미분귀신

옛날에 아주 아름답고 평온한 마을이 있었다.
그 마을의 이름은 자연수 마을.
그런데 어느 날, 마을에 미분 귀신이 나타났다.
미분 귀신은 마을 사람들을 하나씩 미분시켜서 모조리 0으로 만들어 죽였다.[3]

마을은 점점 황폐해가고 이를 보다 못한 촌장과 동네 사람들이 반상회를 개최하였다.
몇 시간의 토론 끝에 이웃에 있는 다항식 마을에 구원을 요청하기로 하였다.
이웃마을의 소식을 들은 마을에서는 [math(x^{2})] 장군을 자연수 마을에 급파하였다.
전투 시에 수시로 자신의 모습을 바꾸는 [math(x^{2})] 장군 앞에서 잠시 당황한 미분귀신...
그러나 미분귀신은 잠시 생각하더니 3번의 미분을 통해서 간단히 해치우고 말았다.[4]

그러자 다항식 마을에서는 [math(x^{3})] 장군을 급파하였다.
그러나 그 역시 미분 귀신의 적수가 되기엔 역부족이었다.
단 4번의 미분에 그만 작살이 나고야 말았다.[5]

당황한 다항식 마을에서는 [math(x^{n})] 참모총장마저 보내는 초강수를 택하였으나
그 역시 [math((n+1))]번의 미분 앞에서 힘없이 무너지고 말았다.[6]

이제 아무도 미분귀신의 적수가 될 수 없으리라 생각했으나....

다항식 나라에는 마지막 희망 [math(sin x, cos x)] 두 장군이 있었다.[7]
좌 [math(\sin x)], 우 [math(\cos x)] 장군이 미분 귀신과 전투를 시작하였다.
미분 귀신은 적잖이 당황하지 않을 수 없었다.
아무리 미분을 하여도 서로 모습만 바꿔가며 계속 덤비는 [math(\sin x)], [math(\cos x)] 장군 앞에서 더 이상 싸울 힘이 없었다.[8]

그러나 그 순간 미분귀신은 꾀를 내었다.
[math(\cos x)] 장군을 미분시켜 [math(\sin x)] 장군에게 던져버린 것이다.
마지막 희망이었던 두 장군은 서로 부딪혀서 그만 자폭하고 말았다.[9]
일이 이쯤 되자 다항식 마을에서는 용병을 구하느라 난리가 일고 있었다.

그런데 전설적인 용병이 등장하였다.
그의 이름은 바로 exponential( 지수) 귀신이었다.
그가 가진 [math(e^{x})] 라는 무기는 미분 귀신이 수백번의 미분을 해도 전혀 손상되지 않았기 때문이다.[10]

미분귀신은 당황하기 시작하였다.
이제 승리는 exponential의 것처럼 보였다.

하지만 끝내 그마저 미분귀신에게 패하고 말았다.
글쎄....

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그 미분귀신이...
[math(y)]로 편미분을 해버리고 말았던 것이다...[11]

미분귀신이 마을을 쓸어버리고 난 뒤, 자연수 마을에 다시 찾아온 재앙이 있었으니..
바로 적분귀신이었다.
적분귀신은 자연수들을 적분해 쓸데없이 덩치를 키워버리는가 하면, 출처가 불분명한 [math(C)][14]라는 것들을 대량으로 만들어내었고, 심지어는 [math(x)]로 적분한 뒤 다시 [math(y)]로 적분해 [math(xy)]라는 악질 돌연변이까지 만들어 내는 것이었다.

자연수 마을은 다항식 마을에 도움을 청했지만, 다항식 마을은 자기 마을의 인구가 늘어난다며 오히려 적분귀신을 환영할 뿐이었다. 할 수 없이 자연수 마을은 자신들을 쓸어버렸던 미분귀신에게 도움을 청할 수밖에 없었다. 하지만 너무 위험한 관계로 자연수들은 모두 꽁꽁 숨어있기로 했다.

마을 광장에서 마주친 적분귀신과 미분귀신.
적분귀신 "문제를 내어 이기는 쪽이 사라지도록 하자"
미분귀신 "좋다(하하.. 내겐 편미분이라는 무기가 있지!)"

그러나...

적분귀신이 문제로 제시한 것은 무한다변수다항식 [math( \displaystyle \lim_{n→\infty }{\prod_{k=0}^{n}{a_k {x_k}^{p_k}}})]이었다.[15]
아무리 편미분을 해 봐도 끊임없이 쏟아지는 변수들..

미분귀신 "포기다.. 너의 솜씨를 보여다오.."
적분귀신 "가소로운 것.. 에잇!"

눈앞의 무한다변수다항식이 흔적도 없이 소멸되어버리는 것이 아닌가...

미분귀신 "어.. 어떻게?"
적분귀신 "......."


적분귀신은 다항식을 0에서 0까지 정적분해 버렸던 것이다.[16]

적분귀신은 정말 대단했다.
승승장구를 치던 적분귀신에게 대적할 만한 상대가 자연수 마을에서는 더 이상 존재하지 않았다.
여지없이 무너진 미분귀신은 함께 힘을 합하여 적분귀신을 물리칠 동업자를 찾아 나섰다.
정수 마을, 유리수 마을, 실수 마을, 심지어 그 복잡하다는 복소수(complex number) 마을까지...

그러나 미분귀신은 더 이상 동업자를 찾을 수 없는 듯했다.

"수의 마을에서는 도저히 찾을 수 없는 것인가?..."
자포자기한 미분귀신 앞에 펼쳐진 광경은 정말 놀라운 광경이었다.

실수 및 복소수 마을에서 연속(continuous)인 함수들이
어떤 놈에게 여지없이 터져서는 산산조각이 나는 것이었다.

"저놈이닷!" 미분귀신이 외쳤다.

자세히 보니 그놈은 델타함수(delta function)였다.
연속함수들을 샘플링(sampling)을 통해 이산(discrete)함수로 만들고 있었던 것이다.[17]

며칠 후...

자연수 마을로 돌아온 미분귀신은 디랙 델타 함수를 적분귀신 앞에 내놓았다.
적분귀신은 자신의 비장의 무기인 0-에서 0+까지 정적분을 사용했다.
그러나 델타함수는 사라지지 않고 1을 남겼다.
델타함수는 정말 대단했다.
특이하게도 0-에서 0+까지 정적분을 하면 1이 되는 것이었다.
순간 당황한 적분귀신은 정신을 가다듬고 다시 0에서 0까지 정적분을 시도했다.
그러자 1이 사라졌다.[18]

이때 나선 미분귀신은 델타함수를 무한 번 미분해주기 시작했다.
적분귀신이 아무리 아무리 0-에서 0+까지 정적분을 시도해도
미분을 통해 계속 델타함수의 변종들이 나타나는 것이었다.
적분귀신은 드디어 두 손 두 발, 아니 두 인테그랄(integral)을 다 들고 말았다. 흑드라군[19]

미분귀신과 델타함수의 연합전선은 정말 대단했다.
그러나 잠시잠깐 그들이 한눈을 판 사이에 그들은 사라지고 말았다.
"무슨 일이지...?" 적분귀신이 고개를 들었다.

...

그 거대한 몸짓.

그는 말 한 마디로 모든 것을 사라지게 할 수 있는 거의 신적인 존재였다.
그는 바로 ' 정의(definition)귀신'이었다.
미분귀신과 델타함수가 열심히 연합을 해도 마지막에 정의귀신이 "= 0" 한 마디면 끝나는 것이었다.

과연 정의귀신을 대적할 자가 이 세상에 존재할지...[20]

.. 바야흐로 중원의 미분귀신과 적분귀신에 의한 전국 시대는 정의귀신이라는 새로운 귀신의 등장으로 인하여 새로운 국면에 접어들게 되었다.
정의귀신의 활약은 대단했다.

정의귀신이 지나간 자리는 모두 0으로 황폐화되고,
모든 마을 사람은 정의귀신이 나타났다는 소문만 나도 무서워서 꼼짝을 못하게 되었다.

그러던 어느날, 정의귀신은 한 작은 마을을 지나게 된다.
정확하게 말하자면, 그 마을의 규모를 파악할 수 없었지만, 겉보기에는 별 것 아닌 듯하게 보이는 마을이었다.

하지만... 문제는...
마을 사람들이 정의귀신이 마을에 도착했는데도 별다른 반응이 없었던 것이다.
그동안 모든 사람들에게 공포의 대상이었던 자신이 이렇게 무시당하는 것에 정의귀신은 황당함 이전에 분노가 끓어 올랐다.

마침 굉장히 어리바리해 보이는 한 꼬마가 눈에 띄였다.
정의귀신은 자신의 힘을 과시하겠다는 듯, "= 0"을 외쳤다. 그러나 그 어리버리해 보이는 꼬마는 눈 깜짝하지 않고, 대뜸 이렇게 반문하는 것이었다.

"아저씨, 그건 95%의 신뢰구간에서는 채택될지 몰라도 저는 유의수준이거든요. 딴 데 가서 알아봐요."[21]
정의귀신으로서는 알 수 없는 방어였지만, 굉장히 자존심이 상했다.
무슨 공격을 해도 공격 자체에 대한 집합을 기각해 버리는 그 꼬마한테는 먹혀들지 않는 것이었다.

화가 난 정의귀신은 옆에서 미소를 짓고 있는 청년에게 화풀이성 공격을 하였다.
하지만, 그 청년은 정의귀신이 공격할 때마다 계속해서 실수(Real number)를 만들어내는 것이 아닌가?

정의귀신은 이해할 수 없었다.
왜 사라지기는 커녕 계속해서 실수를 만들어내는 것인가?
정의귀신은 그 청년에게 도대체 정체가 무엇이며, 여기는 어디인가를 묻지 않을 수가 없었다.

청년은 대답했다.
"저는 확률함수(Probability function)라고 합니다. 당신이 어떠한 정의를 내리건 간에 그에 따른 확률을 계산합니다."

"이럴 수가.. -_-;;;"

"이 마을은 ' 확률과 통계'라는 연합 마을입니다. 이 마을 사람들은 당신과 같이 정의내리기 좋아하는 족속들에게 진실을 알려주지요."

"그렇군. 그래서 나의 공격이 전혀 먹혀들지 않았던 것이군. 한 가지만 더 묻겠다. 왜 그런 힘을 지니고 있으면서도 세상을 지배하려 하지 않는 것이지?"

"저희가 가진 힘은 시계열( 통계학의 연구 분야의 하나)이란 마을 사람들이 가진 힘에 비교하면 아무 것도 아니기 때문입니다. 그 마을 사람들은 미래를 예언하고, 또한 원하는 미래를 실현시키는 무서운 능력을 갖고 있지요. 시계열 마을 뿐만이 아닙니다. 저 길로 계속 가면 또 어떤 마을이 있는지는 시계열 마을 사람들도 극소수만이 알고 있습니다. 소문에는 넓이는 유한한데 둘레는 무한해서 그 형체를 알 수 없는 프랙털(Fractal)이라는 마을이 제일 가까이 있다고 합니다."[22]
"..."
역시 세상은 넓다고 했던가..
정의귀신은 자신의 나약함과 어리석음을 깨닫고 중원을 떠나고야 만다.

이렇게 하여 ' 확률과 통계'라는 연합마을 덕분에, 평화를 찾게 된 수학 제국(數學 帝國).
그런데, 얼마 되지 않아, 수학국에 ' 집합'이라는 최후(?)의 탐욕가가 나타났다.
그 탐욕가는 모든 자연수를 삼켜버리는 능력을 가지고 있으며,
다항식은 물론 프랙털도 삼킬 수 있다고 한다.
소문에 의하면... 자신과 동맹인 '그래프'라는 천하제일검객도 삼켰다고도 한다.

기껏 재기한 자연수들을 가차없이 자신의 입에 넣어 몸집을 불렸고,
곧이어 정수, 유리수, 실수, 복소수까지 모조리 삼켜버렸다.
이제 '집합'은 [math(\mathbb{C})](복소수)집합이 되었는데, 아직 만족하지 못한 집합은 다항식의 마을로 쳐들어가, 모든 식을 자신의 양식으로 삼았다.
최후의 생존자인 2ⁿ도 그의 앞에서 처참히 쓰러지고 말았다.
(이것이 우리가 ' 멱집합'이라고 부르는 것이다.)

또, 다항식 마을을 싹쓸이한 집합은 프랙털 마을로 쳐들어갔다.
이에 프랙털 사람들은 자신들의 고유 권법(프랙털)을 사용했으나 집합은 오히려 그것들을 이용해, 몸집을 부풀리기까지 했다.(멱집합의 부분집합)
결국, 프랙털 마을도 초토화되어버리고, '확률과 통계' 마을 사람들은 벌벌 떨어야 했다.

그러던 어느 날, 일이 터지고 말았다.
'집합'은 '확률과 통계'라는 연합 마을로 쳐들어간 것이다.
처음으로 그를 만난 확률청년(정의귀신을 쫓아낸 장본인)이 그와 대화를 시도하고자 했으나, 그는 아주 잔인하게 그 확률청년을 죽였다.
A∩A^C=∅을 이용하여 P(A∩A^C)=0으로 소멸시킨 것이었다.
이에 '확률과 통계' 연합마을에서 이 '집합'이라는 골칫거리를 제거하고자 했으나, '집합'은 확률마을 사람들은 P(A∩A^C)=0으로, 통계마을 사람들은 (Ai≠Aj)⇒|Ai∩Aj|=0으로 깡그리 소멸시키고 말았다.

'확률과 통계'마을을 순식간에 점령해 버린 '집합'은 다음 목적지로 ' 관계마을'로 가는데...
관계마을에 도착한 '집합'은 한 작은 관계꼬마를 삼키려고 했다.
그런데, 이 관계꼬마가 소위 '분열'을 쓰는 게 아닌가! 그렇다.
(a,b)≠(b,a)인 사실을 이용하여 전혀 다른 객체로의 분화가 이루어진 것이었다.
그걸로도 모자라, 관계꼬마는 집합과의 접촉을 시도한다.
관계꼬마가 집합과 접촉하는 순간, 관계꼬마는 1+n+n²+...+nⁿ명으로 분열되고 만 것이었다!
그리고 그 영향이 '집합'에도 나타나,
'집합'은 이 불어나 버린 관계꼬마를 제거하기 위해 가장 위험하다는 '구토신공'을 사용하기에 이르렀다.
그가 '음식물'을 하나씩 토하자, 불어난 관계꼬마의 수도 점점 줄어들기 시작하고, 하나만 남기고 모두 토하자, 관계꼬마의 수는 다시 하나로 줄어들었다.
(정의역이 줄어들면 가능한 관계의 수도 줄어든다는 사실을 그 꼬마는 모르고 있었던 것이었다.)
이에 관계꼬마는 울음을 터뜨리며 집으로 들어가게 되었다.
놓칠 수 있겠나! 집합은 곧바로 그의 집을 습격했다.

그런데, 이거 난감하게 됐다.-_-;
관계꼬마의 아버지는 '반사클로우저', 어머니는 '대칭클로우저', 누나는 '추이클로우저'였다.[23]
어머니가 지원하자, 관계꼬마는 순식간에 둘로 불어났다.
하지만, 집합은 둘을 한꺼번에 삼키고 도로 토해냈다.
관계꼬마는 한 명으로 돌아갔다.
(왜냐? 지금 집합은 '하나의 음식물'만 삼킨 상태다.
정의역의 원소가 딱 하나니, 반사나 대칭이나 추이나 다 똑같이 되어버린 것이었다.)

하는 수 없이, 꼬마네 가족은 원로를 찾아가게 된다.
곧바로 집합이 뒤쫓아 가보지만, 이미 늦었다.
원로의 집에는 무한분열기계가 있었고, 꼬마는 그곳에 잠들었기 때문이다.
집합이 이러지도 저러지도 못하는 사이에 출력창에서 꼬마(1,1)의 변형체가 나타났다.
((1,1),(1,1))였던 것이었다. 곧이어 (((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1)))도 나타났다.
집합은 전에 했던 대로 둘을 삼키고 뱉었지만, 그들은 아직도 그대로 있었다.
(1,1)≠((1,1),(1,1))≠(((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1)))≠...이기 때문이다.
곧이어 ((((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1))),(((1,1),(1,1)),((1,1),(1,1))))도 나타났다.
집합은 슬슬 겁먹기 시작했다.
얼마 지나지 않으면 내부의 (1,1)가 ((1,1),(1,1))가 되는 무한변형체가 나타날 것이기 때문이었다.
결국 불안해진 집합은 마지막 남은 '1'을 뱉어내고 스스로 목숨을 끊었다. ∅(공집합)이 되어 소멸되었던 것이다.
이리하야, 관계마을은 평화를 찾는 듯했으나, 곧 혼란에 휩싸이고 만다.
그렇다. 이 분열기계가 폭주하여 꼬마의 분열이 멈추지 않았던 것이었다. 정의역에 있었던 1이 사라지고 그 대신 ∅이 자리했기 때문이다. 그 꼬마는 이제 (∅,∅)이 되어버린 것이다.
하는 수 없이 그 원로는 정의의 해결사를 부르게 된다.

그 해결사는 과연 누가 될 것인가?

그 때 ∅과 같은 해결사 ( ) (집합의 친구였으나 야심이 없는 자)가 ∅을 대신했다( )=∅)).
즉 (( ),( )) 이 되어 그 관계꼬마는 (1,1)이 되었다![24]
그 후 분열기계는 ( )의 도움으로 멈추고 수학마을에는 평화가 왔다.

평화가 다시 시작되었다고 생착각된 그때 갑자기 과학 제국의 일부인 물리학 합중국이 수학 제국을 공격하였다.
갑자기 과학 제국 전체가 수학 제국을 공격하였고, 그와 함께 초딩들, 수능 끝난 고3들, 문과들도 수학 제국을 공격하였다.

그로 인하여 수학 제국은 멸망하였다.

결말 1
다음 날 학교를 가기 위해 일어난 침략자들은 들뜬 마음으로 교실 문을 열어제쳤고
얼마 지나지 않아 미분을 해대고 있는 자신을 보며 일장춘몽이었음을 깨달았다.

결말 2
수학이 사라지고 나자 함수도 그 무엇도 작용할 수 없었고 과학 제국 또한 기반이 모두 흔들리고
그저 조금의 개념으로 남아있게 되었다. 리모콘이 작동하지 않고 차에 시동이 걸리지 않으며
모든 기계가 작동을 멈추게 되자 그들은 수학 제국을 침략하여 없앤 것을 되돌리고 싶어했다.
그 후... 원시시대로 돌아갈 줄 알았던 세상은 거짓말같이 수많은 날고 기는 학자들에 의해
순식간에 재구성되었고 수학 제국은 과거의 영광을 되찾게 되었다.
이후에는 수학 제국과 더불어 살아가는 조화의 의미를 알게 됐다고 한다... - A.E.U 920년 3월 24일 지구연합실록 中 발췌 -