1. 삼각함수가 포함된 부등식
중등교육과정, 그러니까 고등학교 이하에서 말하는 삼각부등식은 주로 삼각함수가 포함된 부등식을 말한다.예컨대, [math(\sin x\le 0)]과 같은 부등식이다. 부등식 항목으로 가자.
2. 삼각형의 성질
삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다는 성질이다.즉, 세 변의 길이가 주어질 때 삼각형이 되기 위해서는 두 변의 길이의 합이 나머지 한 변의 길이보다 커야 한다. 중학교 1학년부터 배우지만 '삼각부등식'이라는 이름으로 가르치지는 않는다.
아래에 서술되어 있는 거리함수의 성질은 이 삼각형의 성질을 확장한 것으로 볼 수 있다.
3. 거리함수의 성질
추상적인 대상을 다루는 학부 이상의 과정에서 거리함수가 가지는 어떠한 성질을 일컫는 절대부등식.별다른 언급이 없으면 삼각부등식이라 함은 아래를 뜻한다.
집합 [math(X)]의 거리 함수(metric)란 다음의 세 성질을 만족하는 함수 [math(d:X \times X\to \mathbb{R})]이다.
* [math(d\left(x,y\right))] ([math(d\left(x,y\right)=0)]일 필요충분조건은 [math(x=y)])
* 대칭성
[math(d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right))]
* 삼각부등식
[math(d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right) \geq d\left(x,z\right))][1]
일반적으로 위의 두 가지는 당연한 것으로 증명하기 어렵지 않다. 삼각부등식을 보이는 것도 어렵지는 않으나, 당연한 수준은 아니다. 이 삼각부등식은 거리공간(거리가 주어진 공간 즉, [math(\left(X,d\right))])을 연구할 때 가장 많이 쓰인다. 앞의 것은 의식도 못 하고 쓰이는 수준이라서 뭐라 말하기 어렵다.* 대칭성
[math(d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right))]
* 삼각부등식
[math(d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right) \geq d\left(x,z\right))][1]
사실 초중고등학교에서도, 흔히 생각하는 거리가 거리함수임을 알려주기 위해, 이 부등식을 가르치지만, 유용하게 쓰거나 하지는 않는다. 초등학교에서는 삼각형의 세 변의 길이 [math(x)], [math(y)], [math(z)]에 대해 [math(x+y>z)]임을 가르친다. 중고등학교에서는, 실수 혹은 실벡터 공간에서 주어진 노름(norm)[2]이 거리함수를 이룬다는 것을 언급하기 위해 [math(\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert \ge\left\Vert x+y\right\Vert)]를 가르친다. 이것이 삼각부등식과 동치임을 보이는 것은 어렵지 않다.
한편, 거리함수의 세 성질 중 다른 것은 모두 성립하나 첫번째 성질의 필요충분조건 중 충분조건만 성립하고 필요조건의 성립은 보장되지 않는, 즉 정의역인 곱공간의 두 원소가 서로 달라도 0이라는 함숫값을 가질 수 있는 함수를 일컬어 유사거리(pseudometric)이라 하고 이 개념을 자연스럽게 소개하기 위해 거리함수의 성질을 3가지가 아니라 4가지라고 진술하는 책도 있다. 대표적인 유사거리의 예로는 0 이상 1 이하의 실수 점으로 이뤄진 실직선 위에서 리만 적분 가능한 함수의 집합 [math(\Re \left[0, 1\right])] 위에서 정의된 [math(\displaystyle \int_{0}^1\ |f(x)-g(x)|\,{\rm d}x)]가 있다.