드 무아브르 공식

[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta)] [가]
[math([ \mathrm{cis}(x) ]^n = \mathrm{cis}(nx))][2]

전제
정수론에서, 정수의 집합 [math(\mathbb{Z})]은 다음과 같이 정의된다.
①. 자연수 집합 [math(\mathbb{N}:=\{n|n\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z^{+}})]
※자연수 집합은 페아노 공리계를 만족하는 최소의 집합으로 정의된다. 자세한 내용은 자연수 항목 참조.
②. 음의 정수 집합 [math(\mathbb{Z^{-}}:=\{-n|n\in\mathbb{N}\})]
※음의 정수는 덧셈에 대한 역원이 자연수 집합에 속해있는 모든 수의 집합으로 정의된다.
③. 덧셈의 항등원 집합인 [math(\{0\})]
→ 정수의 집합 [math(\mathbb{Z}:=\mathbb{Z^{+}}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z^{-}})]

[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{n}=\cos \left (n\theta \right)+i\sin \left(n\theta\right))]에서, [math(n=0)]일 때
좌변은 [math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{0}=1)]이며
우변은 [math(\cos \left(0\theta\right)+i\sin \left(0\theta\right)=1+0i=1)]이므로 자명하다.

$a^{-b}=\displaystyle{\frac{1}{a^{b}}}$라는 것과 [math(\cos(\theta)-\sin(\theta)=\cos(-\theta)+\sin(-\theta))]라는 것을 기억하자.
이제, 음의 정수 [math(k)]에 대해서, [math(k=-t)]가 되는 양의 정수 [math(t)]를 생각하면, 자연수 지수에서의 드 무아부르 정리에 의해
[math(\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{k}=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{-t}=\displaystyle{\frac{1}{\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^{t}}}=\displaystyle{\frac{1}{\cos \left( t\theta \right) +i\sin \left( t\theta \right) }})]가 된다.
이제 이 식을 실수화 시키기 위해 분자와 분모에 [math(\cos \left ( t\theta \right)-i\sin \left(t\theta \right) )]를 곱하자. 이는 [math(\cos \left( t\theta\right)+i\sin \left(t\theta \right))]의 켤레 복소수이다.
[math(\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\left(\cos \left(t\theta\right)+i\sin \left(t\theta\right)\right)\cdot\left(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)\right)}}=\displaystyle{\frac{\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)}{\cos^{2} \left(t\theta\right)+\sin^{2} \left(t\theta\right)}}=\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right))]가 된다.[5]
이 때, [math(\cos \left(t\theta\right)-i\sin \left(t\theta\right)=\cos\left ( -t\theta \right )+i\sin\left ( -t\theta \right )=\cos \left(k\theta\right)+i\sin \left(k\theta\right))]가 되어, 음의 정수 지수에서도 성립함을 증명했다.

이로써 자연수(=양의 정수), 0, 음의 정수 지수에서 모두 성립하므로, 정수 지수에서 드 무아브르 공식이 성립함을 증명했다.

전제1. 실수의 완비성
수직선상에 위치한 어떤 수라도, 그 수를 향해 수렴하는 단조 증가, 혹은 단조 감소 유리수열을 만들 수 있다.
※예시
[math(\sqrt{2}=1.414213\cdots)]라는 무리수가 존재한다면, 이런 수열을 만들 수 있다.
[math(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, \cdots)]
[math(\displaystyle{\frac{a}{b}})]라는 유리수가 존재한다면 이런 수열을 만들 수 있다.
[math(a_{n}=\displaystyle{\frac{a}{b}-10^{-n}})]

전제2. 지수함수의 무리수지수 정의
[math(a^{b})]라는 수가 주어졌을 시, [math(b)]가 무리수라면, 이 [math(b)]를 향해 수렴하는 단조증가/단조감소 수열 [math(u_{n}, l_{n})]을 만들 수 있다.
그렇다면, [math(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{u_{n}}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty}a^{l_{n}}})]로 극한값은 하나의 값으로 수렴하여, 이 수렴되는 극한값이 바로 [math(a^{b})]라고 정의된다.