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1. 개요
수학에서, 어떤 양이 일정한 규칙에 따라 어떤 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 그 값. 예를 들면, 일변수 함수 [math(f(x))]에서 극한은 다음과 같이 쓴다.
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그리고 극한값은 함숫값과 다를 수도 있으며, 함숫값이 없을 수도 있다. 즉, [math(\lim\limits_{x\to a} f(x))]와 [math(f(a))]는 다른 값을 가질 수 있다. 만일 두 값이 같은 경우, '함수 [math(f)]가 [math(x=a)]에서 연속'이라고 한다. 예컨대 0으로 나누는 연산은 정의되지 않지만, [math(x=2)] 부근에서는 전부 분모가 0이 아니기 때문에 [math(\lim\limits_{x\to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)}{x-2})]가 정의되며 분모와 분자의 [math(x-2)]를 약분할 수 있다.
특정 [math(x)]값에서의 함숫값과는 상관 없이, 독립변수가 해당 값(argument)에 가까워질수록 종속변수가 한없이 지향하는 값을 말하는 것이기 때문에, 극한값이 함숫값으로 존재하지 않아도 상관이 없는 것이다. 극한의 엡실론-델타 정의에 따르면 [math(x=a)] 부근(해당 지점 제외)에서 극한값 [math(L)]과 어떠한 양의 실수 [math(\varepsilon)] 만큼의 차이도 나지 않는 함숫값이 존재해야 한다는 뜻이기 때문이다. 때문에 정확한 함숫값이 존재하지 않는 경우에 극한값이 근삿값과 비슷한 의미라고 오해받는 경우가 많다. 하지만 오차 범위에 따라서 다양한 값이 전부 근삿값이 되지만, 오차로 어떠한 실수를 잡더라도 해당 성질이 성립하는 값은 극한값 한가지 밖에 없고, 오차가 어떠한 양의 실수보다 작기 때문에 실수체계에서는 해당 오차가 유일한 무한소인 0으로 정의된다.[6]
2. 정의
2.1. 엡실론-델타 논법
2.2. 수열의 극한
2.3. 비표준 해석학에서의 정의
엡실론-델타가 나온 이래, 무한소라는 존재는 별 주목을 받지 못하게 되다가, 다시 150년 후인 20세기 후반에 아브라함 로빈슨, Detlef Laugwitz 등의 수학자가 실수에서 성립하는 1차 논리 문장으로 표현 가능한 명제는 모두 그대로 성립하면서 무한소와 무한대를 포함하는 수체계인 초실수체라는 엄청난 물건을 가지고, 비표준 해석학이란 해석학의 새로운 분야를 만들었다. 비표준 해석학에서는 엡실론-델타 대신 무한소를 이용하여 해석학의 정리들을 똑같이 증명할 수 있다.비표준 해석학에서 극한을 어떻게 정의하는지 알기 위해서는 확장원리와 전달원리에 대해 알아야 하는데, 쉽게 얘기해서 확장원리는 실함수 [math(f)]의 자연스러운 확장인 초실함수 [math(f^*)]가 존재한다는 것이고, 전달원리란 쉽게 얘기해서, 실수에 대해 [math(f)]가 만족하는 1차 논리로 표현 가능한 명제는 초실수에 대해 [math(f^*)]도 만족한다는 것이다. 예를 들어, 삼각함수 [math(\sin x)], [math(\cos x)]에 대해, 확장원리에 따라 자연스러운 확장인 초실함수 [math(\sin^*x, \cos^*x)]가 존재해서, 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x)]에 대해 [math(-1 \leq \sin^*x \leq 1)], [math(\cos^{*2}x+\sin^{*2}x=1)] 등의 명제가 참이라는 것이다.
표준부분원리란, 임의의 유한 초실수 [math(a)]에 대해 [math(a={\rm st}(a)+\epsilon)]을 만족하는 실수 [math({\rm st}(a))]와 무한소 [math(\epsilon)]이 유일하게 존재한다는 것이다.[7] 여기서, [math({\rm st}(a))]를 [math(a)]의 표준부분이라 하는데, [math(a)]에 무한히 가까운 실수이다.
이때, 일변수 실함수 [math(f)]의 [math(x\to c)]로의 극한은 다음과 같이 정의된다.[8]
0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)][9]에 대해
1. [math({\rm st}(f^*(c+\epsilon))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^*(c+\epsilon))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^*(c+\epsilon))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=-\infty)]이다.
비슷하게, [math(x\to\infty)]일 때와 [math(x\to-\infty)]일 때의 극한은1. [math({\rm st}(f^*(c+\epsilon))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^*(c+\epsilon))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^*(c+\epsilon))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x)=-\infty)]이다.
임의의 양의 무한대 [math(H)]에 대해
1. [math({\rm st}(f^*(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^*(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^*(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=-\infty)]이다.
1. [math({\rm st}(f^*(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^*(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^*(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=-\infty)]이다.
임의의 음의 무한대 [math(H)]에 대해
1. [math({\rm st}(f^*(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^*(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^*(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=-\infty)]이다.
1. [math({\rm st}(f^*(H))=L)]을 만족하는 실수 [math(L)]이 존재하면, [math(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=L)]이다.
1. [math(f^*(H))]가 양의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\infty)]이다.
1. [math(f^*(H))]가 음의 무한대이면, [math(\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=-\infty)]이다.
예를 들어서 [math(\sin x)]는 임의의 실수 [math(x\neq0)]에 대해 [math(|\sin x| < |x|)]가 성립해서, 확장원리와 전달원리에 의해 임의의 초실수 [math(x\neq0)]에 대해 [math(|\sin^*x| < |x|)]가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대해 [math(-|\epsilon| < \sin^*\epsilon < |\epsilon|)]이 성립하고,
[math(0 = {\rm st}(-|\epsilon|) \leq {\rm st}(\sin^*\epsilon) \leq {\rm st}(|\epsilon|) = 0)]
이므로, [math(\lim\limits_{x\to 0} \sin x=0)]이다.[math(f)]가 대수 함수라면 더 간단한데, 예를 들어서 [math(f(x) = \dfrac1{x^2})]일 때, 0이 아닌 임의의 무한소 [math(\epsilon)]에 대해 [math(f^*(\epsilon) = \dfrac1{\epsilon^2})]은 양의 무한대이므로, [math(\lim\limits_{x\to0} \dfrac1{x^2}=\infty)]이다.
[math(f)]가 디리클레 함수라면, 즉 [math(x\in\mathbb{Q})]이면 [math(f(x)=1)]이고 [math(x \in \R-\mathbb{Q})]이면 [math(f(x)=0)]일 때는 어떨까? 유리수 [math(r)]로의 극한이 발산한다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다.
확장원리와 전달원리에 의해 [math(x)]가 초유리수이면 [math(f^*(x)=1)], [math(x)]가 초무리수이면 [math(f^*(x)=0)]이다. 자연수 [math(n)]이 주어지면, 무리수의 조밀성에 의해 [math(r < q < r+\dfrac1n)]을 만족하는 무리수 [math(q)]가 존재한다. 따라서, 전달원리에 의해 무한 초자연수 [math(N)]에 대해, [math(r < q^* < r+\dfrac1N)]을 만족하는 초무리수 [math(q^*)]가 존재하는데, [math(\dfrac1N)]은 0이 아닌 무한소이고 [math({\rm st} \!\left( f^* \!\left( r+\dfrac1N \right) \!\right) \!= 1)], [math({\rm st}(f^*(q^*))=0)]이므로, [math(x\to r)]일 때 [math(f(x))]는 발산한다.
2.4. 위상 공간에서의 정의
두 위상 공간 [math((X, \mathcal{T}_X))], [math((Y, \mathcal{T}_Y))] 사이에서 정의된 함수 [math(f:X\to Y)]의 극한은 다음과 같이 정의한다. ([math(a\in X)], [math(L\in Y)])[math(a)]가 [math(X)]의 극한점들의 집합 [math(\Omega)]의 원소이고 [math(Y)]는
하우스도르프 공간(Hausdorff space)[10]일 때 [math(\lim\limits_{x\to a} f(x)=L)]이라고 함은, [math(L)]의 임의의
근방 [math(V)]에 대해 [math(a)]의 빠진 근방(punctured neighbourhood) [math(U)]가 존재해 [math(f(U\cap\Omega) \subseteq V)]가 성립하는 것이다.
2.5. 미분형식
3. 수렴과 발산
- 수렴: 한 점으로 모인다는 뜻. 보통 의견 수렴이나 여론 수렴 등으로 사용해서 한 점에 모인다는 의미로 사용하는 경우가 많은데, 이 뜻을 수학으로 빌려와서 여러 값이 기어코야 한 값으로 모이게 됐다는 의미로 사용한다. 즉, [math(x)]가 [math(a)]에 한없이 가까워지거나 한없이 커지거나 작아지면 [math(f(x))]도 어딘가로 한없이 가까워진다는 뜻.
-
발산[11]: 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. 즉, 어느 한 점으로도 모이지 않는다는 뜻. 함숫값이 무한히 커지면 양의 무한대로 발산, 함숫값이 음수로서 그 절댓값이 무한히 커지면 음의 무한대로 발산한다고 한다.
[math(\lim\limits_{x\to0^+} \dfrac1x=+\infty)], [math(\quad \lim\limits_{x\to0^-} \dfrac1x=-\infty)]
- 진동: 진동도 수렴하지 않기 때문에, 발산의 한 종류에 해당된다. 좌표평면에 표시하면 지그재그를 그리는 특징을 가지는 경우를 말한다. 대표적으로 [math(y=\sin x)], [math(y=\cos x)], [math(y = x - \lfloor x \rfloor)] 등이 있다. 단, 함수가 지그재그를 그린다고 반드시 진동(발산)인 것은 아니다. 예를 들어, 등비수열 [math((-\frac12)^n)]의 경우, 양과 음의 값이 교대로 나타나지만 [math(n)]이 무한대로 갈 때 절댓값이 점점 작아져서 0에 수렴한다.
3.1. 점근선
4. 성질
고등학교 과정에서는 간단히 이러이러하다고 얼렁뚱땅 넘겼겠지만, 대학 해석학에서는 저걸 모두 증명한다. 공식의 증명은 엡실론-델타 논법을 이용해 스스로 해 보거나 대학 해석학 교재를 참고하자.덤으로 이야기하자면, 모든 실수 값에서 연속이면서 모든 실수 값에서 미분 불가능한 함수가 존재한다.[12]
다변수 함수/다차원 공간 등으로 가면 열린구간/닫힌구간의 정의, 경계의 정의 등도 엡실론-델타를 이용해 정의한다. 다만, 더욱 깊이 들어가 위상공간에서 일반화하게 되면 엡실론과 델타를 버리고 대신 더욱 추상화된 "열린집합"들을 이용해 모든 것을 새로 정의하게 된다(아래 내용 참고). 그러나 이 과정에서 엡실론-델타 논법과 근본적으로 동일한 논리가 사용되는 것은 마찬가지.
[math(\lim\limits_{x\to a} f(x)=\alpha)], [math(\lim\limits_{x\to a} g(x)=\beta)] (단, [math(\alpha)], [math(\beta)]는 실수)라고 한다면, 아래의 법칙들이 성립한다.
- [math(\left\{ \lim\limits_{x\to a} f(x)=\alpha' \right\} \Longleftrightarrow (\alpha'=\alpha))][13]
- [math(\lim\limits_{x\to a} k=k)]
- [math(\lim\limits_{x\to a} \{kf(x)\} = k \left\{ \lim\limits_{x\to a} f(x) \right\} = k\alpha)]
- [math(\displaystyle \lim_{x\to a} \{ f(x) \pm g(x) \} = \left\{ \lim_{x\to a} f(x) \right\} \pm \left\{ \lim_{x\to a} g(x) \right\} = \alpha\pm\beta)]
- [math(\displaystyle \lim_{x\to a} \{ f(x) \,g(x) \} = \left\{ \lim_{x\to a} f(x) \right\} \!\left\{ \lim_{x\to a} g(x) \right\} = \alpha\beta)]
- [math(\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x\to a} f(x)}{\lim\limits_{x\to a} g(x)} = \dfrac{\alpha}{\beta})] (단, [math(\beta\ne0)])
참고로, 함수의 극한에 대한 성질은 극한값이 존재할 때만 성립한다. 또한, 이 성질은 우극한과 좌극한일 경우, 그리고 [math(x)]를 무한대로 보낼 경우에도 성립한다.
어떤 함수에 로그를 취한 함수의 극한값과 어떤 함수의 극한값에 로그를 취한 값도 같다. 즉 로그를 극한보다 먼저 취하든 나중에 취하든 결과값은 같다. 물론 원래 함수의 값은 양수여야 한다.
5. 공식
- [math(f(x))]가 [math(x=a)]에서 미분가능하면
- [math(\lim\limits_{x\to a} \dfrac{f(x)}{x-a} = b)]이면 [math(f(a)=0)], [math(f'(a)=b)]
[math(\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a) = 0)]
따라서 식을 다음과 같이 해석할 수 있다.
[math(\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) = b)]
혹은 로피탈의 정리를 사용할 수도 있다.
[math(\displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{x-a} \xlongequal{\textsf{l'H\^opital}} \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}1 = f'(a) = b)]
6. 조임 정리(squeeze theorem)
샌드위치 정리(sandwich theorem)라고도 불린다. 장난 같은 이 용어가 왜 실제로 학계에서 쓰이는지는 알 수 없으나, 한국 학생과 교사들이 자의적으로 쓰는 콩글리쉬가 아니고 영미권에서도 쓰이는 용어이다. 일본에서는 협공의 원리(挟み撃ちの原理)[14]라고도 불린다.[15]함수 중에서 어떤 값에 의해 유계가 되며 진동하는 함수나 그러한 함수의 극한값을 직접 구하는 것은 힘들다. 하지만 그 함수와 같은 극한값을 가지는 두 함수 사이에 존재하는 다른 함수의 극한값을 구할 수는 있다. 이것을 이용해서 그 유명한 삼각함수의 극한을 증명할 수 있다.[16]
함수 [math(f)], [math(g)], [math(h)]가 [math(x\neq c)]인 점 [math(c)]를 포함하는 열린구간에 있는 모든 [math(x)]에 대해 [math(g(x) \leq f(x) \leq h(x))]이고 [math(\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L)]이면, [math(\lim\limits_{x\to c} f(x) = L)]이다.
6.1. 예시
- 알다시피 [math(\cos \!\left( \dfrac1x \right))]은 [math(1)]보다 작고 진동한다. 그렇다면 [math(\lim\limits_{x\to0} x^2 \cos \!\left( \dfrac1x \right))]의 극한값을 구해 보자.
- 모든 [math(x(\,\neq0))]에 대해 [math(-1 \leq \cos \!\left( \dfrac1x \right) \leq 1)]이다. 또한 [math(x^2)]을 모든 식에 곱해도 부등호의 변화가 없으므로 [math(-x^2 \leq x^2 \cos \!\left( \dfrac1x \right) \leq x^2)]이다. [math(\displaystyle \lim_{x\to0} -x^2 = 0 = \lim_{x\to0} x^2)]이므로, 조임 정리에 의해 [math(\lim\limits_{x\to0} x^2 \cos \!\left( \dfrac1x \right) = 0)]이다.
7. 로피탈의 정리(l'Hôpital's rule)
[1]
추가적인 전제 조건엔 좌극한과 우극한의 개념이 선행돼야 한다. [math(\lim\limits_{x\to a^-} f(x))](좌극한)과 [math(\lim\limits_{x\to a^+} f(x))](우극한)이 같아야 극한값이 존재한다고 말할 수 있다.
[2]
[math(D)]는 정의역
[3]
이러한 이유에서
미국,
중국,
일본은 고등학교 때 공통 과정에서 극한을 배우지 않고, 미적분에 관한 공식이나 계산법만 익힌다(대신에 다항함수 외에 초월함수도 다룬다). 선택과목 교육과정을 따른다면 극한을 배우는 과정이 따로 존재하기는 한다.
[4]
수는 정적인 개념이라 함수나 수열을 통한 동적인 정의는 가능해도 동적인 수는 있을 수 없다.
[5]
혹은 복소수
[6]
비표준 해석학에서는 0이 아닌 무한소가 무수히 많이 존재하지만, 유한 초실수는 실수와 무한소의 합으로 표현하는 방법이 항상 한가지이기 때문에 해당 실수값이 무조건 하나로 정해진다. 따라서 실수 체계에 한해서는 극한을 다룰 때와 항상 같은 결론이 나오게 된다.
[7]
임의의 실수에 대해 실수의 소수부분과 정수부분의 합으로 유일하게 나타낼 수 있는 것과 비슷한 논리이다.
[8]
물론 이 정의는 엡실론-델타와 동치인 논리 구조이다.
[9]
한 쪽 극한에 대해서 생각할 필요가 있을 때에는, '임의의 무한소' 대신 '임의의 양(음)의 무한소'로 바꾸면 된다.
[10]
하우스도르프 공간이란, 어떤 위상이 주어졌을 때 이 위상에서 정의되는 집합이 있을 때, 그 집합에서 아무렇게나 두 원소를 골라도 두 원소 중 하나만을 포함하는 서로소인 열린집합을 항상 취할 수 있는 성질을 지닌 위상공간의 총칭이다. 다른 표현으로는 '서로 다른 임의의 점은 반드시 서로소 근방을 취할 수 있다.'라고 할 수 있다. [math(T_2)]공간이라고도 한다.
[11]
똑같이 해석학에서 다루는
발산 연산자 [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A})]와는 다르다.
[12]
물론
초등함수는 아니고, 무한급수를 사용해 표시한다. 이러한 함수들의 대표격으로는
바이어슈트라스 함수가 있으며 [math(\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n \pi x))](단, [math(0<a<1, ab\geq1)])라고 정의된다. 이 함수는
프랙털의 자기복제 성질을 지니고 있기에 프랙털 함수로 취급되며, 따라서 어떤 점이든지 아무리 확대해도 직선으로 근사시킬 수 없기에 미분계수가 존재하지 않는다. 더 많은 함수들에 대한 내용은
병리적 함수 문서 참고.
[13]
극한의 유일성
[14]
양쪽에서 쳐서 옥죄는 거니까 조임 정리와 조어 원리가 비슷하다.
[15]
이름이 비슷한 정리로는 햄 샌드위치 정리라는 것도 있다. 이 역시 영미권에서도 그대로 쓰이는 용어. 단, 햄 샌드위치 정리는 샌드위치 정리와는 상관이 없는 내용이다. 햄 샌드위치 정리는 모든 양의 실수 [math(n)]에 대해 [math(n)]차원의 콤팩트한 유클리드 공간에서 [math(n)]개의 계량 가능 원소가 주어졌을 때, 이 [math(n)]개의 원소를 정확하게 절반으로 나누는, 혹은 그 초부피를 정확하게 절반으로 양분하는 초단면이 반드시 존재한다는 정리다. 증명자들의 이름을 따서 스톤 튜키 정리(Stone-Tukey theorem)라고도 한다. 햄 샌드위치 정리라고 불리는 이유는, 햄 샌드위치에서 햄, 빵 모두를 정확하게 절반으로 자르는 단면이 반드시 존재하느냐는 질문에서 시작된 것이기 때문. 3차원일 때의 증명은 쉬워서, 무게중심을 통과하는 선이 물체를 양분한다는 것을 이용, 3개의 객체의 무게중심으로 이루어지는 평면(2차원)이 존재한다는걸 보이면 된다. 만약 이 3개의 중심이 전부 한 직선에 늘어선다면, 유일성은 몰라도 존재성은 해당 직선을 포함하는 평면이라고 제시하면 된다.
[16]
증명은 간단하다. 단위원을 그린 다음, 접선에 속한 외부의 점, 접선에서의 접점, 원의 중심을 세 꼭짓점으로 갖는
직각삼각형을 그리고, 어딘가에 선 하나를 긋고 도형 3개 정도를 비교하면 된다. 쉬운 방법이므로 꼭 해보자.