최근 수정 시각 : 2024-06-19 06:06:11

유계 집합

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1. 개요2. 정의
2.1. 실수 집합의 유계 집합2.2. 거리 공간의 유계 집합2.3. 위상 벡터 공간의 유계 집합2.4. 순서 집합의 유계 집합
3. 예시4. 기타5. 관련 문서

1. 개요

유계 집합(, bounded set)은 거리, 순서, 위상 등에 의해 그 크기 또는 범위가 제한된 집합을 의미한다.

2. 정의

2.1. 실수 집합의 유계 집합

실수 전체의 집합 [math(\R)]의 부분집합 [math(X)]에 대해서 집합 [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 실수를 [math(X)]의 상계(, upper bound)라 하고 [math(X)]에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 실수를 [math(X)]의 하계(界, lower bound)라고 한다. 예를 들어 열린 구간 [math((0, 1))]의 상계는 구간 [math([1, \infty))]의 임의의 원소이다. 마찬가지로 구간 [math((-\infty, 0])]에 속하는 각 원소는 구간 [math((0, 1))]의 하계이다. [math(X)]의 원소이면서 동시에 [math(X)]의 상계 또는 하계가 되는 것도 가능하다. 예를 들어 1은 닫힌 구간 [math([0, 1])]의 모든 원소보다 크거나 같고, 따라서 상계가 된다.

상한(최소 상계, 上限, supremum, least upper bound)과 하한(최소 하계, 下限, infimum, greatest lower bound)은 각각 상계의 최솟값과 하계의 최댓값을 말한다. 즉, 집합 [math(X)]의 상한은 [math(X)]의 모든 원소보다 크거나 같은 수들 중 가장 작은 수를, 하한은 [math(X)]의 모든 원소보다 작거나 같은 수들 중 가장 큰 수이다. [math(X)]의 상한과 하한을 각각 [math(\sup X, \inf X)]로 나타낸다. 열린 구간에서 볼 수 있듯이 모든 집합에 대해 최솟값과 최댓값이 존재하는 것은 아니다. 하지만 상한과 하한은 최대/최솟값을 갖지 않는 유한 열린구간에도 존재하며, 따라서 상한과 하한을 최대, 최솟값의 일반화라 볼 수 있다. 예를 들어 [math((0, 1))]는 최댓값과 최솟값이 존재하지 않지만 상계 [math([1, \infty))]의 최솟값과 하계 [math((-\infty, 0])] 최댓값은 각각 [math(1)]과 [math(0)]으로 존재한다.

집합 [math(X)]가 상계(하계)를 가지면 [math(X)]는 위로(아래로) 유계(bounded above, bounded below)라고 하며, [math(X)]가 위로 유계인 동시에 아래로 유계인 경우 [math(X)]를 유계 집합(bounded set)이라고 한다.

2.2. 거리 공간의 유계 집합

거리공간 [math((X, d))]에 대해 [math(X)]의 부분집합 [math(A)]가 유계라 함은 [math(A\subset B_d(x, r))]을 만족시키는 점 [math(x\in X)]와 실수 [math(r>0)]이 존재함을 뜻한다. 이때 점 [math(x)]는 반드시 집합 [math(A)]의 점일 필요가 없음에 주의하자. 동치인 명제로 [math(\forall a, b \in A \subset X)]에 대하여 실수 [math(\exist r\in \R^{+}\cup\{0\})]이 존재하여 [math(\sup(d(a,b))\le r)]이라는 명제가 있다.

2.3. 위상 벡터 공간의 유계 집합

[math(\mathbb{K})]-위상 벡터 공간 [math(X)]([math(\mathbb{K\in\{R,C\}})])의 부분집합 [math(A)]가 [math(X)]의 임의의 열린 집합 [math(U)]에 대하여 [math(rA\subseteq U)]인 [math(r\in\mathbb{K})]을 가지면 [math(A)]를 [math(X)]의 (폰노이만) 유계 집합이라고 한다.

2.4. 순서 집합의 유계 집합

순서 집합 [math(X)]의 부분집합 [math(A)]에 대하여, 집합 [math(A)]에 속하는 모든 원소보다 크거나 같은 수 [math(x(\in X))]가 존재하면 [math(x)]를 상계라 하고 집합 [math(A)]는 위로 유계라 한다. 반대로, 집합 [math(A)]에 속하는 모든 원소보다 작거나 같은 수 [math(x(\in X))]가 존재하면 [math(x)]를 하계라 하고 집합 [math(A)]는 아래로 유계라 한다. [math(A)]가 위로 유계이면서 동시에 아래로 유계인 경우, '집합 [math(A)]는 유계(bounded)'라고 한다. 집합 [math(A)]의 상계 중 최솟값이 존재하는 경우 이를 최소 상계 또는 상한이라 하고 [math(\operatorname{lub}A)] 또는 [math(\sup A)]라고 표기한다. 마찬가지로, 하계 중 최댓값이 존재하는 경우 이를 최대 하계 또는 하한이라 하고 [math(\operatorname{glb}A)] 또는 [math(\inf A)]라고 표기한다.

3. 예시

  • 집합 [math(\R)]의 유계 부분 집합
    • 열린 구간 [math((0, 1))]에 대하여 [math(0)]과 [math(1)] 사이의 모든 수보다 큰 수인 [math(2)], [math(0)]과 [math(1)]사이의 모든 수보다 작은 수인 [math(-1)]이 각각 존재하므로 열린구간 [math((0, 1))]는 유계인 집합이다.
    • 실수의 완비성에 의해 실수 집합의 위로(아래로) 유계인 부분 집합은 상한(하한)을 갖는다.
    • 실수 집합에서 거리 공간, 위상 벡터 공간, 순서 집합으로서의 유계성은 일치한다.
  • 집합 [math(\R^n)]의 유계 부분 집합
    • 유클리드 공간 [math(\R^n)]은 거리 [math(d:\R^n\times\R^n\to[0,\infty))]를 갖춘 거리공간이므로 단위 구 [math(B(0, 1))] 등은 [math(\R^n)]의 유계 집합이다.
    • 집합 [math(\R^2)]의 전순서 [math(\le)]를 다음과 같이 정의하자.
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[math((x, y)\le(z,w)\Longleftrightarrow
\begin{cases}x\le z,& y=w\\
y\le w,& y\ne w\end{cases})]}}}순서 공간 [math((\R^2, \le))]에서 집합 [math(A=\{(1,y):y\in\R\})]는 유계 집합이다.
  • 유클리드 공간은 거리 공간이지만 순서 공간이 아니므로 [math(\R^n)]에서 유클리드 거리 공간으로서의 유계성과 순서 공간으로서의 유계성은 서로 구분된다. 예를 들어 위 순서 공간의 유계 집합 [math(A)]는 유클리드 공간 [math(\R^2)]에서 유계가 아니다.

4. 기타

일상에서는 상한선, 하한선이라는 용어를 사용하는데, 근본적으로는 유계 집합을 염두에 둔 것이라고 볼 수 있다.

대표적인 용례로 진급 상한선이 있다.

5. 관련 문서