 관측자가 측정한 운동량을 관측할 수 있다. 이 경우, 위치정보는 계속 파괴된 상태이나, 첫 번째 관측자가 운동량 정보를 취득하는 순간 해당 운동량에 대한 정보를 제공하는 파동함수로 재정렬되었기 때문이다.
관측자(이 경우 관측장치가 해당된다)의 개입으로 파동함수가 가지고 있던 정보가 파괴될 수 있다는 것을 뜻한다.[7]
관측자의 정의에 대해서 명확히 해 둘 필요가 있다. 윗 문단에서 이미 관측자=관측장치 라고 되어있으므로 관측자가 통상적인 관념상의 인간이 아니라는 것은 알았을 것이다. 인간의 눈이 되었건, 관측 장치나 장비가 되었건 들여다 보고 영향을 줄 수 있는 것은 모두 관측자이다. 더 엄밀한 정의에서의 관측자는 관측 당하는 대상물(예를들면 슈뢰딩거의 고양이에서 고양이) 그 자체를 제외한 모든 것이 관측자이다. 비유해서 설명하자면, 우리가 보지는 못 했지만, 고양이가 상자 안에 갇혀 있는 것이 답답해서 몸을 한번 털었고 그렇게 몸을 터는 바람에 고양이 몸에 붙어있던 박테리아가 하나 떨어져 나와 그 상자 안에 있다면 그 박테리아는 관측자가 된다. 우리가 거시 세계에서 양자역학적 현상을 볼 수 없는 이유도, 그래서 머리로 이해가 되지 않는 이유도 여기에 있다. 현실 거시 세계에서는 관측 대상을 제외하고 관측자가 1도 없는 상황이 존재하지 않기 때문이다. 태양 빛을 쬐고 있다면 그 태양 빛이 바로 관측자이기 때문이다.
2.5. 물리량
물리학에서 다뤄왔던 물리량(에너지, 운동량, 위치, 각운동량 등)을 관측한다면, 해당 물리량은 기존에 다뤄왔던 물리량과 똑같은 성질을 갖는다. 보어가 특별히 강조하였으며, 이 의견은 하이젠베르크가 수용했다.고전역학에서 운동량의 제곱을 해당 입자의 질량의 두 배로 나누면 운동에너지를 구할 수 있듯이, 양자역학에서 얻은 운동량을 통해 운동에너지를 계산할 수 있다. 즉 이미 널리 알려진 법칙들[8]이 양자역학에서 유용하게 사용될 수 있다는 뜻이다.
2.6. 입자-파동 이중성(상보성 원리 일부)
파동함수는 파동-입자 이중성을 가지고 있음을 주의한다. 실험은 입자와 같은 결과만을 관측할 수 있고, 파동과 같은 결과만을 관측 할 수 있으나, 이는 어느 성질을 중점적으로 보냐는 관점의 문제일 뿐 파동함수로 표현되는 물리계는 입자성과 파동성을 동시에 갖는다. 이는 닐스 보어가 주장했다.전자의 이중슬릿 실험을 예로 들면 전자가 발사된 직후 운동량을 측정하여 일정한 크기로 날아가는 것을 확인한 경우, 이중슬릿의 두 개의 구멍 중 어느 쪽으로 갈지는 확률적으로 결정되며 그 뒷부분에 종이와 같은 스크린을 가져다 두고, 종이의 어느 부분에 전자가 많이 쌓이는지를 관측하면 간섭무늬가 나타난다(전자의 파동성).
그러나 전자가 발사 되었을 때, 어느 구멍으로 통과할지를 정확하게 측정하면, 간섭무늬는 사라지고, 대신 전자의 발사지점과 구멍을 일직선으로 통과하여 스크린에 도달한다(전자의 입자성).
2.7. 대응원리(상보성 원리 일부)
양자수가 매우 커질 경우(계 안쪽의 입자 갯수가 매우매우 커질 경우, 위치와 속도의 표준편차가 눈으로 관측가능한 크기에 달했을 경우) 고전적인 물리량 관계에 접근한다. 보어와 하이젠베르크가 주장했다.양자역학과 고전역학을 가르는 두드러지는 특징중 하나는 (여러 가지가 있으나 그중에) 입자가 가질 수 있는 에너지나 다른 물리량이 불연속적이다는 것이다.[9] 그러나 관측기구의 측정 오차가 불확정성 원리에서 언급하는 측정오차보다 매우 클 경우, 관측값으로 얻은 물리량은 연속적이라고 판단할 수 있으며, 이때의 양자역학은 양자역학 이전의 물리학 법칙에 따라 기술되는 것처럼 나타난다.
예를 들어 다음 두개의 측정도구를 떠올려보자. 먼저 불확정성 원리에서 얻을 수 있는 위치와 운동량의 표준편차만큼 아주 작은 크기를 측정할 수 있는 기구와, 시중에서 구할 수 있는 플라스틱 자를 떠올리자. 첫번째 기구를 사용해 머리카락을 구성하는 원자의 위치를 정확하게 측정하려 한다면 양자역학의 원리에 따르지만, 플라스틱 자를 사용해 머리카락을 구성하는 원자의 위치를 측정하려 한다면 자가 허용하는 오차로 인해 거의 그 자리에 있는 것으로 생각할 수 있다. 마찬가지로 머리카락이 움직일 때의 머리카락을 구성하는 원자의 위치를 정밀한 측정기구를 사용해 측정하려 하면 불확정성 원리로 인해 정확한 위치를 측정할 수 없음을 알지만, 자와 같이 측정하는 기구의 오차가 클 경우 우리가 고전역학에서 사용하는 속도와 위치의 관계를 통해 계산할 수 있다.
또다른 예를 하나 들면, 매우 짧은 폭의 우물 모양의 무한한 크기의 포텐셜 에너지에 갇혀있는 입자(혹은 양자상태)의 에너지를 양자역학을 통해 계산하면 에너지가 연속적이지 않고 특정한 값을 가진다는 것을 알 수 있지만, 이 우물의 폭을 상당히 큰 크기로 늘리게 되면 불연속적이었던 에너지들의 폭이 줄어들면서 연속적인 값으로 변한다는 것을 알 수 있다.
2.8. 기타 등등
양자역학의 양자상태는 코펜하겐 해석이 타당하다는 가정하에, 파동함수를 degeneracy가 없는 물리량(에너지일 수도 있고 아닐 수도 있다.)을 기준으로 고유 상태들로 하나씩 구분할 수 있다. 이를 뒤집어 말하면 파동함수를 구성하는 고유상태들을 unit vector로, 고유상태의 앞에 붙은 진폭을 요소로 한 벡터를 표현할 수 있게 된다.이렇게 새로 표현된 벡터는 파동함수나 양자상태는 차원축갯수가 무한개 있지만 크기가 유한함을 알 수 있다(정규화 되어 있다면 1).
힐베르트 공간은 unit vector가 무한개로 표현되지만 크기가 유한한 벡터들을 모은 수학적인 공간이며, 양자상태는 힐베르트 공간에 속한 벡터라는 것을 알 수 있다.
[1]
대표적인 것이
EPR 역설.
[2]
고체물리, 계산물리, 입자물리, 광학, 과학철학, 그외 등등.
[3]
당장 이 문서에서 파동함수는 확률이다란 항목이 한가지 예이기도 하다.
[4]
이것은 일차 양자화에서 대체로 올바르게 성립하는 공리이나, 상대론적 양자역학에서는 확률밀도가 음수값을 갖는 모순이 발생하기도 한다. 허나 잘 해석해 보면 이 또한 문제 없음을 알게 되었지만, 본 지면상 해당되는 내용이 아니므로 생략하겠다.
[5]
파인만 묘사(Feynman prescription)에 따라 표현했을 때 전파연산자(Propagator)임을 알 수 있으며, 이 양은 발견할 확률이 아니라 처음 지점에서 다음지점으로 전파될 확률을 나타낸다.
[6]
길이가 1차원만 다루면 파동함수의 크기 제곱은 길이의 역수, 3차원이면 파동함수의 크기의 제곱은 길이의 삼승의 역수 차원을 가진다.
[7]
수식상에서 연산자는 해당 물리량을 관측하려는 관측자에 대응된다.
[8]
예를 들어, 역학적 에너지 보존의 법칙은 운동에너지와 위치에너지의 합은 항상 같다로 알려져 있는데, 이는 양자역학의 물리량으로 운동에너지와 위치에너지를 합한 역학적 에너지 또한 보존이 된다는 것을 뜻한다. 마찬가지로 운동량을 해당 입자의 질량으로 나누면 속도를 얻듯, 양자역학의 운동량 또한 속도와 운동량의 관계가 성립한다.
[9]
이와 같이 연속적이지 못하고 특정한 값을 가지는 것만을 허용할 때, 이를 해당 물리량이 양자화되어있다라고 정의한다.