|
수학기초론 Foundations of Mathematics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{ 귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{ 증명보조기 · 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문( 조각적 정의) · 명제 논리( 명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리( 존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합( 원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계( 동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍( 튜플) · 서수( 하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC( 선택공리) · 기수( 초한기수) · 절대적 무한 · 모임 | ||
| 범주론 | 범주 · 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 완전성 정리 · 불완전성 정리( 괴델 부호화) · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항( 약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
1. 개요
집합 [math(X)]의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합을 [math(X)]의 멱집합( 冪 集 合, power set)이라 하고 [math(\mathcal{P}(X))] 또는 [math(2^X)] 로 나타낸다.[math(\mathcal{P}(X)=2^X=\left\{\,A\mid A\subset X\,\right\})]
1.1. 예시
예를 들어 [math( B = \{1,2\} )] 라고 하자. [math( B )]의 부분집합은 [math( \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} )]이다.그러므로 [math(\mathcal{P}(B) = \left\{ \emptyset , \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{1,2 \} \right\} )] 가 된다.
[math( C = \{a,b,c\} )] 일때, C의 멱집합은 아래와 같다.
[math(\mathcal{P}(C) = \left\{ \emptyset , \{ a \} , \{ b \}, \{ c\} , \{a,b \}, \{a,c \}, \{b,c \}, \{a,b,c \} \right\} )]
2. 멱집합의 크기
2.1. 유한집합에서의 멱집합
임의의 유한집합에 대해서 그 크기가 [math(\left|A\right|=n)] 이라고 할때, 부분집합의 개수는 [math(2^n)] 개가 된다. 임의의 정수 [math( n ( n \ge 0) )]에 대해서 [math(2^n > n)]이 항상 성립하므로, 임의의 유한집합에 대해서 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 커진다.즉, 유한집합에서는 [math( \left|\mathcal{P}(A)\right| >\left|A\right| )] 가 항상 성립한다.
2.2. 무한집합의 멱집합
무한집합도 부분집합을 생각할 수 있으므로, 당연히 무한집합에 대해서도 멱집합을 생각할 수 있다. 결론만 말하자면 멱집합의 크기는 원래의 집합의 크기보다 항상 더 크다는 성질이 무한집합에서도 성립한다. 다시 말해 무한집합에서도 [math( \left|\mathcal{P}(A)\right|>\left|A\right| )] 가 성립한다.예를 들어 무한집합인 자연수의 집합 [math(\mathbb{N})]이 있을때, 자연수의 멱집합 [math(\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right))]를 구하면, 이 멱집합의 크기는 자연수의 집합의 크기보다 더 크다. 즉 [math( \left|\mathcal{P}(\mathbb{N})\right| > \left|\mathbb{N}\right| )] 이다.
이것이 의미하는 것은 무한집합들 사이에서도 서로 크기가 다른 무한집합이 존재한다는 것이다.
자연수의 집합은 정수의 집합, 짝수의 집합, 유리수의 집합과는 그 크기가 같지만, 자연수의 집합과 실수의 집합은 그 크기가 서로 다르다. 이는 게오르크 칸토어가 대각선 논법이란 교묘한 방법으로 발견하였다. 또한, 대각선 논법을 이용하여 멱집합은 원래 집합보다 항상 크다는 것 역시 밝혀 내었다.
서로 다른 무한집합의 크기를 구분하기 위해서 초한기수라는 수 체계가 도입되었다. 그런데, 초한기수 사이의 관계에서 특이한 가설이 하나 제시되었는데, 그것이 연속체 가설이다.
3. 활용
- 어떤 집합의 멱집합의 부분집합 중에서 여집합 연산과 가산 개의 합집합 연산에 대하여 닫혀 있는 것을 시그마 대수([math(\sigma)]-algebra)라고 한다.