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미분

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1. 개요2. 상세3. 정의
3.1. 변화율(증분)
3.1.1. 평균변화율3.1.2. 순간변화율(미분계수)
3.2. 도함수
4. 활용
4.1. 어림값4.2. 미분가능성과 연속4.3. 곱함수의 미분가능성
4.3.1. 예제
4.4. 미분계수식의 치환
4.4.1. 심화: 극한값 존재성과 미분가능성
4.5. 절댓값이 포함된 미분계수식
5. 미분법6. 평균값 정리7. 기타8. 관련 문서

1. 개요

/ differentiation

미분이라는 단어는 영어 differentiation의 번역어이며, 점↔선↔면↔입체가 미적분과 유사한 관계임에서 착안하여 만들어진 단어이다. 즉 어떤 면을 미세하게 층층이 쪼개었을 때, 각각의 층을 '미세한 부분'이라고 하여 '미분'이라고 부른 것이 어원이다. 영어 differentiation이나 differential은 '차이를 두다'라는 뜻의 differentiate에서 파생되었다.

미분을 알기 위해서는 우선 몇 가지 개념에 대한 이해가 필요하다. 아래는 뉴턴이 최초로 미적분을 발명하고 거의 비슷한 시기에 라이프니츠가 최초로 정립한 미분계수의 정의와 평균변화율과 순간변화율 개념을 기술하고 있다. 나아가 이는 , 가우스, 코시, 로피탈, 리만, 바이어슈트라스 등 여러 인물들이 만들어 놓은 이론과 정리들의 기본 원리가 되는 개념이다.

2. 상세

미분이라는 용어는 서로 다른 두 개념인 미분(differentiation)과 미분(differential)으로 동시에 쓰이기 때문에 이를 구분할 필요가 있다. Differentiation은 differentiate의 명사형이고, differentiate는 우리가 흔히 미분이라 부르는 도함수(derivative)를 얻는 것을 말하는 동사이다. 또한 differential은 고등학교에 나오지 않았던 개념으로, 원함수의 선형 근사 함수를 말한다.[1] 가령, 일변수 함수 [math(f(x))]의 한 점 [math(a)]에서의 미분(differential) [math(\mathrm{d}f)]는 [math(\mathrm{d}f(\Delta x) = f'(a)\,\Delta x)]로 나타나는 선형함수를 말한다. 여기서 [math(\Delta x)]는 단순히 변수의 표기에 불과하니 오해하지 말자.
이러한 정의에서 [math(y=f(x))]라 두고 항등함수 [math(x)]에 대한 미분(differential)이 [math(\mathrm{d}x(\Delta x)=1\Delta x=\Delta x)] 임을 생각하면
[math(\mathrm{d}y(\Delta x)=f'(a)\Delta x=f'(a)\mathrm{d}x(\Delta x))]
즉 [math(\mathrm{d}y=f'(a) \mathrm{d}x)] 라고 쓸 수 있다.

왜 이러한 differential이라는 개념이 따로 필요한가는 다변수함수의 미분으로 가면 확실해진다. 일변수 함수에서는 변화하는 '방향'을 고려할 필요가 없기 때문에 평균변화율이나 순간변화율이 유일하게 결정되지만, 3차원(이변수 함수)으로만 가도 서로 다른 방향으로의 무수히 많은 변화율을 생각할 수 있기 때문에 단순하게 일차원의 변화율(직선의 기울기)을 적용하기에는 애로사항이 존재하게 된다. 따라서 미분의 개념에 대해 다른 방향으로 접근해야 하고, 그것이 바로 선형근사함수이다.[2]

선형함수란 [math(L(ax+y)=aL(x)+L(y))]의 성질을 가지는 함수를 말하며, 일변수의 실숫값 함수에서는 원점을 지나는 직선으로, 이변수의 실숫값 함수에서는 원점을 지나는 평면으로 나타나며, 일반적으로 [math(R^n)]에서 [math(R^m)]으로 가는 함수의 경우에는 [math(L(mathbf{x})=Amathbf{x})]로서 [math(mtimes n)] 행렬 [math(A)]를 변수 앞에(변수를 열벡터의 형태로 간주하여) 곱한 간단한 형태로서 나타낼 수 있다.

[math(\R^n)]에서 [math(\R^m)]으로 가는 다변수벡터함수 [math(\mathbf{f}: \mathbf{x} \mapsto \mathbf{f}(\mathbf{x}))]에 대해 한 점 [math(\mathbf{a})]를 고정시키고 이로 만든 새로운 함수 [math(\mathbf{f}(\mathbf{a}+\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{a}))][3]와 원점 근방에서 가장 원함수와 비슷한 선형 근사 함수, 즉 [math(\displaystyle\lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0}}\frac{|(\mathbf{f}(\mathbf{a}+\mathbf{h})-\mathbf{f}(\mathbf{a}))-L(\mathbf{h})|}{|\mathbf{h}|}=0)]를 만족하는 선형함수[math(L(\mathbf{x}))]는 유일하게 결정할 수 있게 되고,[4] 이러한 방향으로 생각한 일변수 함수에서의 미분의 확장은 타당하다 할 수 있다. 이때 [math(\mathbf{f}(\mathbf{x}))]의 [math(\mathbf{x}=\mathbf{a})]에서의 선형 근사 함수 [math(L(\mathbf{x})=A\mathbf{x})]가 위에서 말한 [math(\mathbf{a})]에서의 미분(differential)이고, 이러한 미분의 계수를 미분계수라고 하게 된다. (따라서 차원이 높아지면 이러한 '계수'는 하나의 수가 아닌 행렬로 나타난다. 그게 바로 야코비안.) 모든 고등학생이 도함수의 값을 미분계수라고 부른다는 걸 알고 있지만 정작 미분계수라고 부르는지는 잘 모르는데, 말그대로 미분(differential)의 계수(coefficient)이기 때문에 그렇게 부르는 것이다.

이렇게 다변수로 가면 미분을 먼저 정의해야 그로서 미분계수라는 용어가 자연스럽게 나오고, 그 미분계수와 해당하는 점을 이어주는 함수를 도함수라고 정의할 수 있게 된다.

3. 정의



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이 문서에서는 여러 표현이 혼용된다. 모두 빈번히 사용되며 결국 다 같은 말이다.
  • [math(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x})]
  • [math(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h})]
  • [math(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a})]

복소평면에서는 조금 다르게 정의되는데, 실수부와 허수부를 같이 고려해야 하므로 극한을 두 겹으로 취한다.
  • [math(\displaystyle\lim_{\Delta \!\operatorname{Re}(z)\to 0}\lim_{\Delta \!\operatorname{Im}(z)\to 0}\frac{f(a+\Delta z)-f(a)}{\Delta z})]
  • [math(\displaystyle\lim_{\operatorname{Re}(h)\to 0} \,\lim_{\operatorname{Im}(h)\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h})]
  • [math(\displaystyle\lim_{\operatorname{Re}(z)\to \operatorname{Re}(a)} \,\lim_{\operatorname{Im}(z)\to \operatorname{Im}(a)}\frac{f(z)-f(a)}{z-a})]

3.1. 변화율(증분)

변화율은 증분과 같은 뜻으로 미적분학에서 쓰이는 용어다. 다른 학문에서는 변화분 등의 다른 이름으로 칭해지기도 한다. 어떤 변수들이 변화한 정도의 비이다.

예를 들어 함수 [math(y=x^{2})]에서 [math(x)]의 값이 [math(1)]부터 [math(3)]까지 변하면 [math(y)]의 값은 [math(1)]부터 [math(9)]까지 변화한다. 이때 독립변수 [math(x)]의 변화량은 [math(2)]이며, 이를 [math(x)]의 증분이라 하고 그리스 문자 [math(\Delta)](델타, Delta)를 사용하여 [math(\Delta x)]로 나타낸다.[5] 마찬가지로 종속변수 [math(y)]의 변화량인 [math(8)]을 [math(\Delta x)]에 대한 [math(y)]의 증분이라 하고, [math(\Delta y)]로 나타낸다.

3.1.1. 평균변화율

파일:미분_평균변화량.png
어떤 함수 [math(f(x))]의 그래프가 있다고 할 때, [math(x)]축 위의 두 실수 [math(a)]와 [math(b)] ([math(a<b)])를 생각해 보자. 이제 [math(f(x))] 위에 위 사진과 같이 두 점 [math(\mathrm{A}(a,\,f(a)))], 점 [math(\mathrm{B}(b,\,f(b)))]를 잡고, 이 두 점을 이어 직선을 만들면 [math(\mathrm{A})]부터 [math(\mathrm{B})]까지의 ([math(x)]의 증가량) 분의 ([math(y)]의 증가량), 즉 [math(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a})]는 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]을 지나는 직선의 기울기이다. 이때 [math(x)]의 증가량을 [math(\Delta x)], [math(y)]의 증가량을 [math(\Delta y)]라 한다. 어떤 변수의 증가량을 나타내려면 [math(\Delta)]를 붙여주자.

미분에서는 이 기울기를 변화율이라고 부르게 되는데, 여기서 평균변화율은 두 점 사이의 그래프 전체의 기울기이다.

[math(y)]의 증분 [math(\Delta y)]를 [math(x)]의 증분 [math(\Delta x)]로 나눈 [math(\displaystyle{{\Delta y \over \Delta x}=4})]를 닫힌 구간 [math([1,\,3])]에서의 y의 평균변화율이라고 한다. 이 값은 [math(y=x^{2})] 위의 두 점 [math((1,\,1))], [math((3,\,9))]를 지나는 직선의 기울기와 같다. 일반적인 평균변화율의 정의는 다음과 같다.
함수 [math(y=f(x))]에서 [math(x)]의 값이 [math(a)]부터 [math(a+\Delta x)]까지 변할 때, [math(\displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {f(a+\Delta x)-f(a) \over \Delta x} )]를 구간 [math([a,\,a+\Delta x])]에서의 [math(y)]의 평균변화율이라고 한다.

이 때 평균변화율은 두 점 [math((a,\,f(a)))], [math((a+\Delta x,\,f(a+\Delta x)))]을 잇는 직선의 기울기와 같다.

3.1.2. 순간변화율(미분계수)

만약 [math(x)]의 증분의 절댓값인 [math(|\Delta x|)]를 아주 작게 하면, 즉 [math(\Delta x\to 0)]일 때, 평균변화율 [math(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x})]의 극한값을 생각할 수 있다. 이를 함수 [math(f(x))]의 [math(x=a)]에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 한다.
[math(x=a)]에서 연속하는 함수 [math(y=f(x))]에 대해 [math(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x})]의 값이 존재할 때, 함수 [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 미분가능(Differentiable)하다고 하며, 이때 이 극한값은 함수 [math(f(x))]의 [math(x=a)]에서의 변화율, 그 중에서도 순간변화율에 해당된다.
이때 [math(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x})]의 값이 존재한다는 것은 결국

[math(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0-}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0+}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x})]

라는 것으로서, 전자 즉 평균변화율의 좌극한을 좌미분계수, 후자 즉 평균변화율의 우극한을 우미분계수라고 한다. 즉 함수 [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능하려면 [math(x=a)]에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다.

이를 기호 [math(f'(a))], [math(\left.y'\right|_{x=a})], [math(\displaystyle\left[ \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} \right] _{x=a})]로 나타낸다. 어떤 점에서의 순간변화율은 기하학적으로 그 점에서의 접선의 기울기와 같다.

미적분을 처음 접하면 순간변화율이라는 이름부터 알려주지만 본격적으로 미분을 시도할 때 미분 계수(differential coefficient)라는 이름이 더욱 자주 쓰인다. 미분을 할 때에는 식의 최고차항의 계수가 중요하게 여겨지기 때문이다. 어떻게 한 점에서의 기울기, 그러니까 미분계수를 구하느냐에 관한 것이 위 개념, 미분의 기초라고 보면 된다.

이제 미분계수를 구해보자. 아까의 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]을 지나는 직선에서 [math(x)]의 증가량인 [math(\Delta x)]가 [math(0)]으로 가까워지면, 함수 [math(f)]가 연속이라는 가정하에 자연스럽게 점 [math(\mathrm{B})]가 점 [math(A)]로 다가가며[6] 직선이 짧아질 것이고, 이 [math(\Delta x)]가 [math(displaystyle lim_{Delta x to 0})]이 붙어 [math(0)]은 아니지만 [math(0)]으로 한없이 다가가게 된다면 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})] 사이의 거리가 똑같이 [math(0)]은 아니지만 [math(0)]으로 한없이 가까워져, 즉 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})]가 동일한 것은 아니지만 한없이 가까워져 평균변화율을 구하던 식이 한 지점의 순간변화율을 구하는 식이 되기 때문이다.

미분 계수의 [math(\mathrm{d})]는 이탤릭체 [math(d)]가 아니라 로만체 [math(\mathrm{d})]로 적어야 한다. 이탤릭체는 변수나 문자를 의미하는데, [math(d)]는 두께나 거리 등을 나타내는 문자로 사용하기 때문에 헷갈릴 수 있기 때문이다. [math(dx)]가 [math(x)]의 미분계수인지, 거리 [math(d)]와 변수 [math(x)]의 곱인지 알 수 없기 때문이다. 더군다나 미분 계수의 [math(\mathrm{d})]는 선형 사상의 일종인 미분형식이기 때문에 더욱이 로만체로 적어야 한다.[7]

3.2. 도함수

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4. 활용

4.1. 어림값

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4.2. 미분가능성과 연속

간단하게 말해서 미분가능이면 연속이다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(f'(c))]의 값이 존재하면 [math(f)]는 [math(x=c)]에서 연속이다.

어떤 함수가 [math(x=c)]에서 연속이라는 것은 [math(\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = f(c))]이므로 이를 증명하면 된다.

[math(x \ne c)]일 때, [math(\displaystyle f(x) = f(c) + \biggl\{ \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \biggr\} (x-c))]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x \to c} f(x) &= \lim_{x \to c} \biggl\{ f(c) + \frac{f(x)-f(c)}{x-c} (x-c) \biggr\} \\
&= \lim_{x \to c} f(c) + \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \cdot \lim_{x \to c} (x-c) \\
&= f(c) + f'(c) \cdot 0 \\
&= f(c)
\end{aligned})]

이 정리의 역은 성립하지 않는다. 즉, [math(f)]가 [math(x=c)]에서 연속이더라도 [math(f)]가 [math(x=c)]에서 반드시 미분가능한 것은 아니다. 예를 들어 [math(y=|x|)] 같은 함수는 [math(x=0)]에서 연속이지만 좌우 미분계수가 다르므로 [math(x=0)]에서 미분가능하지 않다.[8] 카를 바이어슈트라스 모든 점에서 연속이지만 동시에 모든 점에서 미분 불가능한 함수를 제시하기도 했다.

미분가능하지 않은 점에는 연속이 아닌 점, 첨점(뾰족점), 접선의 기울기가 발산하는 점[9] 등이 있다. 접선의 기울기가 발산하는 점의 접선을 "수직접선"이라한다.

미분 가능 여부를 확인하는 또다른 방법으로는 그래프를 확대하는 것인데, 우선 [math(y=f(x))]의 그래프를 [math(xy)] 평면 위에 그린다. 그 위의 한 점 [math(\left(a,\ f(a)\right))]을 중심으로 하여 확대할 때 이 그래프가 좌우 모두 이어진 하나의 직선으로 보이면 미분 가능하며, 아무리 확대하여도 곧은 선으로 표현되지 않는다면 미분이 불가능하다.

일반적으로 복소함수의 미분가능성은 실함수의 미분가능성보다 훨씬 조건이 까다롭다. 코시-리만 방정식의 해가 되어야 하기 때문. 가령 켤레복소수 함수 [math(f(z) = \overline{z})]는 복소평면 전체에서 연속이지만 코시-리만 방정식의 해가 되지 못해 미분 불가능하다.

4.3. 곱함수의 미분가능성

고등학교 수학에서는 미분불가능점이 있는 함수에 다른 함수를 곱했더니 그 점에서 미분가능해지는 상황을 많이 출제한다. 이는 불연속점이 있는 함수에 다른 함수를 곱했더니 그 점에서 연속이 되는 상황과도 깊은 연관이 있어서, 연속성과 미분가능성을 종합한 문제도 많이 나온다. 곱함수의 연속성에 대해서는 연속함수 문서 참고.

함수 [math(f(x))]가 [math(x=f_1, \,f_2,\, \cdots)]에서, [math(g(x))]가 [math(x=g_1,\, g_2,\, \cdots)]에서 미분불가능할 때, [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 다음을 만족시켜야 한다.

[math(f(g_1)=f(g_2)=\cdots=g(f_1)=g(f_2)=\cdots=0)]

쉽게 말해서 한 함수의 미분불가능점의 [math(x)]좌표를 다른 함수에 대입하면 0이 되어야 한다. 이유는 다음과 같다.

우선, 곱미분에 의하면

[math(\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))]

이다. 물론 [math(f(x))]와 [math(g(x))]에 미분불가능점이 있으면 이렇게 쓸 수는 없지만, 편의상 이 식을 가져다 쓰자.

[math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분불가능하다는 것은 [math(x=a)]에서의 좌미분계수와 우미분계수가 일치하지 않아 [math(f'(a))]의 값이 결정되지 않는다는 것이다. 그런데 여기에 다른 함수 [math(g(x))]를 곱했더니 [math(x=a)]에서 미분가능하려면, [math(g(a)=0)]이어야

[math(\{f(a)g(a)\}'=f'(a)g(a)+f(a)g'(a))]

에서 [math(f'(a)g(a))]가 하나의 값으로 결정될 수 있다. 0이 아니면 안 된다. 즉, [math(f'(a))]의 값은 결정할 수 없지만, 모든 실수는 0을 곱하면 0이기에 [math(f'(a)g(a))]의 값만큼은 0으로 결정할 수 있다는 것이다. 마찬가지로 [math(g'(b))]의 값이 존재하지 않으면 [math(f(b)=0)]이어야 한다. 요컨대, 서로 다른 수들에 어떤 수를 각각 곱한 결과가 모두 같다는 것은, 그 곱한 수가 0이라는 뜻이다.

4.3.1. 예제

파일:2021년 10월 7번.jpg
2021학년도 10월 7번
아주 전형적인 미분가능성 문제로, 이제는 매우 쉬운 내용이 되어 3점짜리 문제로도 곧잘 나온다.

풀이 [펼치기 · 접기]
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[math(f(x))]는 [math(x=-3)]에서 미분불가능하므로 [math(f(x)g(x))]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [math(g(-3)=0)]이어야 한다. 즉, [math(a=6)]이다.
파일:2020 수능 나 20.png
2020학년도 수능 나형 20번
함수의 연속성과 미분가능성을 동시에 묻는 문제이다. ㄱ에서는 연속성을, ㄴ과 ㄷ에서는 미분가능성을 묻고 있다. 미분가능하면 연속이라는 사실을 기억할 필요가 있다.

풀이 [펼치기 · 접기]
----
ㄱ을 보자.

[math(\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(-x)=0\\\neq&\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}(x-1)=-1\end{aligned})]

이므로 [math(f(x))]는 [math(x=0)]에서 불연속이다. 따라서 [math(p(x)f(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 [math(p(0)=0)]이어야 한다. 즉 ㄱ은 옳다.

ㄴ을 보자.

[math(\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}(x-1)=1\\=&\lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(2x-3)=1\end{aligned})]

이므로 [math(f(x))]는 [math(x=2)]에서 연속이다. 그러나

[math(\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to2-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2-}\frac{(x-1)-1)}{x-2}=1\\\neq&\lim_{x\to2+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2+}\frac{(2x-3)-1}{x-2}=2\end{aligned})]

와 같이 좌미분계수와 우미분계수가 다르므로 [math(x=2)]에서 미분불가능하다. 따라서 [math(p(x)f(x))]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [math(p(2)=0)]이어야 한다. 즉 ㄴ은 옳다.

ㄷ을 보자. 우선 [math(\{f(x)\}^2)]은 다음과 같다.

[math(f(x)=\begin{cases}\begin{array}{ll}\!\!x^2\;&(x\leq0)\\\!\!(x-1)^2\;&(0<x\leq2)\\\!\!(2x-3)^2\;&(x>2)\end{array}\end{cases})]

이 함수는 [math(f(x))]와 마찬가지로 [math(x=0)]에서 불연속이다. 따라서 [math(p'(0)=0)]이어야 한다. 또한 미분가능하면 연속이므로, [math(x=0)]에서 미분불가능하다. 그러므로 [math(p(0)=0)]이어야 한다. 한편 [math(f(x))]가 [math(x=2)]에서 연속이므로 [math(\{f(x)\}^2)] 역시 그러하다. 이제 [math(x=2)]에서의 미분가능성을 판별하자.

[math(\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to2-}\frac{\{f(x)\}^2-\{f(2)\}^2}{x-2}=\lim_{x\to2-}\frac{(x-1)^2-1)}{x-2}=2\\\neq&\lim_{x\to2+}\frac{\{f(x)\}^2-\{f(2)\}^2}{x-2}=\lim_{x\to2+}\frac{(2x-3)^2-1}{x-2}=4\end{aligned})]

와 같이 좌미분계수와 우미분계수가 다르므로 [math(x=2)]에서 미분불가능하다. 따라서 [math(p(x)f(x))]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [math(p(2)=0)]이어야 한다.

최종적으로 [math(p(x))]는 [math(x^2(x-2))]로 나누어떨어질 것을 요구받을 뿐, [math(x^2(x-2)^2)]으로 나누어떨어질 필요는 없다. 즉 ㄷ은 옳지 않으며, 정답은 ②이다.

4.4. 미분계수식의 치환

상수 [math(p)]와 [math(x=a)]에서 미분가능한 함수 [math(f(x))]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+ph)-f(a)}h=pf'(a))]

증명 [펼치기·접기]
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함수 [math(f(x))]의 형태는 매우 무궁무진하므로, 미분계수식에서 [math(f())] 안의 식은 사실상 변형할 수 없다. 따라서 그 이외의 부분을 변형시키는 것이 포인트이다. [math(0)]이 아닌 상수 [math(p)]에 대하여 분모의 [math(h)]를 [math(ph)]로 만든 다음 [math(ph=t)]로 치환하면 쉽게 증명된다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+ph)-f(a)}h&=\lim_{\color{red}h\to0}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}\times p\\&=\lim_{\color{red}t\to0}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\times p\\&=pf'(a)\end{aligned})]

[math(p=0)]이면 다음과 같이 별도로 계산해야 한다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+ph)-f(a)}h&=\lim_{h\to0}\frac{f(a)-f(a)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac0h=\lim_{h\to0}0=0\end{aligned})]

그런데 [math(p=0)]일 때 [math(pf'(a)=0)]이므로 이 경우에도 증명하고자 하는 식이 성립한다.

상수 [math(p)], [math(q)]와 [math(x=a)]에서 미분가능한 함수 [math(f(x))]에 대하여 다음이 성립한다.

[math(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}h=(p-q)f'(a))]

증명 [펼치기·접기]
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포인트는 양쪽에 [math(-f(a))]를 추가해 주어 미분계수의 형태를 두 개 만들어주는 것이다. 그러고 나면 위에서 먼저 증명한 사실을 적용하여 쉽게 증명할 수 있다. 다음은 [math(p\neq q)]인 경우의 증명이다.
[math(\begin{aligned} \displaystyle
\lim_{h\to0} \frac{f(a+ph)-f(a+qh)}h &= \lim_{h\to0} \left\{ \frac{f(a+ph)-f(a)}h -\frac{f(a+qh)-f(a)}h \right\} \\
&= (p-q)f'(a)
\end{aligned})]
반면 [math(p=q)]인 경우에는 다음과 같이 별도로 계산해야 한다.
[math(\begin{aligned} \displaystyle
\lim_{h\to0} \frac{f(a+ph)-f(a+qh)}h &= \lim_{h\to0} \frac{f(a+ph)-f(a+ph)}h \\
&= \lim_{h\to0} \frac0h = \lim_{h\to0}0 = 0
\end{aligned})]
그런데 [math(p=q)]일 때 [math((p-q)f'(a)=0)]이므로 이 경우에도 증명하고자 하는 식이 성립한다.

4.4.1. 심화: 극한값 존재성과 미분가능성

다양하게 변형된 미분계수식의 극한값이 존재하는 것과 해당 함수가 해당 점에서 미분가능한 것은 별개이다. 이 사실을 직접 다룬 예제를 보며 이 말을 이해해 보자.
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2013학년도 사관학교 문과 18번
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ㄱ을 보자. 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한의 값이 같아야 하므로, 좌극한과 우극한을 각각 조사하자. [math(h^2=t)]로 치환하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{\color{red}h\to0-}\dfrac{f(a+{\color{red}h^2})-f(a)}{\color{red}h^2}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\\lim_{\color{red}h\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}h^2})-f(a)}{\color{red}h^2}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\end{aligned})]

결국 ㄱ의 좌극한과 우극한은 모두 [math(f(x))]의 우미분계수가 되므로 무조건 값이 같다. 즉, [math(f(x))]의 좌미분계수의 값에 관계없이 항상 극한값이 존재하므로 필요충분조건이 아니다. 이렇게 되는 이유는 [math(h^2)]과 같이 식이 [math(h)]에 짝수 거듭제곱을 취한 형태이기 때문이다. 그래서 [math(h)]가 [math(0)]보다 작은 쪽에서 접근하든(좌극한) 큰 쪽에서 접근하든(우극한) 이를 제곱한 [math(h^2=t)]는 항상 [math(0)]보다 큰 쪽에서 접근하는 우극한이 되어 버리는 것이다. 따라서 [math(h^2)]이 [math(|h|)], [math(h^4)], [math(h^{100})] 등으로 바뀌어도 결과는 같다.

ㄴ을 보자. 이 역시 좌극한과 우극한을 각각 조사하자. [math(h^3=t)]로 치환하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{\color{red}h\to0-}\dfrac{f(a+{\color{red}h^3})-f(a)}{\color{red}h^3}&=\lim_{\color{red}t\to0-}\dfrac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\\lim_{\color{red}h\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}h^3})-f(a)}{\color{red}h^3}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\dfrac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\end{aligned})]

ㄴ의 좌극한은 [math(f(x))]의 좌미분계수와 같고, 우극한은 우미분계수와 같으므로, ㄴ의 극한값이 존재하면 [math(f(x))]의 미분계수도 정의되며 그 역도 성립한다. 즉, ㄴ은 필요충분조건이다. 이렇게 되는 이유는 [math(h^3)]과 같이 식이 [math(h)]에 홀수 거듭제곱을 취한 형태이기 때문이다. [math(h)]의 극한의 방향은 이를 세제곱한 [math(h^3=t)]의 극한의 방향과 항상 일치한다는 것이다. 따라서 [math(h^3)]이 [math(h^5)], [math(h^7)], [math(h^{99})] 등으로 바뀌어도 결과는 같다. 이것이 바로 ㄱ과 ㄴ의 결정적 차이점이다.

ㄷ을 보자. 다음과 같이 좌극한과 우극한을 나누어 조사하면 된다. [math(-h=t)]로 치환하면 다음과 같다. 이때 [math(f'(a^-))]는 [math(x=a)]에서의 [math(f(x))]의 좌미분계수를, [math(f'(a^+))]는 우미분계수를 뜻한다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to0-}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}&=\dfrac12\lim_{h\to0-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}-}\,\dfrac12\lim_{\color{red}h\to0-}\dfrac{f(a\,{\color{red}-\,h})-f(a)}{\color{red}h}\\&=\dfrac12\lim_{h\to0-}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}+}\,\dfrac12\lim_{\color{red}t\to0+}\dfrac{f(a\;{\color{red}+\;t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=\dfrac12f'(a^-)+\dfrac12f'(a^+)\\\\\lim_{h\to0+}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}&=\dfrac12\lim_{h\to0+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}-}\,\dfrac12\lim_{\color{red}h\to0+}\dfrac{f(a\,{\color{red}-\,h})-f(a)}{\color{red}h}\\&=\dfrac12\lim_{h\to0+}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}+}\,\dfrac12\lim_{\color{red}t\to0-}\dfrac{f(a\;{\color{red}+\;t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=\dfrac12f'(a^+)+\dfrac12f'(a^-)\end{aligned})]
따라서 좌극한과 우극한이 같다는 것은

[math(\dfrac12f'(a^-)+\dfrac12f'(a^+)=\dfrac12f'(a^+)+\dfrac12f'(a^-))]

라는 뜻인데 이는 항등식이다. 따라서 ㄷ도 ㄱ처럼 좌미분계수와 우미분계수가 같든 다르든 무조건 극한값이 존재하며, 필요충분조건이 아니다. 결론적으로 답은 ②이다.

참고로, 미분계수가 정의되는 경우에는 다음과 같이 식을 정리하면 된다. 이때에도 [math(-h=t)]로 치환하면 된다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}&=\dfrac12\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}-}\,\dfrac12\lim_{\color{red}h\to0}\dfrac{f(a\,{\color{red}-\,h})-f(a)}{\color{red}h}\\&=\dfrac12\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\,{\color{red}+}\,\dfrac12\lim_{\color{red}t\to0}\dfrac{f(a\;{\color{red}+\;t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=\dfrac12f'(a)+\dfrac12f'(a)=f'(a)\end{aligned})]
이 경우에는 [math(f(a^-)=f(a^+)=f'(a))]로 쓸 수 있기 때문에 굳이 좌극한과 우극한으로 나누지 않고서도 위와 같은 계산이 가능한 것이다. 그러나 [math(x=a)]에서 미분이 가능하지 않더라도 위와 같이 극한값 자체는 존재한다는 것이 특기할 만하다. 이에 대해서는 바로 아래에서 더 자세히 설명한다.

위 예제의 ㄷ과 같은 형태의 식을 좀 더 자세히 탐구해 보자. 즉, [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능한 것과, [math(0)]이 아닌 서로 다른 두 상수 [math(p)]와 [math(q)]에 대하여

[math(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}h\;\cdots\;(\rm A))]

의 값이 존재하는 것의 관계를 알아 보자. 위에서 [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능하면 이 값이 [math((p-q)f'(a))]가 된다는 것을 알아 보았다. 그러나 미분가능하지 않은 경우에는 식을 좌극한과 우극한으로 나누어 조사해야 한다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to0-}\frac{f(a+ph)-f(a+qh)}h&=\lim_{h\to0-}\frac{f(a+ph)-f(a)}h-\lim_{h\to0-}\frac{f(a+qh)-f(a)}h\\&=\lim_{\color{red}h\to0-}p\times\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}-\lim_{\color{red}h\to0-}q\times\frac{f(a+{\color{red}qh})-f(a)}{\color{red}qh}\end{aligned})]
이는 좌극한을 조사하는 과정의 일부이다. 이때, [math(p)]와 [math(q)]의 부호에 따라서 계산 결과가 달라진다. [math(p)]를 예로 들어 알아보자. [math(ph=t)]로 치환하면 다음과 같다.
[math(\begin{aligned}p>0:\quad\displaystyle\lim_{\color{red}h\to0-}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}&=\lim_{\color{red}t\to0-}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=f'(a^-)\\\lim_{\color{red}h\to0+}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=f'(a^+)\\\\p<0:\quad\displaystyle\lim_{\color{red}h\to0-}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}&=\lim_{\color{red}t\to0+}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=f'(a^+)\\\lim_{\color{red}h\to0+}\frac{f(a+{\color{red}ph})-f(a)}{\color{red}ph}&=\lim_{\color{red}t\to0-}\frac{f(a+{\color{red}t})-f(a)}{\color{red}t}\\&=f'(a^-)\end{aligned})]
즉, [math(p>0)]이면 [math(h)]를 [math(t)]로 치환해도 극한의 방향은 유지되지만 [math(p<0)]이면 [math(ph=t)]로 놓고 치환하는 순간 극한의 방향이 반대가 되어 버린다는 것이다. 이 사실은 [math(q)]에 대해서도 동일하게 성립함은 물론이다.

따라서 위 [math((\rm A))]의 좌극한과 우극한은 [math(p)]와 [math(q)]의 부호에 따라 다음과 같이 달라진다.

[math(\textsf{좌극한}\begin{cases}pf'(a^-)-qf'(a^-)\quad(p>0,\,q>0)\\pf'(a^-)-qf'(a^+)\quad(p>0,\,q<0)\\pf'(a^+)-qf'(a^-)\quad(p<0,\,q>0)\\pf'(a^+)-qf'(a^+)\quad(p<0,\,q<0)\end{cases})]

[math(\textsf{우극한}\begin{cases}pf'(a^+)-qf'(a^+)\quad(p>0,\,q>0)\\pf'(a^+)-qf'(a^-)\quad(p>0,\,q<0)\\pf'(a^-)-qf'(a^+)\quad(p<0,\,q>0)\\pf'(a^-)-qf'(a^-)\quad(p<0,\,q<0)\end{cases})]

이에 따라 좌극한과 우극한이 같을 조건, 즉 [math((\rm A))]의 값이 존재할 조건은 최종적으로 다음과 같이 간단하게 정리된다.

[math(|p|=|q|\;\textsf{or}\;f'(a^-)=f'(a^+))]

즉, 미분계수가 [math(x=a)]에서 정의되어 [math(f'(a))]의 값이 존재하면 [math(p)]와 [math(q)]의 값에 관계없이 [math((\rm A))]의 값도 존재한다. 그러나 [math(f'(a))]의 값이 정해지지 않으면 그 다음 조건을 따져야 한다. 즉, [math(p)]와 [math(q)]의 절댓값이 같으면 되는 것이다. [math(p)]와 [math(q)]의 부호가 같으면 [math(p=q)]이어야 하며, 다르면 [math(p=-q)]이면 된다. 그런데 [math(p)]와 [math(q)]의 부호가 같아 [math(p=q)]이면 [math((\rm A))]의 분자가 그냥 [math(0)]이 되어 버리므로 [math((\rm A))]의 값도 단순히 [math(0)]이 된다. 그러나 이렇게 단순한 경우는 논의할 의미가 희박하다. 처음에 [math(p\neq q)]를 가정한 것은 이 때문이다.

따라서 실질적으로 미분계수가 정의되지 않으면서 [math(\boldsymbol{(}\bf A\boldsymbol{)})]의 값이 무조건 존재하는 중요한 경우는 [math(\boldsymbol{p=-q})]인 경우뿐이다. 이 경우 중 하나가 다름 아닌 위 예제의 ㄷ으로, ㄷ에서는 [math(p=1)], [math(q=-1)]이었다. 따라서 [math(x=a)]에서 미분계수가 정의되지 않더라도 무조건 ㄷ은 극한값을 가지므로 ㄷ은 필요충분조건이 되지 못하는 것이다.

또한 말을 뒤집으면, [math(|p|=|q|)]이지 않으면서 [math((\rm A))]의 값이 존재하려면 그냥 [math(x=a)]에서 미분계수가 무조건 정의되어야 하는 셈이다.

4.5. 절댓값이 포함된 미분계수식

절댓값 함수와의 합성함수의 미분계수는 부호 함수가 포함된 식의 꼴로 나타낼 수 있다. 사실상 함수 하나가 절댓값 함수일 뿐인 연쇄 법칙에 불과하다.
[math(\begin{aligned} |f(x)|' &= (\operatorname{sgn} \circ f)(x)\,f'(x) \\ f(|x|)' &= \operatorname{sgn}(x)\,f'(|x|)\end{aligned})]

혹은 다음과 같이 미분가능성을 생각할 수도 있다.
[math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능할 때, [math(|f(x)|)]가 [math(x=a)]에서 미분가능할 필요충분조건은 다음 중 하나를 만족하는 것이다.
1. [math(f(a)\ne 0)]
2. [math(f(a)=0)]이고 [math(f'(a)=0)]

증명: 1. [math(f(a)\ne 0)]인경우: [math(f(a)>0)]인 경우만 증명한다.[10]
[math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 미분가능하므로 연속이다. 따라서 충분히 [math(a)]를 포함하는 충분히 작은 열린구간을 생각하면 이 구간에서 [math(f(x)>0)]이다. 즉, 이 구간에서 [math(|f(x)|=f(x))]이므로 [math(f(x))]가 미분가능하면 [math(|f(x)|)]도 미분가능하고 그 역도 성립한다.
2. [math(f(a)=0)]인 경우: [math(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|}{x-a})]의 좌극한과 우극한, 즉 [math(|f(x)|)]의 좌미분계수와 우미분계수를 생각하자.
[math(x\to a+)]일 때 [math(x-a=|x-a|)]이므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a+}\frac{|f(x)|}{x-a}=\lim_{x\to a+}\left|\frac{f(x)}{x-a}\right|=|f'(a)|\cdots(1))]
[math(x\to a-)]일 때 [math(x-a=-|x-a|)]이므로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a-}\frac{|f(x)|}{x-a}=\lim_{x\to a-}-\left|\frac{f(x)}{x-a}\right|=-|f'(a)|\cdots(2))]
[math(|f(x)|)]가 미분가능한 필요충분조건은 (1)과 (2)의 두 값이 같은 것이므로 [math(f'(a)=0)]이다.

한편, 여기서 1.과 2., [math(f(x)<0)]일 조건을 모두 만족하는
[math(|f(x)|' = (\operatorname{sgn} \circ f)(x)\,f'(x))]
로 일반화된 미분계수식을 얻을 수 있다. [math(\qquad\blacksquare)]

파일:2022 9평 수학 22.png
2022학년도 9월 고3 22번
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문제의 식을 알기 쉽게 위하여 [math(|f(x)|=p(x))]로 두고, [math(-h=t)]로 치환하면 다음이 성립한다.
[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{|f(x+h)|-|f(x-h)|}h&=\lim_{h\to 0+}\frac{p(x+h)-p(x-h)}h\\&=\lim_{h\to 0+}\frac{p(x+h)-p(x)}h-\lim_{\color{red}h\to 0+}\frac{p(x\,{\color{red}-\,h})-p(x)}{\color{red}h}\\&=\lim_{h\to 0+}\frac{p(x+h)-p(x)}h-\lim_{\color{red}t\to 0-}\frac{p(x\,{\color{red}+\;t})-p(x)}{\color{red}-\,t}\\&=\lim_{h\to 0+}\frac{p(x+h)-p(x)}h+\lim_{t\to 0-}\frac{p(x+t)-p(x)}t\end{aligned})]
즉, 함수 [math(|f(x)|=p(x))]의 좌미분계수와 우미분계수의 합을 나타낸다. 이제 이 식 전체를 [math(q(x))]라 하고, [math(q(x))]의 연속성을 조사하자.

가령 [math(|f(x)|=p(x))]가 다음과 같은 개형인 경우를 보자.

파일:분자에 절댓값이 포함된 미분계수식_수정.jpg
그림에 표시된 첨점을 제외한 [math(p(x))]의 모든 점은 미분가능하다. 이때는 좌미분계수와 우미분계수가 같고 미분계수가 그 값으로 정의된다. [math(q(x))]는 [math(p(x))]의 좌미분계수와 우미분계수의 합이므로, 미분가능한 점에서는 미분계수의 두 배가 된다. 미분가능한 모든 구간에서는 그 도함수가 다항식으로 주어지므로, 도함수가 연속이다. 따라서 미분가능한 구간에서는 [math(q(x))] 역시 연속이다. 그러나 첨점에서는 좌미분계수와 우미분계수가 다르다. 정확히는 반수(/opposite number, 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수) 관계이다. 왜냐하면 원래부터 수평선 위에 있던 부분은 [math(f(x))]의 미분계수(이 그림에서는 좌미분계수)를, 원래 아래에 있었으나 뒤집어 올리면서 대칭이동된 부분은 [math(-f(x))]의 미분계수(이 그림에서는 우미분계수)를 조사해야 하기 때문이다. 미분계수는 평균변화율의 극한이므로 결국 극한의 일종이다. 따라서 극한의 성질에 의하여 [math(-f(x))]의 미분계수는 [math(f(x))]의 미분계수에 음의 부호를 붙인 것과 같다. 따라서 위 그림의 첨점에서는 좌미분계수와 우미분계수가 정확히 반수 관계를 이루며, 첨점에서의 [math(q(x))]의 값은 모두 [math(0)]이다. 첨점 근방에서는 [math(q(x))]의 값이 [math(0)]이 아니므로, 결국 [math(\boldsymbol{q(x)})]는 [math(\boldsymbol{|f(x)|=p(x)})]의 첨점에서만 불연속이다.

참고로 [math(f(x)=(x+1)^2(x-2))]이고 정답은 [math(f(5)=108)]이다. 연속함수 문서에서 밝힌 원리에 따라, [math(q(x))]가 불연속점을 갖는데 (가)에 따라 [math(g(x)=f(x-3)q(x))]가 연속함수가 되려면 첨점에서 [math(f(x-3)=0)]이 되어야 한다. 이 사실과 (나)를 적절히 이용하면 곡선 [math(f(x))]의 개형을 추론할 수 있다.
파일:2023년 3월 고3 수학 22번.jpg
2023학년도 3월 고3 22번
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[math(\displaystyle\lim_{x\to k}\frac{g(x)-g(k)}{|x-k|})]의 값이 존재하려면 다음과 같이 좌극한과 우극한의 값이 같아야 한다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to k-}\frac{g(x)-g(k)}{|x-k|}=\lim_{x\to k+}\frac{g(x)-g(k)}{|x-k|})]

이때, 좌극한은 [math(x)]가 [math(k)]보다 작은 쪽에서 [math(k)]로 접근하는 극한이므로 [math(|x-k|=-(x-k))]가 되고, 우극한은 반대로 큰 쪽에서 접근하는 극한이므로 [math(|x-k|=x-k)]가 되므로 위 식의 양변을 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

[math(\displaystyle\lim_{x\to k-}-\frac{g(x)-g(k)}{x-k}=\lim_{x\to k+}\frac{g(x)-g(k)}{x-k})]

다름이 아니라 좌변은 좌미분계수에 음의 부호를 붙인 것이고, 우변은 정확히 우미분계수이다. 즉, 문제의 극한값이 존재하려면 [math(g(x))]의 좌미분계수와 우미분계수가 모두 [math(0)]이어서 [math(x=k)]에서의 미분계수가 [math(0)]으로 정의되거나, [math(g(x))]의 좌미분계수와 우미분계수가 반수(/opposite number, 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수) 관계이면 된다. 이 경우 미분계수는 정의되지 않는다. 이것의 기하학적 의미를 알아보자. 가령, [math(f(x))]의 극값이 세 개인 경우는 다음과 같다.

파일:분모에 절댓값이 포함된 미분계수식.jpg
위 그림과 같이, [math(g(x)=|f(x)-t|)]의 그래프의 개형은 [math(f(x))]의 그래프를 직선 [math(y=t)]에 대하여 뒤집어 올린 모양이다.[11] 이때 초록색 점은 미분계수가 [math(0)]인 점이며, 빨간색 점은 좌미분계수와 우미분계수가 반수 관계인 점이다. 이 점들은 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})]를 수평선에 대하여 뒤집어 올리는 과정에서 발생하는 첨점이라고 할 수 있는데, 그 이유는 위 문제에서 설명한 바와 동일하다.

서울특별시교육청에서는 다음과 같은 해설을 제시했다. [math(g'(k)=0)]이려면 [math(f'(k)=0)]이면 충분하며, 첨점에서는 [math(g(k)=f(k)=t)]임을 위 그림을 통해서도 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

파일:2023년 3월 고3 수학 22번 해설.jpg
참고로 문제에서 [math(f(x)=(x+2)^2(x-2)(x+6)+4)], [math(h(4)=5)]이며, 정답은 [math(f(4)+h(4)=724+5=729)]이다.

5. 미분법

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6. 평균값 정리

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7. 기타

영국 수학계는 라이프니츠 식이 나온 이후에도 뉴턴 식을 고집하다가 결국 유럽 대륙에 비해 수학의 발전이 약 100~200년 뒤처지게 되었다.

뉴턴과 라이프니츠 이전에, 사실 피에르 드 페르마가 좌표평면 비슷한 것을 만들면서 접선을 구하는 방법을 생각해냈다.[12] 미분을 도입할 때 곡선상의 두 점에 대해 두 점을 잇는 직선인 할선을 생각한 후에, 한 점을 다른 한점에 극한으로 보내는 방식이 페르마가 생각했던 접선을 정의하는 방식이다. 다만 이는 모든 곡선에 보편적으로 적용할 수 있는 '완전한 해법'은 결코 아니었으며, 이러한 모든 곡선, 모든 점에서의 접선을 구할 수 있는 일반적인 방법은 뉴턴과 라이프니츠가 거의 동일한 시기에 '최초로' 발견해낸 것이 옳으며, 정확하게는 뉴턴이 더 빨랐다.

물리 공부할 때에는 적분과 더불어 사실상 필수이다[13]. 물론 고등학생 수준에서는 최고값/최저값 찾기에나 쓰지만, 배워 놓으면 꽤 편리할 뿐만 아니라 물리 개념 이해에 도움을 주기 때문에 배워놓는 것을 권장한다.[14]

상경계열 학생들에게도 필수다. 경제학에서 모형분석 시 자주 사용하는 차원을 넘어서 경제원론 수준에서조차 탄력성, 한계효용 개념에서부터 미분 개념이 등장하기 때문에 못 하면 매우 피곤하다. 특히 미시경제학은 행위자들의 행동원리 자체가 효용극대화, 비용극소화, 이윤극대화, 사회후생극대화 등 일변수함수나 이변수함수를 미분하여 풀 수밖에 없는 방향으로 결론이 나기 때문에 그야말로 미분으로 시작해서 미분으로 끝난다.[15]

공학에서도 공학수학의 기초 중 하나이기 때문에 필수다. 애초에 최적화라는 개념 자체를 미분과 따로 떼어 놓을 수 없다. 고로 사실상 수식을 사용하는 거의 모든 학문에 필수로 들어간다고 보면 된다.

사실 적분에 비해서는 계산이 훨씬 쉬운 편이다. 오죽하면 미분은 기술이지만 적분은 예술이라는 말이 있을 정도. 곱의 형태나 분수 형태로 된 함수도 공식만 잘 적용하면 쉽게 계산이 가능한 데다(참고로 곱이나 분수 형태의 함수를 적분하기 위한 일반적인 해법은 없다.[16]) 위에 설명한 chain rule의 존재로 인해 아무리 지수가 높아진 함수라도 계산이 복잡해질 뿐 도함수를 아예 못 구하는 경우는 많지 않기 때문이다. [math(y=x^x)] 처럼 겉보기에는 절대로 도함수를 못 구할 것처럼 보이는 함수도 양쪽에 로그를 취하고 연쇄 법칙을 사용하면 도함수를 구할 수 있다.[17] 단, 지수, 로그, 삼각함수[18] 같은 특수 함수의 도함수는 매번 극한을 써서 유도해내어 쓸 수 없으니 시험 잘 보려면 닥치고 외워야 한다(...). 정 뭣하면 오일러의 공식이라도 알아두자. 지수함수로부터 삼각함수를, 삼각함수로부터 지수함수를 유도해낼 수 있는 마법을 쓸 수 있다!

보다 고급 과정으로 들어가면 연속함수가 아닌 함수의 미분을 생각할 수가 있다. 재미있게도 정의하는 과정에서 적분이 등장하는데, 제대로 이해하기 위해서는 사전에 측도론에 관한 지식이 필히 요구된다.[19] 이러한 더 일반적인 개념을 약미분(weak derivative) 라고 부르는데, 예를 들어서 [math(f(x)=|x|)]의 약미분은 [math(f'(x)=-1,(text{if }x<0),,+1,(text{if }xgeq 0))]이 되는 식이다.[20] 이러한 약미분은 소볼레프 공간(Sobolev space)이라는 바나흐 공간에서 잘 정의된다.

더욱 고급 과정으로 들어가면 매우 다양한 미분들이 등장한다. 예를 들어서, 볼록함수의 경우에는 하방기울기(subgradient)라는 개념을 생각할 수 있다. 이때에는 어느 점에서의 미분계수가 더 이상 어느 수 하나가 아닌, 집합이 된다. 예를 들어, [math(f(x)=|x|)]의 [\math(x=0)]에서의 하방기울기는 실수구간 [\math([-1,1])]이 된다. 직관적으로 말하자면, [math(x=0)]에서 [math(f(x))] 밑에서 접하는 선형함수의 기울기를 모두 모은 집합이다. 이때 이 볼록함수 [math(f)]가 어떤 [math(x)]에서 미분가능이라면, 이 값에서 하방기울기의 원소는 하나 뿐이므로, [math(f)]의 미분이 된다.

미분을 아예 함수가 아닌 일반화된 함수(distribution, 또는 '분포'라고도 부름)에 대해서 정의하는 것도 가능하다. 예를 들어서, 헤비사이드 계단 함수 [math(f(x)=0\,(\text{if }x<0)\,,+1\,(\text{if }x\geq 0))]]의 distributional derivative는 디랙 델타 함수 [math(\delta_0)]이 되고, 다시 디랙 델타 함수의 distributional derivative도 distribution으로써 잘 정의되고 등. 이런 distributional derivative는 정말로 아무런 마구잡이 함수(혹은 측도(measure) 혹은 일반화함수(distribution))에 대해서도 잘 정의되기 때문에, 현대 편미분방정식론과 같은 분야에서는 많은 미분을 distributional derivative로 이해하여 해의 존재성을 구한 다음에, 그 해의 연속성과 더 나아가서 매끄러움 등의 성질을 증명하는 식이다.

또 다른 방향의 일반화로, 미분을 바나흐공간[21]이나 더 나아가서 locally convex topological vector space(Banach Space도 여기 포함된다)에도 적용시킬 수 있다. 이때는 미분이 여러가지로 쪼개지는데, directional derivative, Gateaux derivative, Frechet derivative가 그 예이다. 서로 다른 개념이 아니라, directional이 Gateaux보다, Gateaux가 Frechet보다 약한 개념이다. 즉, Frechet differentiable이라면 Gateaux differentiable이며 그 미분은 일치하는 것. 이러한 미분은 변분법 등과 같은 해석분야에서 많이 이용되고 있다. 예를 들어 함수를 변수로 갖는 범함수 [math(F)][22]의 미분이 0이 되는 부분이 stationary point가 되고, 즉 어느 함수 [math(f)]가 주어진 범함수 [math(F)]를 최소화시킨다면, [math(DF(f)=0)]이다. 오일러-라그랑주 방정식이 바로 이 식의 특수한 경우.

8. 관련 문서




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[1] 역사적으로는 미분(differential)은 라이프니츠가 무한소(infinitesimal)로 모호하게 설명한 dy,dx를 가르키는 용어로 시작되었으며 선형근사함수로의 정의는 엄밀성을 지키면서 미분형식과 미적분학 사이의 갭을 매꿔주는 정의이다. [2] 정확히는, 방향을 고정하면 이런 식의 미분값들을 생각할 수는 있다. 방향도함수라고 하는데, 편미분도 여기에 속한다. 하지만, 모든 방향에 대해서 방향도함수 값이 존재하면서도 연속은 안 되는 골때리는 상황도 존재하므로, 다른 방향의 일반화를 생각하는 것이다. [3] 원함수 [math(\mathbf{f})]를 [math((\mathbf{a},\mathbf{f}(\mathbf{a})))]가 원점으로 오게끔 평행이동 시킨함수 [4] 단, 먼저 존재성을 따져야 한다. 이런 선형 근사 함수가 존재할 때 미분가능, 존재하지 않으면 미분 불가능이라 한다. [5] 어떤 책에서는 대문자 델타([math(\Delta)])가 아닌 소문자 델타([math(\delta)])를 쓰기도 한다. [6] 그래프 상의 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]의 위치를 결정하는 [math(x)]축 위 [math(b-a)]가 [math(\Delta x)]이기 때문이다. [7] 적분의 [math(\mathrm{d})]도 마찬가지. [8] 참고로 [math(|x|)]의 실제 미분은 [math(|x| \to \mathrm{sgn}(x) \to 2\delta(x) \to 2\delta'(x) \cdots)] 같은 식으로 흘러간다. [9] 쉽게 말해 접선이 y축과 평행하거나 일치하는 경우. 예를 들면 [math(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{{\rm d} \sqrt{x}}{{\rm d}x} = \infty)] [10] [math(f(x)<0)]인 경우는 -만 붙여주면 된다. 위에 있는 [math((\operatorname{sgn} \circ f)(x))]가 이 의미. [11] 주의할 것은 '모양'(또는 '개형')만이 그렇다는 것이지 그림의 굵은 그래프가 정확히 [math(g(x))]의 그래프는 아니라는 점이다. 그림의 굵은 그래프의 정확한 방정식은 [math(g(x)=|f(x)-t|)]가 아니라 [math(y=|f(x)-t|+t)]이다. 그러나 상수항을 미분하면 [math(0)]이 되듯이, [math(t)]는 상수이므로 그래프를 위아래로 평행이동시킬 뿐 그래프의 개형에는 영향을 주지 않는다. 그래서 이 문제의 극한값이 존재하도록 하는 [math(k)]의 개수를 조사할 때에도 상수항 [math(t)]의 존재 여부는 전혀 중요하지 않다. 그래서 그림에서는 [math(g(x))]의 '개형'만을 고려하는 것이다. [12] 좌표평면은 데카르트와 독자적으로 연구해서 ' 대수기하학'의 시초기도 하다. [13] 애초에 그 유명한 [math(\mathbf{F}=m \mathbf{a})]도 미분방정식이다! [14] 사실 대학별 논술시험에서는 막 나온다. [15] 거시경제학의 경우는 학부에서는 연립방정식이 대학원에서는 적분이 주로 쓰이지만, 애초에 미분과 적분은 한 세트다. 학부 수준에서도 '경제성장'이나 '거시경제학의 미시적 기초'와 같은 단원에서는 거의 미분으로 문제를 해결한다. 모 대학 경제학과 교수는 "(학부 경제학 및 고시 경제학 기준) 교과서에서 가장 많이 나오는 단어는 '한계'가 될 것이다"라고 말한 바 있다. [16] 곱의 형태로 된 함수를 적분하기 위해 부분적분이란 기법이 등장하긴 했지만 (부분적분의 기법 자체는 f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)의 양변을 적분해본 일반화된 공식에서 등장한다) 이 방법을 써도 풀리기는커녕 오히려 더 복잡해지는 함수가 훨씬 많다(대표적으로 [math(e^x \tan x)]). 또 치환적분이란 테크닉이 있기도 하지만 치환적분은 이걸 이렇게 치환하면 계산이 편해지는구나~ 라고 이미 알고 있는 함수를 적분하기 위해서 쓰는 방법이다. [17] [math(y=x^x, \log_e y=x \log_e x, \dfrac{y'}{y}=1+\log_e x, y'=y(1+\log_e x), y'=x^x+x^x\log_e x)] [18] 그나마 지수 같은 경우는 미분해 보았자 원함수에 ln(a)만 붙으니 외우기 쉽다. [19] 이러한 정의에서는 함숫값이 측도가 0인 집합에서 다른 것은 별 문제가 되지 않는다. 예를 들면 항등함수 0과 지시함수는 같은 것으로 본다. 어차피 적분하면 0이므로. [20] 여기서 부등호가 0을 포함하느냐 마느냐는 상관없다. 어차피 [math(\{x=0\})]의 르벡 측도는 0이기 때문에 [math(L_\text{loc}^1(\mathbb{R}))] 위에서 [math(f)]는 [math(x=0)]에서 어떤 값을 가지든 상관 없기 때문이다. [21] complete norm space, 무한차원도 가능하다! [22] 즉, 함수를 어느 무한 차원 바나흐 공간의 원소로서 생각한다.