최근 수정 시각 : 2022-03-07 00:49:59

브룬 상수

수학 상수
Mathematical Constants
{{{#!wiki style="margin:0 -10px -5px"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin:-6px -1px -11px"
[math(\ast)]: 초월수임이 증명됨.
[math(0)]
(덧셈의 항등원)
[math(1)]
(곱셈의 항등원)
[math(sqrt{2})]
(최초로 증명된 무리수)
[math(495)], [math(6174)]
( 카프리카 상수)
[math(0)], [math(1)], [math(3435)], [math(438579088)]
( 뮌하우젠 수)
[math(pi^{ast})]
(원주율)
[math(tau^{ast})]
(새원주율)
[math(e^{ast})]
(자연로그의 밑)
[math(delta)], [math(alpha)]
(파이겐바움 상수)
[math(varphi)]
(황금비)
[math(G)]
(카탈랑 상수)
[math(gamma)]
(오일러-마스케로니 상수)
[math(gamma_n)]
(스틸체스 상수)
[math(Omega^{ast})]
(오메가 상수)
[math(2^{sqrt{2},ast})]
(겔폰트-슈나이더 상수)
[math(B_{2})], [math(B_{4})]
(브룬 상수)
[math(i)]
(허수단위)
[math(rho)]
(플라스틱 상수)
[math(mu)]
(라마누잔-졸트너 상수)
[math(C_n,^{ast})]
(챔퍼나운 상수)
[math(zeta(3))]
(아페리 상수)
[math({rm Si}(pi))]
(윌브레이엄-기브스 상수)
[math(-e, {rm Ei}(-1))]
(곰페르츠 상수)
}}}}}}}}} ||

Brun's constant
1. 쌍둥이 소수의 역수의 합2. Prime quadruplet 역수의 합
2.1. 관련 문서

1. 쌍둥이 소수의 역수의 합

브룬 상수는 ' 쌍둥이 소수(Twin Prime)'의 역수의 합을 모두 합한 값이다. 일반적으로 브룬 상수의 이 값을 의미하며 간단히 [math(B)] 로 표기하기도 한다.

1919년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했는데, 이를 브룬의 정리라 부른다. 그리고, 그 수렴값을 '브룬 상수'[1] 라고 부른다.

[math(\displaystyle B_2 = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots = 1.9021605831... )]

이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다. 만약, 이 합이 수렴하지 않고 발산했다면 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되었을 것이지만[2], 이 수는 수렴한다. 이 상수는 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않았다. 쌍둥이 소수가 유한 개뿐이라면 그 역수의 합은 유한 개의 유리수의 합이므로 유리수가 되어야 한다. 따라서 이 상수가 무리수임이 밝혀진다면 쌍둥이 소수가 무한함이 증명된다.

2. Prime quadruplet 역수의 합

쌍둥이 소수와 유사한 것으로 Prime quadruplet[3] 이라는 것이 있는데, { p, p+2, p+6, p+8 } 이 모두 소수인 경우를 뜻한다. 예를 들어 {5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19} 같은 것들이 있다.

브룬은 이 prime quadruplet 의 역수들의 합도 수렴함을 보였다.

[math(\displaystyle B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \cdots = 0.87058838... )]

구분을 위해서는 이는 [math(B_4)] 로 표기하며, 쌍둥이 소수의 역수의 합은 [math(B_2)] 로 표기한다.

2.1. 관련 문서


[1] 또는 '브룬의 상수' [2] 오일러는 소수의 역수의 합이 발산한다는 것을 밝혀내어, 소수의 무한성을 다른 방법으로 증명한 바 있다. [3] 쌍둥이 소수 둘 + 사촌 소수 + 섹시 소수 하나로 이루어진 네 쌍.