최근 수정 시각 : 2024-05-02 12:24:33

양자역학의 묘사

양자역학
Quantum Mechanics
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1. 개요2. 슈뢰딩거 묘사3. 하이젠베르크 묘사4. 관련 문서

1. 개요

dynamical pictures

양자역학의 묘사는 양자 상태를 기술할 수 있는 다양한 수학적인 방법을 뜻한다.

2. 슈뢰딩거 묘사

슈뢰딩거 묘사(Schrödinger picture)는 양자역학을 기술할 때 가장 흔히 사용되는 묘사이다. 슈뢰딩거 묘사에서 파동함수 [math(\left|\Psi(t)\right>)]는 시간에 대한 함수이며, 슈뢰딩거 방정식을 풀어서 구할 수 있다.
[math(\displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \left|\Psi(t)\right>= \hat{\mathcal{H}} \left|\Psi(t)\right> )]
이때 [math(\hat{\mathcal{H}})]가 시간에 대한 함수가 아니라고 하자. 시간이 [math(t = 0)]일 때 양자상태 [math(\left|\Psi(0)\right>)]이 주어졌다고 하면, 슈뢰딩거 방정식의 해는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \left|\Psi(t)\right> = e^{-i \hat{\mathcal{H}} t/\hbar} \left|\Psi(0)\right> )]

3. 하이젠베르크 묘사

슈뢰딩거 묘사에서, [math(\hat{\mathcal{H}})]가 시간에 의존하지 않을 때 어떤 연산자 [math(\hat{A})][1]의 기댓값은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \langle \hat{A} \rangle = {\color{blue} \left< \Psi (t) \right|} {\color{red} \hat{A}} {\color{blue} \left| \Psi (t) \right>} = {\color{blue} \left< \Psi (0) \right| e^{i \hat{\mathcal{H}} t/\hbar}} {\color{red} \hat{A}} {\color{blue} e^{-i \hat{\mathcal{H}} t/\hbar} \left|\Psi(0)\right>} )]
여기서 파란색 글씨는 파동함수, 빨간색 글씨는 연산자를 의미한다. 즉 파동함수는 시간에 대한 함수이며, 연산자는 시간에 의존하지 않는다. 그런데 반대로 파동함수를 시간에 의존하지 않으며, 연산자가 시간에 의존하는 것으로 보고 기댓값을 다음과 같이 쓸 수도 있다.
[math(\displaystyle \langle \hat{A} \rangle = {\color{blue} \left< \Psi (0) \right|} {\color{red} e^{i \hat{\mathcal{H}} t/\hbar} \hat{A} e^{-i \hat{\mathcal{H}} t/\hbar}} {\color{blue} \left|\Psi(0)\right>} = {\color{blue} \left< \Psi_H \right|} {\color{red} \hat{A}_H (t)} {\color{blue} \left| \Psi_H \right>} )]
이것을 하이젠베르크 묘사(Heisenberg picture)라고 하며, 이때 파동함수와 연산자를 다음과 같이 정의한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \left| \Psi \right>_H &= \left| \Psi (0) \right>_S\\ \hat{A}_H (t) &= e^{i \hat{\mathcal{H}} t/\hbar} \hat{A}_S e^{-i \hat{\mathcal{H}} t/\hbar} \end{aligned} )]
여기서 [math(S)]는 슈뢰딩거 묘사에서, [math(H)]는 하이젠베르크 묘사에서 나타내었다는 것을 의미한다. 참고로
[math(\displaystyle \hat{\mathcal{H}}_H = e^{i \hat{\mathcal{H}}_S t/\hbar} \hat{\mathcal{H}}_S e^{-i \hat{\mathcal{H}}_S t/\hbar} = \hat{\mathcal{H}}_S e^{i \hat{\mathcal{H}}_S t/\hbar} e^{-i \hat{\mathcal{H}}_S t/\hbar} = \hat{\mathcal{H}}_S )]
이므로, 해밀토니언은 슈뢰딩거 묘사와 하이젠베르크 묘사에서 동일하며, 첨자 없이 [math(\hat{\mathcal{H}})]로 쓸 수 있다.

하이젠베르크 묘사에서는 연산자가 시간에 대한 함수이기 때문에, 방정식을 풀어서 파동함수를 구하는 것이 아니라 연산자 [math(\hat{A}_H (t))]를 구해야 한다. 이때 연산자가 만족하는 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d} \hat{A}_H (t)}{\mathrm{d} t} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{\mathcal{H}}, \hat{A}_H (t) ] + \biggl( \frac{\partial \hat{A}_S}{\partial t} \biggr)_H )]
이때 [math([A,B])]는 교환자이다. 이것을 하이젠베르크 운동방정식(Heisenberg equation of motion)이라고 한다.

4. 관련 문서



[1] peskin을 위시로한 양자장론 교재에서는 [math(\mathcal{O})]라고 쓰기도 한다.