1. 公 理
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Axiom
주어진 이론 체계 안에서는 증명 없이 참(truth)으로 받아들이는, 그리고 다른 명제로부터 연역되지 않는 명제를 일컫는 말. 수학, 논리학, 철학에서 주로 쓰인다. 대표적인 사용 예시는 양자역학의 공리 등이다. 현대 수학계에서는 대개 체르멜로-프렝켈(Zermelo-Fraenkel set theory) 공리계에다가 선택공리(Axiom of Choice)를 합한 ZFC 공리계에 근거한 논증을 진행하지만, 연구 과정에서 ZF만으로는 충분치 않은 경우 분야에 따라 폰 노이만-베르나이스-괴델(von Neumann-Bernays-Gödel, NBG), 모스-켈리(Morse-Kelly, MK), 타르스키-그로텐디크(Tarski-Grothendieck, TG) 등 다양한 ZF 기반 공리계를 적절히 도입하기도 하며, 더러는 New Foundation(...) 같은 새로운 공리계를 제안하여 논증에 써먹기도 한다. 다만 수학기초론엔 관심없는 대개의 순수 및 응용수학자들은 ZFC 외에는 아무것도 모르는 경우가 태반이며, 오히려 ZF 기반 공리계 몇 개만 더 알아둬도 많이 아는 편에 속한다.
수학에서는 따로 정의하지 않는 대상(무정의 용어)들과 그 대상들 사이에 성립하는 기본관계(공리)를 두고 논리를 전개하는데, 이렇게 구성되는 체계를 공리계라고 한다. 어떤 공리계를 구성하고 있는 공리를 적절하게 설정하기 위해서는 우선 공리들이 서로 모순이 없어야 하고(무모순성), 이 공리로 그 공리계의 창시자가 원하는 성질을 제대로 나타낼 수 있어야 하며, 확장성과 일반성도 잘 갖춰야 한다. 수학자들에게는 사용하기 편리하면서 재미있는 문제를 많이 만들어낼 수 있는, 다시 말해 이 공리계를 사용해서 수학적으로 의미 있는 사유를 할 수 있는 공리계가 선호된다. 물론 수학자들의 관습도 어느 정도 영향을 미친다.
자연과학에서는 모든 개별적 경우를 전부 다 관찰하여 결론을 내는 건 애당초 불가능하므로 수학에서 말하는 공리계는 자연과학에는 존재할 수 없다. 그러나 참과 거짓을 판단하는 논리 체계를 갖추기 위해서는 그 판단 기준이 되는 기반이 있어야 한다. 때문에 자연과학에서는 귀납적으로 일반화해서 나온 결론, 다시 말해 실험과 관찰을 통해 나온 결론이 사실이라고 바라보고[1] 공리(axiom)가 아닌 원리(principle)로서, 실험과 관찰로 일반화한 결론을 우주보편적으로 참이라고 인정한다. 이러한 전제를 통해 자연과학을 다루는 논리에서 원리가 공리처럼 기능하는 것이다.
이전에는 모든 명제의 참과 거짓을 가릴 수 있는 공리체계가 존재할 것이라는 믿음이 있었다. 더 정확히는, 참인 명제는 모두 이 공리체계 안에서 증명 가능하다는 믿음으로, 이를 완전성(completeness)이라고 한다. 수학철학 사조 중 형식주의와 논리주의가 이에 해당하며, 이렇게 모든 명제를 연역해낼 수 있는 공리계를 추구하는 연구 계획인 '힐베르트 프로그램'이 진행되기도 했다. 그러나 1931년 괴델이 불완전성 정리를 증명했다. 이후 연속체 가설과 선택공리 등 체르멜로-프렝켈 집합론으로 증명불능 및 반증불능한 명제들의 존재가 하나 둘 밝혀진다. 이렇듯 특정 공리계에서는 증명 불가능한 명제가 존재하고(제1불완전성정리) 공리계는 스스로는 무모순성을 입증할 수 없다(제2불완전성정리)는 것이 밝혀지며 공리의 선택이 더욱 중요해졌다. 따라서 '일반적으로 통용되는 수학 공리들'과 '별도로 언급을 해줘야 하는 (독립된) 공리들'로 구분해서 쓰곤 한다.
분리공리는 이름과는 달리 공리가 아니다.
공준(公準, postulate)이라는 말도 공리와 비슷한 의미로 사용된다. 예를 들어 유클리드 기하학에서 이른바 ' 평행선 공준'이 그 예다. 다만, 공리보다는 그 의미가 자명하지 않은 점이 있다.
2. 功 利
Utility결과를 위한 효용을 의미한다. 더 자세한 내용은 공리주의[2] 문서로.