최근 수정 시각 : 2022-11-04 16:06:22

비례·반비례

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1. 개요
1.1. 정비례1.2. 반비례
2. 비례의 기호 ∝3. 여담

1. 개요

멱함수의 일종으로, 두 변수가 있을 때 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다.[1] 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 [math(1 \over 2)]배, [math(1 \over 3)]배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다.

식으로 나타내자면 [math(a)]가 상수일 때 [math(y=ax)]를 만족시키는 경우 두 변수 [math(x, y)]는 정비례 관계에 있고, [math(\displaystyle y=\frac{a}{x}=ax^{-1})]를 만족시키는 경우 [math(x, y)]는 반비례 관계에 있다. 간혹 분수만 나오면 무조건 반비례라고 써버리는 사람도 있는데, 분모가 비례상수일 경우는 정비례다. 다시 말해, 비례상수 그 자체는 비례·반비례 여부에 아무 영향을 주지 않는다. 예를 들어 [math(\displaystyle y=\frac{x}{2}={1 \over 2}{x})]는 비례 관계이다. 단, 하나의 예외로 비례상수가 0일 경우 비례·반비례 관계가 무너진다.[2]

1.1. 정비례

두 변수 [math(x, y)]가 정비례한다(혹은 비례한다)고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f\left(x\right))]를 만족시킨다는 뜻이다.
임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(f\left(kx\right)=kf\left(x\right))]
이 정의를 이용해 정비례하는 함수 [math(f)]를 묘사하는 식을 구할 수 있다. [math(a = f(1))]로 두고 [math(x = 1)]을 대입하면 [math(f(k) = kf(1) = ak)], 혹은 [math(f(x) = ax)]. 즉 정비례 관계의 함수는 상수항이 없는 일차함수이다.

비례관계의 정의는 역함수를 정의할 때 사용되기도 한다. 가령 지수함수를 [math(f\left(x\right)=x)]에 대칭시키면 로그함수가 튀어나온다.

1.2. 반비례

두 변수 [math(x, y)]가 반비례한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 [math(f)]에 대하여 [math(y=f\left(x\right))]를 만족시킨다는 뜻이다.
0이 아닌 임의의 [math(k, x)]에 대하여 [math(\displaystyle f\left(kx\right)=\frac{f\left(x\right)}{k}=k^{-1}f\left(x\right))]이다.
즉, 반비례는 역수에 비례한다는 뜻과 같은 말이며, 반비례 함수는 분수함수이다.

이때, 반비례 함수를 부정적분하면 자연로그가 나오며[3], 1에서 자연로그의 밑 [math(e)]까지 정적분을 하면 1이 나온다.

반비례 함수의 그래프는 쌍곡선이다. 이 식을 이용해 쌍곡선의 방정식으로 변형시킬 수 있다.

반비례 관계의 항 중 분모가 자연수인 항을 모조리 더한 것을 ' 조화급수'라고 하며 여기서 자연로그를 뺀 부분을 모두 더하면 오일러-마스케로니 상수를 구할 수 있다.

2. 비례의 기호 ∝

비례하는 함수 [math(y=kx)]([math(k)]는 상수)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(y \propto x)]

순서를 바꾸어 [math(x \propto y)]와 같이 쓸 수도 있다.

마찬가지로 반비례하는 함수 [math(y=\dfrac{k}{x})]([math(k)]는 상수)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(y \propto \dfrac{1}{x})]

3. 여담

  • (2015 개정 교육과정 기준으로) 본격적으로 배우는 시기는 중학교 1학년 수학이며, 원래는 초등학교 6학년 수학으로 잠시 내려온 적도 있었으나 한 차례 시도만 하고 환원되었다. 이를 활용한 개념을 처음 배우는 때는 중학교 1학년 과학 시간에 나오는 보일 법칙 샤를 법칙이다. 그러나 2015 개정 교육과정부터는 하향평준화가 대대적으로 이어지면서 학자 이름을 생략하고[4] 그냥 '~수록 커진다/작아진다'로 바꿔 버렸다.


[1] 이 함수는 유리함수도 관계가 있다. [2] [math(0x = \dfrac{0}{x} = 0)] [3] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln_{}t=t^{-1})] [4] 원리는 기억 안 나고 학자 이름만 떠돈다는 사유에서 생략했다고 한다. 중학교 과정에서 학자 이름을 생략한 건 좋았다는 평가를 받는다. 어차피 화학Ⅱ에서는 보일-샤를로 배운다.화2러들도 이상기체상태방정식에서 비례/반비례관계를 따지기때문에 학자이름 안 외운다. 다만, 문제는 비례/반비례까지 그렇게 했다는 것.